Les équations du premier degré - Lycée dAdultes
Définition 2 Une équation du premier degré est une équation où l’inconnue x n’ap-paraît qu’à la puissance 1 Exemples: 2x + 3 = 7x + 5 est une équation du premier degré 2x2 + 5x 7 = 0 est une équation du second degré 7x + 1 2x + 3 = 5 est une équation rationnelle1 qui peut se ramener au premier degré
Fonctions affines Équations et inéquations du premier degré
inéquations du premier degré Tableau des signes f(x) = 2 > 0 x –∞ +∞ f(x)=2 + 1 6 Conclusion On admet les résultats suivants : f(x) = mx+p Si le coefficient de x m est strictement positif, alors f est strictement croissante sur R Si le coefficient de x m est strictement négatif, alors f est strictement décroissante sur R
350mes - ChingAtome
2 a Déterminer le volume du “coeur” de ce bloc de mar-bre b En déduire le volume de la partie rabotée 3 a Développer: 16 (x 1)(x 8)(x 15) b Pour quelle valeur de x, le volume de la partie rabotée est égale au volume du “coeur” de cette pièce Exercice 2867 La figure ci-dessous est le schéma d’un cric de voiture O A B
Seconde Cours équations et inéquations - Free
Résolution d’une équation du premier degré Règles Lorsqu’on ajoute ou que l’on retranche un même réel aux deux membres d’une équation, on obtient une autre équation qui a exactement les mêmes solutions Lorsqu’on multiplie ou que l’on divise chaque membre d’une équation par un même réel différent
MS2 2F2 chapitrecomplet
a même mesure que le côté [AM]du carré On s’intéresse aux aires du carré, du triangle, au motif constitué par le carré et le triangle Répondre à chacune des questions suivantes en précisant la position du point M pour lequel ce serait possible Préparer un exposé oral pour expliquer le raisonnement et en justifiant la
Cours de mathématiques ECT 1ère année Chapitre 2 Équations et
On en déduit le tableau de signe suivant: x signe de −2x +3 −∞ 3 2 +∞ + 0 − 3 TRINÔME DU SECOND DEGRÉ: ax2 +bx +c, AVEC a =0 3 1 Résolutiondel’équation ax2 +bx +c =0 Définition 3: Discriminant Soient a, b et c des réels avec a =0 On appelle discriminant du trinôme du second degré ax2 + bx +c le nombre, noté
Ordre Les inéquations du 1 degré
• Inéquations du 1er degré : x −3 0 • Inéquations du 2nd degré : x2 −2x 63 et (x +7)2 >(x +1)(x +7) Remarque : On classe les inéquations, comme les équations suivant le degré de l’inconnue car la résolution dépend du degré de l’inconnue Résoudre une in-
CHAPITRE 15 : INÉGALITÉS ET INÉQUATIONS
pas le sens de l'inégalité Quels que soient les nombres a, b et c, – si a b alors a c b c ; – si a b alors a−c b−c Exemple : si x y alors x 7 y 7 et x−3 y−3 Si on multiplie (ou on divise) les deux membres d'une inégalité par un même nombre positif, on ne change pas le sens de l'inégalité
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TABLE DES MATIÈRES 1
Les équations du premier degré
Paul Milan
LMA Seconde le 10 septembre 2010
Table des matières
1 Définition
12 Résolution d"une équation du premier degré
22.1 Règles de base
22.2 Exemples de résolution
42.3 Equations particulières
82.4 Conclusion
93 Développement et factorisation
93.1 Développement d"une quantité algébrique
93.1.1 Par la distributivité
93.1.2 Par une identité remarquable
113.2 Factorisation des quantités algébriques
123.2.1 Avec un facteur commun
123.2.2 Avec une identité remarquable
154 Équations se ramenant au premier degré
164.1 Produit de facteurs nul
164.2 Égalité de deux carrés
184.3 Équations rationnelles se ramenant au premier degré
