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MATHÉMATIQUES POURL’ÉCONOMIE - Dunod

Mathématiques pour l’économie L’étudiant mesurera son assurance et son savoir-faire à l’envie qu’il a de regarder la solution avant d’avoir fini l’exercice De par notre expérience de l’enseignement des notions introduites dans ce livre, pour cette 6e édition, nous l’affirmons haut et fort :



Mathématiques pour l’économie - Dunod

formalisés de l’économie Il ne serait pas raisonnable de ne pouvoir accéder à ces modèles par peur ou méconnaissance des outils mathématiques de base Loin de nous l’idée que ces outils mathématiques de base sont à portée fa-cile d’intellect : on affirme seulement qu’il faut savoir s’y prendre et ce, de manière pragmatique



Mathématiques pour l’économie - Pearson

mathématiques que présente ce livre-ci, ils peuvent se concentrer sur l’économie (1) Norton Juster, Le Point et la ligne, Ypsilon, 2016 Traduction d’Étienne Dobenesque, adaptée pour les besoins de l’ouvrage par Claire Cadet ©2020 Pearson France - Mathématiques pour l'économie 5e édition



Bases mathématiques pour l’économie et la gestion

1 xUtiliser l’une des deux équations pour exprimer une inconnue, disons en fonction de l’autre, disons y 2 ySubstituer x trouvé à l’étape 1 dans l’autre équation, pour obtenir une équation en uniquement 3 Trouver les solutions de l’équation en y obtenue à l’étape 2 4



Mathématiques pour l’économie - Pearson

(2) Notezqu’onparlede«l’»ensemblevideetnond’«un»ensemblevide Eneffet,unensembleétantcomplètement défini par ses éléments, il ne peut y avoir qu’un seul ensemble ne contenant pas d’éléments ©2020 Pearson France - Mathématiques pour l'économie 5e édition Knut Sydsæter, Peter Hammond, Arne Strøm, Andrés Carvajal



Mathématiques pour l’économie et la gestion

Mathématiques pour l’économie et la gestion Analyse et algèbre Constitué d’un cours completet de 75 exercices corrigés,ce manuel présente l’ensemble du programme d’algèbre et d’analyse des filières Sciences de gestion, Sciences économiques et Informatique appliquée à la gestion



Mathématiques appliquées à lÉconomie et à la Gestion

f avec l‱axe des abscisses et l‱axe des ordonnées L‱étude peut être simplifiée si la fonction f est paire ou impaire 2- Fonction logarithme népérien a- Définition La fonction est continue pour , elle admet donc sur cet intervalle des primitives, qui se déduisent de l‱une d‱elles par addition d‱une constante On va



Application des mathématiques en économie

Application des mathématiques en économie Lobjet de ce travail est de faciliter la lecture et la compréhension des ouvrages déconomie L¶accent est mis en permanence sur la traduction en langage courant de la formulation mathématique de léconomie Sur la signification des concepts utilises ; sur les propriétés des

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1

LOGIQUEET THÉORIE

DES ENSEMBLESToutde vraitêtrerenduaussisimple quepossib le, mais pasplus simple.

— AlbertEinstein

(1) L" argumentation enmathématiques requiert unraisonnementlogique serré; l"analyseéco- nomique nef aitpasexception àcette règle.C"estpourquoi nousprésentons quelques concepts debase dela logique. Unebrèv esectionestconsacrée auxtypes dedémonstrations pour quiv eutallerplusloin. Nous commençonspar une xposésuccinct delathéorie desensemb les. Cer appelestutile non seulementen raison desonimportance enmathématiques ,mais aussidurôleessentiel des ensemblesenéconomie :dans laplupar tdes modèleséconomiques ,on faitl"hypothèse que lesagents doivent choisir,àl"aide decritèresprécis ,la stratégie optimalepar miunen- sembled"alter nativespossibles. Ce chapitreprésente ensuitela techniquede démonstration ditepar induction.S iellen"est pas d"uneutilisation directepour leséconomistes ,elle permet decomprendredesrésultats mathématiques dontles économistesse serv entsouv ent.

