Exemple de fonction non continue dans la vie courante
Exemple de fonction non continue dans la vie courante Niveau: terminale S, éventuellement terminales STI2D, ES-L Lien avec le programme: continuité d’une fonction Sylvain vient de se réveiller Il a passé une bonne nuit Au bout de cinq secondes, il allume sa lampe de chevet en cliquant sur l’interrupteur
Exemples de fonctions discontinues Continuité et dérivabilité
(c) Montrer que gest continue en x0 pour tout x0 ∈ [0,1/2[∪]1/2,1] (d) Sous quelle condition gest-elle continue sur [0,1]? 4 Donner un exemple (a) de fonction f pour laquelle la fonction gcorrespondante est continue sur [0,1] (b) de fonction f pour laquelle la fonction gcorrespondante n’est pas continue sur [0,1] 5 La dérivabilité
Fonctions convexes 1 Dimension 1 - Institut de Mathématiques
fonction fnulle sur ]0;1] et qui vaut 1 en 0, on a bien une fonction convexe non continue en 0 –Une fonction convexe n’est pas nécessairement dérivable On peut penser à la fonction f(x) = jxjsur R par exemple –Si fest deux fois dérivable sur I, alors elle est convexe (resp strictement convexe) si et seulement si f00 0 (resp f00>0
FONCTIONS NUMÉRIQUES DÉFINIES SUR UN INTERVALLE CONTINUITÉ
Par contre, la réciproque est fausse : l'application x a x2 n'est pas uniformément continue sur (Voir annexe) Exercice : comportement d'une fonction uniformément continue au voisinage d'un point Soit ƒ une fonction u-continue sur un intervalle I du type ]a, b[ (b étant fini ou non) 1 Soit (xn) une suite d'éléments de I qui converge vers a
Continuité et dérivabilité d’une fonction
Fonction f continue sur [−1,5; 5,5] La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut" C’est le cas par exemple de la fonction partie entière ou plus pratiquement de la fonction qui représente les tarifs postaux en fonction du poids (brusque changement de tarif entre les lettres en dessous de 20 g et de celles entre 20 g et
PRIMITIVES DUNE FONCTION CONTINUE SUR UN INTERVALLE
On peut alors construire une fonction F sur qui est continue par morceaux : F(x) = x c x x c + −+ + − si 0 sinon On peut même s'arranger pour que F soit continue, il suffit de recoller les morceaux en choisissant c+ = c− Cependant, F n'est pas une primitive de ƒ sur car non dérivable en 0 Réponse 2 : non si ƒ admet une infinité de
FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C1
1 La fonction f est définie sur intervalle symétrique par rapport à 0 donc xx, x 2 112 si 0 0 si 0 eex x fx fxx xx x ° z ® °¯ : f est impaire La fonction xeexx2 1est continue sur comme composée et différence de fonctions continues sur , par conséquent la fonction f est continue sur
Non-Convex Optimization - Cornell University
•For example using the strict saddle property (Ge et al 2015) •Using even stronger properties, can prove that SGD converges to a local minimum with an explicit convergence rateof 1/T •But, it’s unclear whether common classes of non-convex problems, such as neural nets, actually satisfy these stronger conditions
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Agrégation Externe de Mathématiques F. Boyer Aix-Marseille Université - 2013/2014 Fonctions convexes
Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sans jamais oser le demander1 Dimension 1
Définition 1SoitIun intervalle deRetf:I!R. On dit quefest convexe si f(x+ (1)y)f(x) + (1)f(y);8x;y2I;82[0;1]:(1) Elle est strictement convexe si on peut mettre l"inégalité stricte pour2]0;1[etx6=y.Une fonctionfest dite (strictement) concave sifest (strictement) convexe.-Le nombre x+ (1)y,2[0;1]est unecombinaison convexedexety, c"est-à-dire un barycentre à
coefficients positifs (voir Exercice 1).-Interprétation géométrique :SoitCfla courbe représentative defdans le repère orthonormé usuel deR2.
