Les équations du premier degré - Lycée dAdultes
Définition 2 Une équation du premier degré est une équation où l’inconnue x n’ap-paraît qu’à la puissance 1 Exemples: 2x + 3 = 7x + 5 est une équation du premier degré 2x2 + 5x 7 = 0 est une équation du second degré 7x + 1 2x + 3 = 5 est une équation rationnelle1 qui peut se ramener au premier degré
Fonctions affines Équations et inéquations du premier degré
inéquations du premier degré Tableau des signes f(x) = 2 > 0 x –∞ +∞ f(x)=2 + 1 6 Conclusion On admet les résultats suivants : f(x) = mx+p Si le coefficient de x m est strictement positif, alors f est strictement croissante sur R Si le coefficient de x m est strictement négatif, alors f est strictement décroissante sur R
350mes - ChingAtome
2 a Déterminer le volume du “coeur” de ce bloc de mar-bre b En déduire le volume de la partie rabotée 3 a Développer: 16 (x 1)(x 8)(x 15) b Pour quelle valeur de x, le volume de la partie rabotée est égale au volume du “coeur” de cette pièce Exercice 2867 La figure ci-dessous est le schéma d’un cric de voiture O A B
Seconde Cours équations et inéquations - Free
Résolution d’une équation du premier degré Règles Lorsqu’on ajoute ou que l’on retranche un même réel aux deux membres d’une équation, on obtient une autre équation qui a exactement les mêmes solutions Lorsqu’on multiplie ou que l’on divise chaque membre d’une équation par un même réel différent
MS2 2F2 chapitrecomplet
a même mesure que le côté [AM]du carré On s’intéresse aux aires du carré, du triangle, au motif constitué par le carré et le triangle Répondre à chacune des questions suivantes en précisant la position du point M pour lequel ce serait possible Préparer un exposé oral pour expliquer le raisonnement et en justifiant la
Cours de mathématiques ECT 1ère année Chapitre 2 Équations et
On en déduit le tableau de signe suivant: x signe de −2x +3 −∞ 3 2 +∞ + 0 − 3 TRINÔME DU SECOND DEGRÉ: ax2 +bx +c, AVEC a =0 3 1 Résolutiondel’équation ax2 +bx +c =0 Définition 3: Discriminant Soient a, b et c des réels avec a =0 On appelle discriminant du trinôme du second degré ax2 + bx +c le nombre, noté
Ordre Les inéquations du 1 degré
• Inéquations du 1er degré : x −3 0 • Inéquations du 2nd degré : x2 −2x 63 et (x +7)2 >(x +1)(x +7) Remarque : On classe les inéquations, comme les équations suivant le degré de l’inconnue car la résolution dépend du degré de l’inconnue Résoudre une in-
CHAPITRE 15 : INÉGALITÉS ET INÉQUATIONS
pas le sens de l'inégalité Quels que soient les nombres a, b et c, – si a b alors a c b c ; – si a b alors a−c b−c Exemple : si x y alors x 7 y 7 et x−3 y−3 Si on multiplie (ou on divise) les deux membres d'une inégalité par un même nombre positif, on ne change pas le sens de l'inégalité
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Fonctions affines
Équations et inéquations du premier degré1.Fonctions affinesp23. Fonctions affines par morceaux p12
2. Équations et inéquations du premier degrép8
Fonctions affines-équations et
inéquations du premier degré1. Fonctions affines
1.1.Définitions
On nomme fonction affine, toute fonction définie sur R par : f(x) = mx+p (m et p sont deux nombres réels donnés).Par exemple : f(x) = 2x - 3
✔Si p = 0, on dit la fonction est linéaire (Exemple : f(x) = -2x) ✔Si m = 0, on dit que la fonction est constante (Exemple : f(x) = 3)1.2. Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction affine définie par f(x) = mx+p est une droite (on dit la droite
d'équation : y=mx+p) ✔m est le coefficient directeur de la droite ✔Si p = 0, la droite passe par l'origine1.3. Exemple 1 : cas d'une fonction croissante
R x f(x) = 2x -3f R :Etude de variations de f1 ère méthode
a et b sont deux nombres réels. On suppose a < b, on doit comparer f(a) et f(b), c'est à dire 2a-3 et 2b-3.✔Pour cela comme a ✔Si cette différence est positive alors f(a) < f(b) et la fonction est strictement croissante sur R. ✔Si cette différence est négative alors f(a) > f(b) et la fonction est strictement décroissante sur R. ✔Sur ]1,5;+∞[la courbe est strictement au dessus de l'axe des abscisses. Donc pour x ∈]1,5;+∞[ ✔Sur ]-∞;1,5[la courbe est strictement au dessous de l'axe des abscisses. Donc pour x ∈]-∞;1,5[f(x) < 0 ✔Si cette différence est positive alors f(a) < f(b) et la fonction est strictement croissante sur R. ✔Si cette différence est négative alors f(a) > f(b) et la fonction est strictement décroissante sur R. ✔Sur ]-∞;2[la courbe est strictement au dessus de l'axe des abscisses. Donc pour