Section 10 3 Ellipses 745 When discussing ellipses, you might also choose to discuss the latera recta as background for Exercises 62–66 Consider the equation of the ellipse If you let then the equa-tion can be rewritten as which is the standard form of the equation of a circle with radius (see Section 1 2) Geometrically, when for
TABLE DES MATIÈRES v 14 4 2 Projecteurs d’un espace vectoriel 121 14 4 3 Symétries d’un K-espace vectoriel 123
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2 4 6 8 2 4 0 P 1 P 2 Pour le point O(0;0), l’expression x + 2y 2 vaut 2 L’expression est donc négative sur P 1 (dont O en fait partie) et positive sur P 2 L’ensemble des points solutions de l’inéquation
4 BIBLIOGRAPHIE [63] Équations du second degré à une inconnue URL : http://ww2 ac-poitiers fr/ math_sp [64]G BONTEMPS & al , Fractale, Maths 1re S, Bordas
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Mathématiques MPSI
Pierron Théo
ENS Ker Lann
2
Table des matièresI Algèbre1
1 Ensembles3
1.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Opérations sur les parties d"un ensemble . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Relations d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Applications7
2.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Fonction et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Restriction et prolongement d"applications . . . . . . .8
2.1.3 Composition d"applications . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Image directe et réciproque de parties par une application 9
2.2 Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . .. . 10
2.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Étude des bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Le principe de récurrence13
3.1 Axiomes de Péano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Ensembles finis17
4.1 Notion d"ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.2 Résultats essentiels sur les ensembles finis . . . . . . . 18
4.2 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.1 Résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.2 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Arithmétique dansZ21
5.1 Structure additive deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 PGCD et PPCM de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . 22
i iiTABLE DES MATIÈRES
5.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2.2 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2.3 Algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Le corps des réels29
6.1 Relation d"ordre surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.2 Bornes supérieure et inférieure d"une partie deR. . . 30
6.2 Théorème de la borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2.2 Partie entière d"un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2.3 Notion d"intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Droite numérique achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Les complexes35
7.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.2 Rappels sur les complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2.1 Opérations dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2.3 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.3 Forme trigonométrique d"un complexe . . . . . . . . . . . . . . 37
7.3.1 Écriture trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.3.2 Calcul numérique d"un argument . . . . . . . . . . . . 38
7.4 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.4.3 Étude de formes trigonométriques . . . . . . . . . . . . 40
7.5 Racinesn-ièmes d"un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.5.1 Définition et expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.5.2 Extraction des racines carrées d"un complexe sous forme
algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.5.3 Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8 Géométrie plane45
8.1 Repérage d"un point dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.1.1 Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.1.2 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.1.3 Repérage polaire du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2 Identification dePdansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
TABLE DES MATIÈRESiii
8.2.2 Représentation analytique complexe d"applicationsde
PdansP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.3 Outils géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3.2 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.3.3 Un exercice corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.4 Étude des droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.4.1 Description d"une droite dans un repère quelconque . .53
8.4.2 Étude quand le repère d"étude est orthonormé direct . 55
8.4.3 Distance d"un point à une droite . . . . . . . . . . . . . 57
8.4.4 Angles de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5 Étude des cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5.1 Repérage cartésien d"un cercle . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5.2 Autres paramétrages d"un cercle . . . . . . . . . . . . . 61
8.5.3 Intersection droite-cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9 Coniques65
9.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.2 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.3 Hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.3.1 Paramétrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.3.2 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.4 Parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10 Courbes du second degré75
10.1 Changements de repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.1.1 Effet d"une translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.1.2 Effet d"une rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.2 Étude deA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11 Géométrie dans l"espace usuel 79
11.1 Repérage dansE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.1.1 Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.1.2 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2 Outils géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.2.3 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11.3 Plans de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11.3.1 Représentation dans un repère quelconque . . . . . . . 83
11.3.2 Dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . 84
ivTABLE DES MATIÈRES
11.4 Droites de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.4.1 Dans un repère quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.4.2 Distance d"un point à une droite . . . . . . . . . . . . . 87
11.4.3 Perpendiculaire commune à deux droites . . . . . . . . 88
11.5 Étude des sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
12 Groupes, anneaux, corps93
12.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.1.2 Propriétés des lois de composition internes . . . . . . .93
12.1.3 Élements remarquables d"un ensemble . . . . . . . . . 94
12.1.4 Propriétés des lois associatives . . . . . . . . . . . . . . 95
12.1.5 Notations multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12.1.6 Notations additives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.2 Groupes et morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
12.4 Structure d"anneau et de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
12.4.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
12.4.2 Règles de calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . 100
13 Résolution de systèmes linéaires 103
13.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13.2 Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13.2.1 Opération de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13.2.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
13.3 Compléments pour limiter les calculs . . . . . . . . . . . . . . 106
13.4 Compatibilité d"un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . .107
14 Structure d"espace vectoriel 109
14.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.2.2 Stabilité de la notion de sous-espace vectoriel . . . .. 112
14.2.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . 114
14.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
14.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
14.3.2 Image directe et réciproque de sous-espaces vectoriels . 118
14.3.3 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
14.3.4 Structure deL(E,E?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14.4 Liens entre applications linéaires et sommes directes. . . . . . 120
14.4.1 Construction d"une application linéaire . . . . . . . . .120
TABLE DES MATIÈRESv
14.4.2 Projecteurs d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 121
14.4.3 Symétries d"unK-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 123
15 Familles de vecteurs125
15.1 Décomposition d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.1.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.1.3 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
15.2 Bases d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.2.2 Existence de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.2.3 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
15.2.4 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
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103 Ellipses