On fixe deux pointsxy2I.
Tout pointz2[x;y]s"écrit de manière unique sous la formez=x+ (1)y, avec2[0;1]. Le point de la courbe Cfd"abscisseza pour coordonées(z;f(z)). Le point de la corde issue des points (x;f(x))et(y;f(y))d"abscisseza pour coordonnées(z;f(x) + (1)f(y)).(x;f(x))(y;f(y))Cf(z;f(z))Ainsi, une fonction est convexe si et seulement si la courbeCfest situéeen-dessousde n"importe laquelle
de ses cordes, entre les deux extrémités de la corde en question. Exercice 1Une fonctionf:I!Rest convexe si et seulement si, pour toutn2, pour tout choix de points x1;:::;xn2Iet de coefficients1;:::;n2Rtels que
i0;8i2 f1;:::;ng; n X i=1 i= 1; on a f nX i=1 ixi! nX i=1 if(xi):Page 1/7 Agrégation Externe de Mathématiques F. Boyer Aix-Marseille Université - 2013/2014Proposition 2 (Inégalité des pentes)
Soitf:I!Rune fonction convexe etx < y < ztrois points deI. Alors on a la double inégalitéf(y)f(x)yxf(z)f(x)zxf(z)f(y)zy:
C f(x;f(x))(z;f(z))(y;f(y))Preuve : Pour tout x2Iety2I,y6=x, on définit les taux d"accroissements g x(y) =f(y)f(x)yx:On remarque quegx(y) =gy(x).
Si on montre que les fonctions gasont toutes croissantes sur]1;a[\Iet sur]a;+1[\I, nous aurons bien le résultat attendu en écrivant g x(y)gx(z) =gz(x)gz(y): On fix edonc a2Iet on veut montrer quegaest croissante sur chacun des deux intervalles] 1;a[\Iet ]a;+1[\I. Soient doncx;y2Itels quea < x < y. On veut montrer quega(x)ga(y)soit encore f(x)f(a)xaf(y)f(a)ya: Commexaetyasont strictement positifs, cette inégalité est équivalente à (f(x)f(a))(ya)(f(y)f(a))(xa); ou encore f(x)(ya)(xa)f(y) +f(a)(yx); et finalement f(x)xayaf(y) +yxyaf(a): Si on pose=xaya2]0;1[, cette inégalité s"écrit f(x)f(y) + (1)f(a); et comme par ailleurs, on a x=y+ (1)a;on voit que l"inégalité attendue est bien exactement de la forme (1), ce qui conclut la preuve dans le cas
a < x < y.Le casx < y < ase traite de façon similaire (en prenant garde éventuellement aux changements de sens
dans les inégalités quand on multiplie par des quantités négatives).Page 2/7
Agrégation Externe de Mathématiques F. Boyer Aix-Marseille Université - 2013/2014Théorème 3
On suppose queIest ouvert. Soitf:I!Rune fonction.
1.Si fest convexe, alors on a
-fest continue surI. -fadmet des dérivées à gauche et à droite en tout point deIet on a f0(x)f0(x+)f0(y);8x;y2I;tqx < y:
2. Réciproquement, si fest dérivable dansIet quef0est croissante alorsfest convexe.Preuve : 1. Soit x2Ietr >0tel que[xr;x+r]I. D"après l"inégalité des pentes, on a pour tout" >0, f(x)f(xr)r f(x+")f(x)" f(x+r)f(x)r et donc, en particulier les quotients g x(x+") =f(x+")f(x)"restent bornés quand"tend vers0, ce qui montre la continuité à droite def. Par ailleurs, l"inégalité des
pentes permet de montrer que"7!gx(x+")est une fonction croissante (et minorée) de". Ainsi la limite
lim "!0+f(x+")f(x)" existe.Le même raisonnement montre la continuité à gauche defainsi que l"existence de la dérivée à gauche.
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