1.1 Unaperçu dela théorie desensemb les

Dans lavie detous lesjours, nousreg rouponsdes objetsde lamême sorte,pare xemple, tous les membresdu personneld"une université, toutesles plantesd"unjardin,toutes lespersonnes estvue commeun tout.En mathématiques, unecollection dece genres"appelle unensemble et lesobjets sontappelés éléments. Comment décrireunensemble ?Le plussimpleest d"énumérerses éléments,sans que l"ordreait del"impor tance,en lesplaçantentredes accoladesfetg. L"ensemble??f?,?,?g des troispremières lettresde l"alphabetes tun ex emple.Bienentendu,ces lettrespeuv ent représenter autrec hosequ"elles-mêmes. Parexemple,?peut êtrel"ensemble desracines de(1)

Phraseattr ibuéeàEinstein vers 1933.©2020 Pearson France - Mathématiques pour l"économie 5e édition

Knut Sydsaeter, Peter Hammond, Arne Strøm, Andrés Carvajal

6CHAPITRE1/Logiqueett héorie desens embles

l"équationdu troisièmedeg ré¹G0º ¹G1º ¹G2º=0 enl"inconnue G, où0,1et2sont

trois nombresréels quelconq ues. Deux ensembles¯etsontégauxs"ilssont composésdes mêmeséléments, etdans ce cas onécr it¯=. Le symbole?désigne l"ensembleq uin"apas d"éléments,appelél"ensemble vide(2). rement dansle casoù ceux-cisont ennombre inni.De telsensembles interviennent souvent en économie.Prenons l"ex empledel" ensemble debudg eten théorieduconsommateur .U ne personne désireac heterdeuxbiens(des pommeset despoires) enq uantitésrespectiv esGetH. Si?désigne lepr ixdespommeset @, celuides poires,elle va dépenser?G¸@H. Maiselle a décidéde neconsacrer que 0 etH>0. (L"ensembleestreprésenté à la gure4.4.12.) Lanotation classique decet ensembleest Vousy reconnaissezles accoladesde part etd"autre, puisà gauchede ":», lanotation

générale d"unélément deet ennà droitede ":», lespropr iétésrequisespour appartenirà

l"ensemble.

Élément d"unensemb le

Soitun ensemble.A ulieudedire que Gestun élémentde , ondit aussiq ueGappartient àet onécr itG2. Notezlesymbole particulier 2(quiressemble àla lettreg recque Y). Pourindiq uerqueGn"estpasun élémentde , onécr itG8. Parex emple,38f0,1,2g dit que3n"estpasun élémentde l"ensemblef0,1,2g. Soit¯etdeux ensembles.Alors ¯estun sous-ensembledesi chaqueélémentde¯ estun élémentde . Onécr it¯. Enpar ticulier,¯¯. Deces dénitionsdécoule la proposition suivante:¯=si etseulement si¯et¯.

Opérations surles ensembles

Troisopérations surles ensemblessont essentielles: l"union, l"intersectionet ladiérence (voirtableau 1.1.1).

En notationensemblis te,

¯[=fG:G2¯ouG2g.

¯\=fG:G2¯etG2g.

¯n=fG:G2¯etG8g.(2)

déni pars eséléments,il nepeutya voir qu "uns eulens emblenecontenantpasd"éléments. ©2020 Pearson France - Mathématiques pour l"économie 5e édition

Knut Sydsaeter, Peter Hammond, Arne Strøm, Andrés Carvajal

SECTION1.2/ Quelquesnotionsde logique7

Tableau1.1.1Opérationsélémentaires surles ensembles NotationN omDénition ¯[ ¯unionLes élémentsq uiappartiennentà aumoinsun des deuxensembles ¯et ¯\ ¯intersectionLes élémentsq uiappartiennentà lafoisà ¯et ¯n ¯moinsLes élémentsq uiappartiennentà ¯, maispas àEXEMPLE1.1.1 Soit¯?f1,2,3,4,5get?f3,6g.Déterminezlesensembles ¯[,¯\,¯netn¯(3).

Solutio\¯[?f1,2,3,4,5,6g,¯\?f3g,¯n?f1,2,4,5g,n¯?f6g.Si deuxensembles ¯etn"ontpasd"éléments encommun, ondit qu "ilssont disjoints.

Donc, lesensembles ¯etsont disjointssi etseulement si¯\??.EXERCICESdelasection1.1

Vraiou faux ?42; 52;¯;;?;¯?.(a)

Déterminezles ensembles¯\;¯[;¯n;n¯;¹¯[º n¹ ¯\º;¯[[[;

¯\\;¯\\\.(b)

2.Faitesune liste complètedetousles sous-ensemblesdiérents del"ensemble f0,1,2g. Combien

sont-ils, ycompr isl"ensemblevideet l"ensemblelui-même ?F aitesde mêmepour l"ensemble f0,1,2,3g.

