Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours
Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours Dans tout le chapitre désigne ou , n et p deux entiers naturels non nuls 1 L'ensemble M n,p( ) 1 1 Définition et vocabulaire Déf: On appelle matrice à n lignes et p colonnes, à coefficients dans , toute famille de indexée par = 1;n 1;p On note A = (a i,j)
R esum e de cours : Matrices
Matrice d’une famille de vecteurs dans une base Soit B une base d’un espace vectoriel de dimension n et C une famille de p vec-teurs de E, la matrice de la famille C dans la base B est la matrice a n lignes et p colonnes not ee MB(C) dont les colonnes sont form ees par les coordonn es des el emen ts de C dans B
Matrices - maths-francefr
La matrice carrée nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls Elle se note 0 n La matrice identité est la matrice dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1et les autres à 0 Elle se note I n Par exemple, I3 = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients
Exo7 - Cours de mathématiques
• La matrice (de taille n p) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0 Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels 1 3 Addition de matrices Définition 3 (Somme de deux matrices) Soient A et B deux matrices ayant la même
Matrices, determinants
3 La matrice nulleest la matrice dont tous les coe cients sont nuls On la note 0 np si elle a n lignes et p colonnes, 0 s'il n'y a pas d'ambigu t e 4 Les matrices carrees sont les matrices dont les nombres de lignes et de colonnes sontegaux Ce nombre de lignes et de colonnes s'appellel'ordre de la matrice
Les matrices
matrice (n, p) par une matrice matrice (p,m) La matrice résul-tante est (n,m) • Si M est une matrice carrée d’ordre n: M ×In =In ×M =M Le produit matriciel n’est pas commutatif en général Ainsi, sous réserve que les produits existent : A ×B 6= B ×A • On dit qu’une matrice (n, p) lorsqu’elle est composée de n lignes et
Résumé de Math Sup et compléments : matrices
Résumé de Math Sup et compléments : matrices I - Opérations dans Mn,p(K) Une matrice à n lignes et p colonnes (n et p entiers naturels non nuls) est une application de J1,nK×J1,pK dans Kqui à un couple d’indices (i,j)associe un élément de Knoté ai,j Une matrice se note A =(ai,j)16i6n, 16j6p 1) Structure de K-espace vectoriel de Mn
Calculs matriciels - unicefr
la matrice obtenue en appliquant cette transformation à la matrice unité I p Une matrice élémentaire est inversible et sa matrice inverse est une matrice élémentaire Preuve en exercice Second exemple important : Inversion par relation polynomiale Si une matrice Avéri e une relation polynômiale de la forme Xn k=0 kA k= 0 avec
[PDF] matrice d'observabilité
[PDF] Matrice de suites
[PDF] matrice de trace nulle semblable ? une matrice de diagonale nulle
[PDF] matrice de transition cours
[PDF] matrice de transition definition
[PDF] matrice de transition exemple
[PDF] matrice de transition terminale s
[PDF] matrice des coefficients techniques
[PDF] matrice diagonalisable exemple
[PDF] Matrice et variable aléatoire
[PDF] matrice identité d'ordre 3
[PDF] matrice inverse de leontief definition
[PDF] matrice inversible exercice corrigé
[PDF] matrice nilpotente exercice corrigé
PCSI2
N.Véron-jan 2014-LMB
Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours
Dans tout le chapitre désigne ou , n et p deux entiers naturels non nuls.1. L'ensemble Mn,p()
1.1 Définition et vocabulaire
Déf: On appelle matrice à n lignes et p colonnes, à coefficients dans , toute famille de indexée par = 1;n1;p. On note A = (ai,j)(i,j) et on représente A sous forme de tableau.1,1 1,p
i,j n,1 n,p colonne j a a a ligne i a aProposition 12.1: Deux matrices sont égales ssi elles ont même taille et mêmes coefficients.
Notation: L'ensemble des matrices nxp à coefficients dans est noté Mn,p()Vocabulaire:
La matrice nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, on la note 0n,p.Si n = 1 A est une matrice ligne.
Si p = 1, A est une matrice colonne
Si n = p A est une matrice carrée d'ordre n.
On note Li(A) = (ai,1,...,ai,p) la ième ligne de A et Cj(A) = 1,j n,j a a la jème colonne de A.1.2 Combinaisons linéaires de matrices
Def: Soit A = (ai,j)(i,j) et B = (bi,j) (i,j), deux matrices de Mn,p() et . On définit une loi interne d'addition en posant A+B = (ai,j+bi,j) (i,j) On définit une loi de produit externe en posant A = (ai,j) (i,j) Proposition 12.2: Soit A, BMn,p() et ,, on a les règles de calcul suivantes :Propriétés de l'addition
(A+B)+C = A+(B+C)A+0n,p = 0n,p+A
A+(-A) = (-A)+A = 0n,p où -A = (-ai,j) (i,j)
A+B = B+A
Propriétés de la multiplication par un
scalaire (A+B) = A + B et (+)A = A + B (A) = ()A1lK.A = A
Remarque : On verra ultérieurement que l'ensemble Mn,p() muni des deux opérations précédentes est un lK-espace vectoriel. Notation: Soit i et j deux entiers naturels. Le symbole de Kronecker ij est un entier qui vaut 1 si i = j et 0 sinon PCSI2N.Véron-jan 2014-LMB
Def: On note Ei,j la matrice (k,i.l,j)(k,l).