205 Mise en équation
215.1 Introduction
215.2 Règles de bases
225.3 Un exemple
221 Définition
La notion d"équation est liée à la notion d"inconnue souvent nomméex. Cependant pourqu"il yaitéquationcela nesutpas. Ilfautavoir enplusuneégalité etsurtoutqu"ellene soit pas toujours vérifiée. On peut donner la définition suivante :Définition 1On appelle équation à une inconnue, une égalité qui n"est vérifiée que
pour certaine(s) valeur(s) d"une quantité x appelée inconnue. 2 ConséquenceÉcrire une équation revient donc à se poser la question : pour quelle(s) valeur(s) dexl"égalité est-elle vérifiée?:::::::::::ExemplesTrois propositions :
7x+3 Ce n"est pas une équation, mais une expression algébrique. Il n"y a pas d"égalité.2(2x+3)=4x+6
Ce n"est pas une équation, mais une égalité qui est toujours vérifiée.2x+5=7
C"est une équation car seule la valeurx=1 vérifie l"égalité.Définition 2Une équation du premier degré est une équation où l"inconnue x n"ap-
paraît qu"à la puissance1.:::::::::::Exemples2x+3=7x+5
est une équation du premier degré.2x2+5x7=0
est une équation du second degré.7x+12x+3=5
est une équation rationnelle1qui peut se ramener au premier
degré.2 Résolution d"une équation du premier degré
2.1 Règles de base
Il n"y a que deux règles de base pour résoudre une équation du premier degré. Cettegrande simplicité de résolution explique son succès auprès des élèves.Règle 1On ne change pas une équation si l"on ajoute ou retranche un même nombre
de chaque côté de l"égalité.1Une équation rationnelle est une équation où l"inconnue apparaît au dénominateurpaul milan10 septembre 2010lma seconde
2.1 R `egles de base3::::::::::ExempleSoit l"équation :
2x+3=5
Ajoutons (3) de chaque côté de l"égalité, on a donc :2x+33=53
2x=2:::::::::::::
RemarquesNous pouvons faire deux remarques
1. Dans la pratique on retiendra le raccourci, que tout le monde on le change de signe : de 2x+3=5 on fait passer le 3 de l"autre côté donc 2x=53 2. Cette règle permet de laisser l"inconnue à g auchede l"ég a- lité. On dit qu"elle permet d"isoler l"inconnue.::::::::::ExempleSoit l"équation :
5x+7=3+2x
On isole l"inconnue en déplaçant le 7 et le 2x, on obtient :5x2x=73
On regroupe les termes :
3x=10Règle 2On ne change pas une équation si l"on multiplie ou divise par un même
nombre non nul chaque terme de l"égalité.:::::::::::ExemplesSoit les équations :
2x=1 et 3x=10
Ondivisepar 2lapremièreetpar3la seconde,onobtientalors: x=12 etx=103 paul milan10 septembre 2010lma seconde2.2 Exemples de r´esolution4::::::::::::
RemarqueDans cette deuxième règle, on ne change pas le signe. En eet, on ne dit pas "dans l"équation2x=1le2passe de l"autre côté donc il change de signe". On divise tout simplement. Cette deuxième règle permet de déterminer l"inconnue une fois celle-ci isolée.2.2 Exemples de résolution
Voici quelques exemples typiques de résolution d"équation du premier degré. Chaqueexemple permet de traiter les principales configurations rencontrées dans ces équations.::::::::::::
Exemple 1tout simple
3x5=x+2
On isole l"inconnue :
3x+x=5+2
On regroupe les termes :
4x=7On divise par 4 donc : :
x=74 On conclut par l"ensemble solution que l"on appelle habituelle- mentS: S=(74 )paul milan10 septembre 2010lma seconde2.2 Exemples de r´esolution5::::::::::::
Exemple 2avec des parenth
`eses7(x+4)3(x+2)=3(x1)(x+7)On enlève les parenthèses :
7x+283x6=3x3x7
On isole l"inconnue :
7x3x3x+x=28+637
On regroupe les termes :
2x=32On divise par 2 :