3.Parmicespropositions, lesquelles sontvraies ?Pourcelles qui sontfausses,cons truisezuncontre-

exemple.

¯n?n¯(a)¯\ ¹[º ¹ ¯\º [(b)

¯[ ¹\º ¹ ¯[º \(c)¯n ¹nº?¹¯nº n(d)1.2 Quelquesnotions delogique Les modèlesmathématiq uesjouentunrôle essentieldans lessciences empiriq ues,et en particulieren économie.S"ils sonttrès utiles,il faut s"en servir av ecprécaution,caril est facilede commettredes erreurs deraisonnement danslarésolutiond"un problèmeet d"arr iver ainsi àune réponsef ausse.V oiciunex emple.(3) Dès maintenantet toutau longdu livre,nous recommandonsde cacher las olutionau momentd"es sa yerde

résoudreun problèmeet dene ladécouvr irq ueprog ress ivement,àtitre devérication. ©2020 Pearson France - Mathématiques pour l"économie 5e édition

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8CHAPITRE1/Logiqueett héorie desens embles EXEMPLE1.2.1

Supposons qu"onveuillecherc hertoutesles valeursdeGquiv érientl"équationsuivante : G¸2=p4G. Oncommence paréle ver lesdeuxmembresdel"équation donnéeau carré, ce quidonne¹G¸2º2=¹p4Gº2. D"oùG2¸4G¸4=4G. Aprèsreg roupementdestermes semblables, l"équationdevient G2¸5G=0 et,après simplicationpar G, ilres teG¸5=0 ou G=5. D"aprèsce raisonnement,G=5 seraitune solution.C"es tf aux,carpourG=5 on

aG¸2=3, alorsp4G=p9=3(4).Cet exemplesoulignelesdang ersde calculerde façonroutinière sansrééc hir, etq uelques

notions surle raisonnementlogiq uene sontpasinutilespour éviterde telleser reurs.

P??p?s?t???s

Des énoncésq uipeuventêtre vraisoufaux sontappelés despropositions.La plupartdes propositions dece livreont uncontenu mathématique, maisil yen ad"autresdansla vie courante. Parex emple,tous lesindividus qui respirentsontenvie outous lesindividus quirespirent sonten bonnesanté . Iles tparfois diciledesavoirsi uneproposition est vraie oupas, faute depréciserlester mesemplo yés,comme pare xemple67 estung rand nombre. foisq u"onattribueàlav ariableGdes valeursdiérentes,on génèrediérentes propositions, ouverte . Parex emple,lapropositionG21=0n"estvraieq uepour G=1 etG=1. Une proposition ouverten"est doncnivraienifausse, maisvraie ouf ausseselon lav aleurchoisie pour lav ariable. ??p????t???s An deg arderlatracede chaq ueétape d"unraisonnement logique,onutilisesouvent laèc he d"implication. Si%et&sont deuxpropositions tellesq ue,si %estvraie, alors&l"estaussi, on écrit On lit%implique&ousi%, alors&ou encore&estune conséquence de%. Le symbole)estune èchequipointe dansla directionde l"implicationlogiq ue.EXEMPLE1.2.2

Voiciq uelquesexemplesd"implications correctes.

G ¡2)G2¡4.(a)GH=0)G=0 ouH=0(5).(b)

(estun carré )(estun rectangle.(c)Elle vità Par is)Elle viten France.(d) (4)

Notezà quel pointilest sag ede vérierla solutiontrouvée.Las ourcede l"erreurestexpliq uéeà l"exemple1.2.4.

