MATHÉMATIQUES POURL’ÉCONOMIE - Dunod
Mathématiques pour l’économie L’étudiant mesurera son assurance et son savoir-faire à l’envie qu’il a de regarder la solution avant d’avoir fini l’exercice De par notre expérience de l’enseignement des notions introduites dans ce livre, pour cette 6e édition, nous l’affirmons haut et fort :
Mathématiques pour l’économie - Dunod
formalisés de l’économie Il ne serait pas raisonnable de ne pouvoir accéder à ces modèles par peur ou méconnaissance des outils mathématiques de base Loin de nous l’idée que ces outils mathématiques de base sont à portée fa-cile d’intellect : on affirme seulement qu’il faut savoir s’y prendre et ce, de manière pragmatique
Mathématiques pour l’économie - Pearson
mathématiques que présente ce livre-ci, ils peuvent se concentrer sur l’économie (1) Norton Juster, Le Point et la ligne, Ypsilon, 2016 Traduction d’Étienne Dobenesque, adaptée pour les besoins de l’ouvrage par Claire Cadet ©2020 Pearson France - Mathématiques pour l'économie 5e édition
Bases mathématiques pour l’économie et la gestion
1 xUtiliser l’une des deux équations pour exprimer une inconnue, disons en fonction de l’autre, disons y 2 ySubstituer x trouvé à l’étape 1 dans l’autre équation, pour obtenir une équation en uniquement 3 Trouver les solutions de l’équation en y obtenue à l’étape 2 4
Mathématiques pour l’économie - Pearson
(2) Notezqu’onparlede«l’»ensemblevideetnond’«un»ensemblevide Eneffet,unensembleétantcomplètement défini par ses éléments, il ne peut y avoir qu’un seul ensemble ne contenant pas d’éléments ©2020 Pearson France - Mathématiques pour l'économie 5e édition Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne Strøm, Andrés Carvajal
Mathématiques pour l’économie et la gestion
Mathématiques pour l’économie et la gestion Analyse et algèbre Constitué d’un cours completet de 75 exercices corrigés,ce manuel présente l’ensemble du programme d’algèbre et d’analyse des filières Sciences de gestion, Sciences économiques et Informatique appliquée à la gestion
Mathématiques appliquées à lÉconomie et à la Gestion
f avec l‱axe des abscisses et l‱axe des ordonnées L‱étude peut être simplifiée si la fonction f est paire ou impaire 2- Fonction logarithme népérien a- Définition La fonction est continue pour , elle admet donc sur cet intervalle des primitives, qui se déduisent de l‱une d‱elles par addition d‱une constante On va
Application des mathématiques en économie
Application des mathématiques en économie Lobjet de ce travail est de faciliter la lecture et la compréhension des ouvrages déconomie L¶accent est mis en permanence sur la traduction en langage courant de la formulation mathématique de léconomie Sur la signification des concepts utilises ; sur les propriétés des
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Mathématiques
pour l"économieMathématiques
pour l"économieAnalyse-Algèbre
Cours et exercices corrigés
Naïla Hayek
Maître de conférences
à l"université
Paris II Panthéon-Assas
Jean-Pierre Leca
Maître de conférences
à l"université
Paris I Panthéon-Sorbonne
5 eédition
© Dunod, 2015
5 rue Laromiguière, 75005 Paris
www.dunod.comISBN 978-2-10-072255-6
Table des matières
Introduction 1
1. Langage mathématique, mode d"emploi 3
I. Connecteurs logiques ET, OU, NON,?3
II. Les quantificateurs?et?11
III. Application : opérations sur les ensembles 15Exercices24
2. Les ensembles numériquesN,Z,Q,R27
I. Les entiers naturelsN28
II. L"ensembleRdes nombres réels 39
Exercices51
3. Suites et séries numériques 55
I. Notations et définitions 55
II. La notion de limite et son langage de définition 61III. Propriétés des limites 65
IV. Premiers critères de convergence 69
V. Exemples 70
VI. Séries numériques 80
Exercices84
4. Fonctions réelles d"une variable réelle 87
I. Limite d"une fonction 87
II. Fonctions équivalentes 96
III. Continuité 99
Exercices108
c?Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.Table des matièresI
5. Dérivation 111
I. La notion de dérivée 111
II. Théorème des accroissements finis et applications 122III. Recherche d"extrema, convexité 131
Exercices142
6. Intégration 147
I. Primitive 147
II. Intégrale définie 149
III. Intégrale généralisée 164
Exercices173
7. Algèbre linéaire 1 175
I. La structure d"espace vectoriel 175
II. Sous-espace vectoriel, système générateur, système libre 183III. Application linéaire 202