x=16On conclut par l"ensemble solution :
S=f16gpaul milan10 septembre 2010lma seconde
2.2 Exemples de r´esolution6::::::::::::
Exemple 3avec des fractions
2 3 x+18 =x(1)On reduit au même dénominateur :
16x+324
=24x24 (2)On multiplie par 24 :
16x+3=24x(3)
On isole l"inconnue :
16x24x=3
On regroupe les termes :
8x=3On divise par (8) :
x=38On simplifie les signes :
x=38On conclut par l"ensemble solution :
S=(38 RemarqueDans la pratique, on passe tout de suite de la ligne (1) à la ligne (3) en multipliant par le dénominateur commun, soit : 23x+18 =x (24) 16x+3=24xpaul milan10 septembre 2010lma seconde
2.2 Exemples de r´esolution7::::::::::::
Exemple 4´
egalit´e entre deux fractionsx35 =4+5x3 On eectue un produit en croix (voir chapitre 1), on a donc :3(x3)=5(4+5x)
On enlève les parenthèses et on isole l"inconnue :3x9=20+25x
3x25x=9+20
On regroupe les termes et on divise par (22) :
22x=29
x=2922On conclut par l"ensemble solution :
S=( 2922Exemple 5des fractions et des parenth
`esesx+233(x2)4
=7x+212 +2 (12) 4(x+2)9(x2)=7x+2+24 On enlève les parenthèses et on isole l"inconnue :4x+89x+18=7x+2+24
4x9x+7x=818+2+24
On regroupe les termes et on divise par 2 :
2x=0 x=0On conclut par l"ensemble solution :
S=f0gpaul milan10 septembre 2010lma seconde
2.3 Equations particuli`eres82.3 Equations particulières
Ce sont des équations qui, après réduction, sont de la forme : 0x=b. Nous sommesalors dans un cas particulier que nous allons traiter à l"aide des deux exemples ci-dessous.::::::::::::
Exemple 1une
´equation impossible2(x+4)+15x=3(1x)+7
On enlève les parenthèses :
2x+8+15x=33x+7
On isole l"inconnue :
2x5x+3x=81+3+7
Si on eectue les regroupements desxà gauche, on s"aperçoit qu"il n"y en a plus. On devrait mettre alors 0, mais comme on cherche la valeur dex, par convention on écrira 0x. On obtient donc : 0x=1 ce qui n"est manifestement jamais vérifiée. L"équation n"a donc aucune solution. On conclut par l"ensemble solution : S=?où?est le symbole de l"ensemble vide::::::::::::Exemple 2une infinit
´e de solution3(2x+4)2x=142(12x)
On enlève les parenthèses :
6x+122x=142+4x
On isole l"inconnue :
6x2x4x=12+142
On regroupe les termes :
0x=0 ce qui, cette fois-ci, est toujours vrai pour toutes les valeurs dexpossibles. Toutes les valeurs de l"ensemble des réels conviennent, on conclut donc par :S=Rpaul milan10 septembre 2010lma seconde
2.4 Conclusion92.4 Conclusion
On peut résumer les diérentes éventualités d"une équation du premier degré dans le tableau suivant :Règle 3Toute équation du premier degré peut se mettre sous la forme : ax=b 1. Si a ,0, l"équation admet une unique solution : x=ba donc S=(ba 2. Si a =0et b,0l"équation n"a pas de solution, donc : S=? 3. Si a =0et si b=0tout x réel est solution, donc :S=R::::::::::::
RemarqueComme dans le premier cas la solution est de la forme ba , on peut donner une autre définition d"un nombre irrationnel. Un nombrexest irrationnel si et seulement sixn"est solution d"au- cune équation du premier degré à coecients entiers.3 Développement et factorisation
3.1 Développement d"une quantité algébrique
3.1.1 Par la distributivité
Comme son nom l"indique, on utilise la propriété de la multiplication par rapport à l"addition :Règle 4Pour tous nombres réels a, b, c, et d on a la relation : (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bdC"est la distributivité de la multiplication par rapport à l"addition.paul milan10 septembre 2010lma seconde
3.1 D ´eveloppement d"une quantit´e alg´ebrique10::::::::::::