(5)Notezq ueleoumathématiquen "estpasexclus if.©2020 Pearson France - Mathématiques pour l"économie 5e édition

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SECTION1.2/ Quelquesnotionsde logique9

Il arrivequ"entredeux propositions%et&les implications%)&et&)%soient toutes les deuxvraies. Ondit alorsq u"elles sontlogiq uementéquivalenteseton écrit Remarquezque, parmilesimplications decetex emple,la seuleq uipuisse êtreremplacée par uneéq uivalenceestla(b), carilest aussivrai que G=0 ouH=0 impliqueGH=0. Énoncez lesimplications réciproques desautrescasde l"ex emple1.2.2 etv ériez qu"elles sont faussesenproduisant uncontre-e xemple. EXEMPLE1.2.3 Voiciq uelquesexemplesd"éq uivalencescorrectes. ¹G Ÿ2 ouG ¡2º ,G2¡4(a)GH=0, ¹G=0 ouH=0)(b) `, ¹02)02º(c)

Condition nécessaireet sufsante

Les implicationset leséq uivalences entrepropositionss"expriment encoretrès fréquemment en termesdeconditions nécessaireset/ou susantes.Si laproposition %impliquela proposi- tion&, ondit que %estune condition susantepour& aprèstout, pourq ue&soit vrai, il estsusantq ue%le soit.Ou encore,si %estsatisf ait,ilest certain que&l"estaussi. On dit, dansce cas,q ue&estune condition nécessaireà%, puisque&doit nécessairement

être vraisi %l"est.De làdécoulent lesdénitions suivantes. %estune co\ditio\ susa\tepour&signie :%)&.

&estune co\ditio\ \écessairepour%signie :%)&. etsusa\t e⎷our&. Dans lespag esquisuiv ent,nousallonscontinuellement faireréférence auxconditions nécessaires etsusantes. Bienles comprendreet lesdis tingueres tvraiment nécessaireà la maîtrisede l"analy seéconomique.Cen"es tmalheureusementpas unecondition susante!EXEMPLE1.2.4

À l"exemple1.2.1,pourquoi était-ilnécessaire devérier que lesv aleurstrouv éesétaientbien

des solutions?Pour répondreàcetteq uestion, ilf aute xaminerlastructure logique denotre©2020 Pearson France - Mathématiques pour l"économie 5e édition

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10CHAPITRE1/Logiqueett héorie desens embles

résolution. Lav oicientermes d"implicationssuccessiv esmarquéesd"une lettre:

G¸2=p4G¹aº) ¹G¸2º2=4G

¹bº)G2¸4G¸4=4G

¹cº)G2¸5G=0

¹dº)G¹G¸5º=0

¹eº) »G=0 ouG=5¼

L"implication(a) est correctecar0=1)02=12etp0

2=0. Notonsdèsà présentq ue

l"implication (a)ne peutpas êtrein versée Eneet, l"implication02=12)0=1estf ausse. L"implicationcor recteest02=12)0=1ou0=1. Lesimplications (b),(c), (d)et (e) sont toutescor rectesetsontmême deséq uivalences. Lac haîned"implications vadoncdela propositionG¸2=p4Gà laproposition G=0 ouG=5, maisne peutpas êtrein versée. SiGestune solutionde l"équation G¸2=p4G, alorsGdoit valoir0ou 5. Iln "estpas certainq uecesdeuxv aleurscon viennent.On s"aperçoitene etaprèsav oirremplacé Gpar 0 et5 queseulela valeur 0es tunesolution. Rétrospectivement,onpeut remarquer qu "uneerreursupplémentaire aétécommisedans l"exemple1.2.1.Dire G2¸5G=0)G¸5=0 estfaux, carG=0 estaussiune solutionde G

2¸5G=0, commerétabli dansl"implication (e).

La méthodeutilisée àl"e xemple 1.2.1estlapluscourante :e lleétablitunec haîned"im- plications quidébutea vec l"équationdonnéeetseter mineauxsolutionspossibles. Par mices

solutions, ilres teàcherc hercelles quisatisfontréellementl"éq uationdonnée. Mêmedansle

cas oùon utiliseune chaîne d"équiv alences,ilest toujoursbondevérier a posteriorisi la réponse estcorrecte. EXERCICESdelasection1.2 ??Il ya biend"autres manièresd"e xprimer desimplications etdeséquivalencesq uecelles que nous

avonsmentionnéesjusq u"à présent.Représentezlespropositionssuiv antespar desimplicationsou

des équivalencesappropriées.

L"équation2

G4=2 estsatisfaite seulementsiG=3.(a)

SiG=3, alors2 G4=2.(b)

L"équationG22G¸1=0 estsatisfaite siG=1.(c)

SiG2¡4, alorsjGj¡2 etréciproq uement.(d)

??Parmicespropositions, lesquelles sontvraies ?Pourcelles qui sontfausses,cons truisezuncontre- exemple.