x ∈]-∞;2[f(x) > 0 ]2;+∞[la courbe est strictement au dessous de l'axe des abscisses. Donc pour x ∈]2;+∞[f(x) < 0 ✔Si f est une application linéaire alors le tableau de valeurs est un tableau de proportionalité. ✔Si f est une application affine alors le tableau de valeurs n'est pas un tableau de proportionalité. On remarque que si on choisit a et b distincts appartenant à l'ensemble des valeurs de x du tableau, et que l'on ✔On transpose tous les termes contenant l'inconnue dans un membre et tous les autres termes dans ✔Si le coefficient de l'inconnue est non nul, on divise par ce nombre les deux membres. Si ce nombre est strictement positif, on conserve le sens de l'inégalité, si ce nombre est strictement négatif, on Dans notre exemple, il y a des dénominateurs, on peut réduire au même dénominateurs. Ici le dénominateur2a < 2b
✔On ajoute -3 aux deux membres de l'inégalité 2a-3 < 2b-3 soit f(a) < f(b)
On a bien démontré que :
si a < b alors f(a) < f(b) c'est à dire f est strictement croissante sur R2 ème méthode
a < b veut dire 0 < b - a. Pour comparer f(a) et f(b), on va donc étudier le signe de la différence de f(b) - f(a). Fonctions affines-équations et
inéquations du premier degré Revenons à notre exemple :
f(b) - f(a) = 2b - 3 - (2a - 3) = 2b - 3 - 2a +3 = 2(b - a) 2 est positif et (b - a) est positif donc le produit des 2 nombres est positif,
soit f(b) - f(a) > 0 et f(a) < f(b) c'est à dire f est strictement croissante sur RTableau de variations x-∞+∞ f(x) = 2x - 3 Tracé de la courbe
La courbe est une droite, pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points. x02 f(x)-31 Résolution graphique f(x) = 0
✔On trouve x = 1,5. Fonctions affines-équations et
inéquations du premier degré Tableau des signes
1.4 Exemple 2 : cas d'une fonction décroissante
R xf R :fx=-1 2x1
Etude de variations de f
1 ère méthode
a et b sont deux nombres réels. On suppose a < b, on doit comparer f(a) et f(b), c'est à dire -1 2a1et-1
2b1✔Pour cela comme a
2est strictement
négatif, on change donc le même sens de l'inégalité). On obtient : -1 2a-1
2b ✔On ajoute 1 aux deux membres de l'inégalité -1 2a1-1
On a bien démontré que :
si a < b alors f(a) > f(b) c'est à dire f est strictement décroissante sur R2 ème méthode
a < b veut dire 0 < b - a. Pour comparer f(a) et f(b), on va donc étudier le signe de la différence de f(b) - f(a). Fonctions affines-équations et
inéquations du premier degré Revenons à notre exemple : fb-fa=-1 2b1--1
2a1=-1
2b11
2a-1=-1
2b1
2a=-1 2b-a-1
2est négatif et (b - a) est positif
soit f(b) - f(a) < 0 et f(a) > f(b) c'est à dire f est strictement décroissante sur RTableau de variations
x-∞+∞ fx=-1 2x1
Tracé de la courbe
La courbe est une droite, pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points. x02 f(x)10 Résolution graphique f(x) = 0
Fonctions affines-équations et
inéquations du premier degré ✔On trouve x = 2 Tableau des signes
1.5.Exemple 3 : cas d'une fonction constante
R xf R : f(x) =2 Etude de variations de f
a ∈ R, b ∈ R, f(b) = f(a) = 2 On a bien démontré que :
f est constante sur RTableau de variations
x-∞+∞ fx=2 Tracé de la courbe
La courbe est une droite, pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points. x03 f(x)22 Fonctions affines-équations et
inéquations du premier degré Tableau des signes
✔f(x) = 2 > 0 x-∞+∞ f(x)=2+ 1.6. Conclusion
On admet les résultats suivants :
f(x) = mx+p ✔Si le coefficient de x m est strictement positif, alors f est strictement croissante sur R✔Si le coefficient de x m est strictement négatif, alors f est strictement décroissante sur R✔Si le coefficient de x m est nul (m=0), alors f est la fonction constante égale à p1
1.7.Propriétés
Exemple
f(x) = 0,1x x015101324 f(x)00,10,511,32,4 Fonctions affines-équations et
inéquations du premier degré Exemple
f(x) = -3x + 5 x01345101720 f(x)52-4-7-10-25-46-55 20-0=-55-5
20=-6 3=-3 ✔a=1 et b=5f5-f1 5-1=-10-2
4=-12 4=-3✔a=10 et b=17
f17-f10 17-10=-4625
7=-21 7=-3✔a=4 et b=0
f0-f4 0-4=57
-4=-32. Equations et inéquations du 1er degré à une inconnue 2.1 Exemple 1
Résoudre dans R l'inéquation suivante :
x-3 22x-1
31x est l'inconnue
Méthodologie :
✔On sépare les termes contenant l'inconnue des termes ne contenant pas l'inconnue. Fonctions affines-équations et
inéquations du premier degré 1232x-1
1212×1
12On multiplie alors les deux membre par 12. Comme 12 >0 on conserve le même sens de l'inégalité
On développe pour séparer les termes
20Donc
S=]-∞;37
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