IV. Matrice d"une application linéaire 215
Exercices240
8. L"ensembleCdes nombres complexes 245
I. Généralités 246
II. Équations dansC252
III. Espaces vectoriels surC254
Exercices255
9. Algèbre linéaire 2 257
I. Déterminants 257
II. Diagonalisation d"une matrice 270
III. Formes quadratiques 278
Exercices283
10. Fonctions réelles de plusieurs variables réelles 287
I. Normes et distances surR
2 288II. Fonctions de deux variables et généralisation aux fonctions denvariables 296 III. Théorème des accroissements finis et applications 312
Exercices322
IIMATHÉMATIQUES POUR L"ÉCONOMIE
11. Recherche d"extrema, convexité 325
I. Présentation des problèmes 325
II. Extrema d"une fonction sans contraintes 327
III. Convexité 332
IV. Récapitulation des conditions 337
V. Extrema sous contraintes : théorème d"existence 339 VI. Extrema d"une fonction sous contraintes d"égalité : conditions nécessaires, conditions suffisantes 341 VII. Extrema d"une fonction sous contraintes d"égalité et d"inégalité : conditions nécessaires, conditions suffisantes 352Exercices357
12. Équations de récurrence 361
I. Équations de récurrence linéaires d"ordre 1 à coefficients constants 361 II. Équations de récurrence linéaires d"ordre 2 à coefficients constants 367 III. Équations de récurrence d"ordre 1 : le cas général 375Exercices380
Corrigés des exercices 383
Index 435
c?Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.Table des matièresIII
Introduction
Les modèles mathématiques ont un succès inouï dans le domaine de la phy- sique par leur capacité à prédire les phénomènes auxquels ils s"appliquent : mécanique classique, mécanique quantique, électromagnétisme, physique des particules, astrophysique, etc. En un siècle, les mystères de la physique ont réduit comme peau de chagrin. Ce succès, en soi fascinant, peut-il, fut-ce de manière beaucoup plus mo- deste, se reproduire dans le domaine de l"économie (1) ? La question est ou- verte, elle est l"objet d"un débat :l"utilisation des modèles mathématiques enéconomie.
Pour participer à ce débat, il est indispensable de comprendre les modèles formalisés de l"économie. Il ne serait pas raisonnable de ne pouvoir accéder à ces modèles par peur ou méconnaissance des outils mathématiques de base. Loin de nous l"idée que ces outils mathématiques de base sont à portée fa- cile d"intellect : on affirme seulement qu"il faut savoir s"y prendre et ce, de manière pragmatique. Aussi, dans ce livre, quatre étapes jalonnent le chemin de la compréhension.1)L"écriture, le sens des mots, la définition rigoureuse des objets mathéma-
tiques. L"expérience nous a appris qu"un étudiant qui sait et qui se trompe, est un étudiant qui, à un endroit de sa copie, n"a plus géré son écriture ou a négligé le sens des mots. Ce n"est pas l"étudiant qui déraille, c"est sonécriture qui ne tient plus la route.
2)Le raisonnementet son catalogue de règles du jeu logique, expliquées ou
démontrées (en partie) au chapitre 1; l"étudiant les appliquera " sans état d"intellect » tel un automobiliste le code de la route.3)La démonstrationpour décoder le chemin du labyrinthe qui mène au théo-
rème; grâce à elle, ce qui paraissait " magique » devient " vrai ». Chaque1. Le mot "économie » a pour racine grecque "oikonomia» : règle de vie domestique, gestion
de la maison. c?Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.Introduction1
fois que la généralité n"en est pas compromise, afin de ne pas alourdir inu- tilement l"écriture, on traite sur des exemples simples la démarche de dé- monstration qui conduit au résultat. Ne pas comprendre en première lec- ture une démonstration n"est pas gênant du tout; par contre, faire le choix d"ignorer la démonstration, c"est décider de rester dans la magie des mots du théorème incompris. Manipuler les idées, les concepts, sans les comprendre est strictement interdit car dangereux pour l"intelligence.4)Le calcul, les exercices qui rassurent et indiquent la position de l"étudiant
sur le chemin de la compréhension. Pour cela, nous vous proposons des points méthode. L"intérêt d"un exercice est le questionnement qu"il amène, les idées, les initiatives qu"il nécessite d"où, parfois, l"obligation de revoir le cours mais sans la démonstration bien sûr. À la fin de chaque chapitre, se trouvent des exercices dont les corrigés sont mis à la fin du livre. L"étudiant mesurera son assurance et son savoir-faire à l"envie qu"il a de regarder la solution avant d"avoir fini l"exercice. De par notre expérience de l"enseignement des notions introduites dans ce livre, pour cette 5 eédition, nous l"affirmons haut et fort :