`,[=(a)`,\=(b) \=\)=(c)[=[)=(d) =, ¹G2,G2º(e) ©2020 Pearson France - Mathématiques pour l"économie 5e édition Knut Sydsaeter, Peter Hammond, Arne Strøm, Andrés Carvajal SECTION1.3/ Lesdémonstr ations enmat hématiques11

3.Pourc hacunedesimplicationssuiv antes,où G,HetIsont desnombres réels,e xaminez (i)si

l"implication estvraieet (ii)si l"implicationréciproq uees tvraie.

G=p4)G=2(a)¹G=2 etH=5º )G¸H=7(b)

¹G1º ¹G2º ¹G3º=0)G=1(c)G2¸H2=0)G=0 ouH=0(d)

¹G=0 etH=0º )G2¸H2=0(e)GH=GI)H=I(f)

4.Soit laproposition 2G¸5?13.

soit satisfaite?(a) Répondezà lamême ques tionsi G?0 estremplacépar G?50.(b) Répondezà lamême ques tionsi G?0 estremplacépar G?4.(c)

5.[PLUSDIFFI CILE]Si%estune proposition,la \é}atio\de%estnotée :%. Si%estvraie, alors

:%estf ausseetvice versa. Parex emple,lanégationdela proposition2 G¸3H?8 est2G¸3H ¡8. Pourc hacunedessixpropositions, énoncezla négation leplus simplementpossible.

G?0 etH?0.(a)

Tousles Gsatisfontà G?0.(b)

NiGniHne sontinf érieursà5.(c)

Pourtout Y ¡0, ile xisteunX ¡0 telq ueestv ériée.(d)

Personnene peuts "empêcher d"aimerleschats.(e)

Toutle mondeaime quelq u"un àunmomentdonné.(f)1.3 Lesdémonstr ationsenmathématiques

tous lesrésultats importants sonténoncéssousle titrede théorèmes.Que cesrésultats soient

vrais reposentsur desdémons trationslogiq uementbienstr ucturéesetloind"être faciles à construire.Certains théorèmesontattenduplus detrois sièclesa vant d"êtredémontrés. Dans celivre, l"accentes tmis surunecompréhensionintuitiv eprof ondedes résultatsq ue

les théorèmesénoncent, plutôtq uesur leurdémonstrationf ormelle. Néanmoins, ilestutile de

discernerq uelquestypesderaisonnementsusuels enmathématiq ues. Toutthéorème mathématiquepeutêtre missous laf orme d"uneou plusieursimplications de laf orme où%représente uneou plusieurspropositions appelées⎷rémisses(ce quel"on sait)etoù &représente uneou plusieurspropositions appeléesco\clusio\s(ce quel"on souhaitesavoir). Les mathématicienspar lerontplusvolontiers d"hypothèse(s) etdethèse(s). Habituellement, unedémons trationsedéroulenaturellement desprémisses %versles conclusions&; c"estceq u" onappelleunedémo\stratio\direct e. Pourtant,ilconvient parf ois de procéderde façon indirecte,c"est-à-direen supposantq ue&n"estpasvraie etsur cette base conclureq ue%ne peutêtre vraie.C"es tune démo\stratio\i\direct e, appeléeaussi démo\stratio\⎷arco\tr a⎷ositio\

, etlégitime enraison del"éq uivalence logique suivante.©2020 Pearson France - Mathématiques pour l"économie 5e édition

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12CHAPITRE1/Logiqueett héorie desens embles LEP RINCIPEDELACONTR APOS ITIO N

La proposition%)&estéq uivalenteàlapropositionnon&)non%. Voicicette équiv alencelogiqueappliquéeà unexemple :dires"ilpleut, l"herbees t

mouilléereviente xactementàdiresi l"herben "estpasmouillée,c"est qu "ilne pleutpas.EXEMPLE1.3.1

Démontrez l"implicationG2¸5G4¡0)G ¡0 dedeux manièresdiérentes.

S??ut???

(a)Démonstrationdirect e. SiG2¸5G4¡0, paraddition auxdeux membresde G2¸4, on obtient l"inégalité5

G ¡G

2¸4. CommeG2¸4>4, quelque soitG, ona 5G ¡4 etdonc

aussiG ¡45.A fortiori,G ¡0. (b)Démonstrationindirect e. SiGétait négatif,5Gle seraitaussi etdonc aussiG2¸5G4,

en tantq uesommedetrois termes négatif s.La méthodede ladémons trationindirecte (parcontraposition)est proche d"uneautre

méthode ditepar contradictionouraisonnementpar l"absurde . Danscette méthode,pour prouverq ue%)&, onsuppose que %estvraie etq ue&ne l"estpaset, surcette base,on déroule unear gumentationquiaboutit àuneconclusionq uine peutpas être vraie,autrement dit unecontradiction. Ainsi,puisq ue%et lanég ationde%mènent àq uelquechosed"absurde, cela signieq uesi%estvrai, alors&doit l"êtreaussi. Démontrons parl"absurde l"ex emple1.3.1.Supposonsqu" ona àla foisG2¸5G4¡0 etG60. Celamène, commedans ladémons trationdirecte, à5 G ¡G 2¸4 et,comme dansla démonstrationindirecte, à5 G60. D"oùG2¸4Ÿ0, ceq uin"est paspossible,caronatoujours G

2¸4¡0. Parcettecontradiction, nousa vons démontréq ueG2¸5G4¡0 etG60 ne

peuventpas êtretous deuxvrais, etq ue,comme annoncé,G2¸5G4¡0)G ¡0.EXERCICESdelasection1.3

1.Parmilesénoncés suivants, quels sontceuxqui sontéquivalents àla proposition(incer taine):

"Si l"inationaugmente, lec hômage diminue»? Pourq uelechômag ediminue, l"inationdoitaugmenter.(a) Unecondition susantepour que lec hômagediminuees tq uel"inationaugmente.(b) Le chômagenepeutdiminuer que sil"ination augmente.(c) Si lec hômagenediminuepas,l"ination n"augmente pas.(d) Unecondition nécessairepour que l"inationaugmente estque lec hômage diminue.(e)

2.Démontrez parun raisonnementpar l"absurdeq ue,si GetHsont desentiers etsi GHestun nombre

impair,alors GetHsont tousles deuxdes nombresimpairs. ©2020 Pearson France - Mathématiques pour l"économie 5e édition

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SECTION1.4/ L"induction mathémat ique13

1.4 L"inductionmathématique

L"inductiones tunetechniq ueimpor tantepourdémontrerdesfor mulesquiimpliq uentles entiers naturels.On cherc heparexempleune for muledelasommedes=premiers nombres impairs. Voicilesrésultats descalculs dansles cas==1,2,3et4.

1=1=12

1¸3=4=22

1¸3¸5=9=32

1¸3¸5¸7=16=42

Ces résultatssugg èrentquela sommecherchée est égale à=2

1¸3¸5¸ ¸¹2=1º==2.()

Pourdémontrer que cerésultatvaut quel que soit=entier naturel,on procèdecomme suit: on suppose quelaf ormule estvraiepouruncer tainnombrenaturel==:, autrementdit

1¸3¸5¸ ¸¹2:1º=:2.

On ajoutedesdeux côtésle nombreimpair suivant 2:¸1

1¸3¸5¸ ¸¹2:1º ¸¹ 2:¸1º=:2¸ ¹2:¸1º=¹:¸1º2.

Ainsi, laf ormule¹ºestvraie pour==:¸1. Or,elleétait manifes tementvraie pour==1. Parconséq uent,grâceau calculprécédent,ellees tvraie pour==2, etde làpour ==3, etc. Unedémons trationdecetype est qualiée dedémonstrationparinduction (oupar récur- rence ).EXEMPLE1.4.1 Démontrez parinduction que, quelque soitl"entiernaturel=,

3¸32¸33¸34¸ ¸3?=12

¹3?¸13º.()

Solutio\Pour==1, lesdeux membressont égaux à3. Onsuppose¹ºvraie pour==:. Alors

3¸32¸33¸34¸ ¸3?¸3?¸1=12

¹3?¸13º ¸3?¸1=12

¹3?¸23º

quies t¹ºpour==:¸1. Parinduction,¹ºestvraie quel quesoit=.Après cesdeux ex emples,onreconnaîtlastr ucturegénérale d"unedémons trationpar

induction :on aà démontrerq u"une for mulemathématique¹=ºquidépend de=estv alable pour tousles entiersnaturels. Deuxétapes :d"abord vér ierq ue¹=ºestvraie pour==1. Ensuite, démontrerq ue¹:¸1ºestvraie sousl"h ypothèseq ue¹:ºle soit,et cepour : quelconque.©2020 Pearson France - Mathématiques pour l"économie 5e édition Knut Sydsaeter, Peter Hammond, Arne Strøm, Andrés Carvajal