Parler à tous avec simplicité tout en restant ambitieux sur le sujet.Quelques indications :
- En début de chapitre, on désigne par mots clés des mots nouveaux impor- tants que l"on va définir et qu"il est indispensable de connaître. - Au sein d"un même chapitre, les définitions, propositions, théorèmes sont numérotés dans l"ordre d"arrivée. -Mutatis mutandissignifie "en changeant ce qu"il faut changer». Onemploie cette expression pour dire que les arguments du raisonnement restent les mêmes, seuls changent les objets auxquels ils s"appliquent. - Dans tout le livre, les mots "fonction » et " application » sont synonymes.2MATHÉMATIQUES POUR L"ÉCONOMIE
1. Langage
mathématique, mode d"emploi E n mathématiques, démontrer c"est convaincre avec des arguments autorisés, répertoriés, codés, indépendants du langage parlé qui les exprime. " La logique est parfaitement intelligible, néanmoins totalement inexplicable dans ses fondements » (S. Kleene). Dans ce cha- pitre, on code les règles de la logique et de ses signes " ET, OU, ?». II s"agit d"apprendre à mieux cerner " ce que démontrer veut dire ». Mots clefs :proposition, vrai, faux, connecteur, implication, pour toutx, il existe au moins unx, ensemble, union, intersection, produit de deux ensembles, fonction,application, injection, surjection, bijection.I. Connecteurs logiques ET, OU, NON,?
A. Levraietlefaux
Définition 1
On appellepropositiontout assemblage de lettres et de signes qui vérifie les trois conditions suivantes : - cet assemblage a une syntaxe correcte. (En d"autres termes, le lecteur sait le " lire »); - cet assemblage a une sémantique correcte. (En d"autres termes le lecteur " comprend » ce qu"il lit); - cet assemblage a une seule valeur de vérité : la valeur vrai ou bien la valeur faux. c?Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.Langage mathématique, mode d"emploi3
Commentaires
Dans le langage mathématique les lettres peuvent être d"alphabets diffé- rents (latins ou grec) et les signes vont de la parenthèse, virgule,+,.,=, etc. aux chiffresarabes(0,1,2,...,9)ainsiqueromains(I,VX.L,C,D, M) en passant par des dessins plus ou moins parlants (?,?,?,?,etc.) que les mathématiciens ont l"art d"inventer au fil de leurs théories. ?ExemplesConsidérons les assemblages suivants :
-P 1 =(?+oui!?=) Ce n"est pas une proposition car la syntaxe est incorrecte. -P 2 =(La racine carrée de Napoléon n"est pas carrée) Ce n"est pas une proposition : on la lit très bien mais on ne comprend pas. Sémantique incorrecte. -P 3 =(12×14=168) C"est une proposition, on sait à partir du cours moyen qu"elle a la valeur vrai. -P 4 =(XII×XIV=CLXVIII)C"est une proposition, la même queP
3à l"écriture près. On remar-
quera que s"il est courant de multiplier en chiffres arabes, cela l"est beaucoup moins avec les chiffres romains. Pour faire de l"arithmétique il fallait faire le bon choix de l"écriture et de ses signes! -P 5 =(dans un triangle quelconque, la somme des angles est un angle plat) C"est une proposition, on sait depuis le collège qu"elle a la valeur vrai. -P 6 =(a et b deux nombres réels quelconques,||a|-|b||?|a-b|)C"est une proposition, vraie pour un lycéen.
-P 7 =(siα<0et f?surR,alorsαf?surR) C"est une proposition, vraie pour un bachelier. On remarquera la va- riété des lettres et des signes. -P 8 =(tout entier pair supérieur à 4 est la somme de deux nombres premiers) C"est une proposition qui date de 1742, appelée laconjecture (1) de Goldback. On ne connaît toujours pas sa valeur de vérité, en effet, s"il est facile de vérifier que8=5+3,10=7+3,24=11+13,le cas général n"a toujours pas été démontré. On sait cependant que la propriété est vraie pour tout entier pair compris entre 6 et33×10 61. Une conjecture est une proposition que l"on subodore vraie quoique ni contredite ni démon-
trée.4MATHÉMATIQUES POUR L"ÉCONOMIE
-P 9 =(Il existe au moins un triplet (x, y, z) d"entiers naturels strictement positifs tel que x 2 +y 2 =z 2Il suffit de chercher un peu. On trouve :3
2 +4 2 =5 2 . La proposition P 9 est donc vraie. Tel est le sens de "il existe au moins un... »On trouve aussi5
2 +12 2 =13 2 , puis99 2 +49002 =4901 2 , puis...