14CHAPITRE1/Logiqueett héorie desens embles LEP RINCIPEDEL"INDUC TION MATHÉMATIQUE

Pourtout entiernaturel =, soit¹=ºune propositionq uidépendde=. Si¹1ºestvraie etsi, quel que soitl"entiernaturel:, sousl"h ypothèse¹:ºvraie, ¹:¸1ºestvraie, alors¹=ºestvraie pourtout entiernaturel =. L"analogiede l"échelle aideàcomprendrece principe :si vous êtescapable d"atteindrele premier échelond"uneéc helleet si,parailleurs,v ousêtes capablede passerde n"impor tequel

échelonau suivant, vousêtescapable degravir l"échelle (d"unnombre innid"éc helons!).EXERCICESdelasection1.4

1.Démontrez parinduction que pourtoutentiernaturel =,

1¸2¸3¸ ¸==12

=¹=¸1º.()

2.Démontrez parinduction que pourtoutentiernaturel =,

112¸123¸134¸ ¸1=¹=¸1º===¸1.()

3.En remarquantque 13¸23¸33=36 estdivisiblepar 9,démontrez parinduction que lasomme

3¸ ¹=¸1º3¸ ¹=¸2º3de troiscubes consécutifs esttoujoursdivisible par9.EXERCICESRÉCAPITU LATIFSduchapitre1

1.Soit=f1,3,4g,=f1,4,6g,=f2,4,3get=f1,5g. Déterminez\;[;n;

n;¹[º n¹ \º;[[[;\\;\\\.

2.SoitGetHdes nombresréels. Décidezsi lesimplications suivantes sontvraies ets iellessontvraies

en sensin verse.

G=5 etH=3)G¸H=2(a)G2=16)G=4(b)

¹G3º2¹H¸2ºestun nombrepositif

)Hestsupér ieurà2(c)G3=8)G=2(d)

3.[PLUSDIFFI CILE]Démontrez lesrelations suivantes pourtoutG.

¹1¸Gº2?1¸2G(a)

SiG?3, alors¹1¸Gº3?1¸3G.(b)

Pourtout entiernaturel =, siGestsupér ieurouégal à1, alors¹1¸Gº??1¸=G. Cerésultat

s"appelleinégalitédeBer noulli.(c)©2020 Pearson France - Mathématiques pour l"économie 5e édition

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ALGÈBRE

Dieu acréé lesnombres entiers,

tout lereste estl"oeuvre del"homme .

— LeopoldKronec ker

(1) C e chapitreaborde l"algèbreélémentaire ,mais aussibrièvement quelquesautres sujets que vouspourriez jugerintéressantdere voir .Il estdémontré quemêmelesétudiants qui ontune bonnef ormation enmathématiquestirentunbénéficed"une révisionde cequ"ils ont apprisdansle passé.Ceux-ci devr aientparcour irle sujetetfairequelquese xercicesparmi

les moinssimples .Lesétudiantsqui ontf aitpeu demathématiques ouqui enontétééloignés

pendant longtempsde vraientlireattentivementle texte etfairela plupart desexercices .Enfin, les étudiantsqui rencontrentdes difficultésà comprendrece chapitrede vraient setour ner versdes livresd"algèbre moinsa vancée .

2.1 Lesnombres réels

Pourcommencer ,nouspassonsen revue quelq uesnotions importantesàpropos desnombres. Les nombresde basesont lesentiersnatur els(ensemble désignépar lesymbole N).

0,1,2,3,4,...

Si onleur adjointles entiersnég atifs -1,-2,-3,..., ilsf ormentlesentiersr ationnels (ensemble désignépar lesymbole Z).

0,±1,±2,±3,±4,...

Ils peuventêtrereprésentés surune droitegr aduéecomme celleq uemontrelafigure 2.1.1, où laflèc heindiquele sensdanslequel lesnombres croissent.(1)

Phraseattr ibuéeàKroneck erv ers1886.©2020 Pearson France - Mathématiques pour l"économie 5e édition

Knut Sydsaeter, Peter Hammond, Arne Strøm, Andrés Carvajalquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19