C'est à dire la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à la ligne i et à la
colonne j Proposition 12.3 : Soit AMn,p(), A s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des matrices (Ei,j)(i,j) : p pn n i,j i,j i,j i,j i 1 j 1 j 1 i 1A a E a E
Remarques : On verra ultérieurement que ces matrices forment une base de Mn,p() appelée base canonique.1.3 Produit de deux matrices
Def : Soit n, p, m * et A = (aij)Mn,p() et B = (bij)Mp,m(). On définit la matrice ABMn,m(lK) par AB = (ci,j) avecPour tout (i,j)1;n1;m, c,i,j =
p ik kj 1i 1 j i 2 2 j ip pj k 1 a b a b a b ... a b1,1 1,j 1,m
k,1 k,j k,m p,1 p,j p,m1,1 1,j 1,m1,1 1,k 1,p
i,1 ij i,mi,1 i,k i,p n,1 n,k n,pn,1 n,j n,m b b b b b b b b b c c ca a a c c ca a a a a ac c c Attention : Le produit matriciel a des propriétés différentes du produit de deux réels : Le produit AB n'est pas toujours défini : il existe à condition que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B Ce n'est pas une loi interne excepté dans le cas particulier des matrices carrées. Le produit n'est pas commutatif, même dans le cas de deux matrices carrées. Il existe A et B non nulles telles que AB = 0 donc la règle du produit nul est fausse. Si AB = AC on ne peut pas en déduire que B = C. Proposition 12.4 : Soit A Mn,p(), B Mp,m(), X Mp,1() et Y M1,n() AX =1,1, 1,2 1,p1
1,2, 2,2 2,p 2
pn,1 n,2 n,p a a ax a a a x xa a a1,1 1 1,p p
2,1 1 2,p p
n,1 1 n,p p a x a x a x a x a x a x = x1C1(A) + x2C2(A) + ...+xpCp(A)YA = y1L1(A) + y2L2(A) + ... + ynLn(A)
PCSI2N.Véron-jan 2014-LMB
j1,m, Cj(AB) = A.Cj(B) i1,n, Li(AB) = Li(A).B i1,n, j1,m, cij = Li(A).Cj(B) avec C = AB Application: Ecriture matricielle d'un système linéaire: Soit (S) un système de taille np et de matrice augmentée (A|B).Si on note X =
1 2 p x x x , on a (S) AX = B et le système homogène associé est (H) AX = 0 Proposition 12.5: Propriétés du produit matriciel.AMn,p(), BMp,q(), CMq,m(), A(BC) = (AB)C
AMn,p(), B,CMp,m(), A(B+C) = AB + AC
A,BMn,p(), CMp,m(), (A+B)C = AC + BC
lK, AMn,p(), BMp,m(), (AB) = (A)B = A(B)AMn,p(), In.A = A.Ip = A où In =
1 0 0 0 1 0 0 0 1 = (i,j)1 n Cas particulier important: Multiplication à droite et à gauche par Ei,j. AMn,p(), Ei,jMp,m() , A.Ei,j est la matrice dont toutes les colonnes sont nulles sauf la jème colonne qui contient la ième colonne de A. AMp,m(), Ei,jMn,p , Ei,j.A est la matrice dont toutes les lignes sont nulles sauf la ième ligne qui contient la jème ligne de A. Lorsque le produit est bien défini, Ei,j.Ek,l = j,kEi,l1.4 Transposition
Def: Soit AMn,p() avec A = (ai,j).
La transposée de A est la matrice de Mp,n() définie par tA = (aj,i) Dans la pratique: les lignes de A sont les colonnes de tA et inversement. Proposition 12.6: Propriétés de la transposition La transposition est linéaire c'est à dire, A,BMn,p(), ,, t(A+B) = tA + tBAMn,p(), t(tA) = A
AMnp(), BMp,m(), t(AB) = tB tA
2. Les matrices carrées
2.1 Calculs dans Mn()
Def: Une matrice nxn est appelée matrice carrée d'ordre n.L'ensemble de ces matrices est noté Mn().
PCSI2N.Véron-jan 2014-LMB
D'après le paragraphe précédent :
Toute matrice carrée s'écrit comme combinaison linéaire des matrices (Ei,j)1 Soit A et B deux matrices carrées d'ordre n, le produits matriciels AB existe et donne une matrice carrée d'ordre n. Le produit est donc une opération interne dans Mn(lK) En général on a AB BA. Lorsque AB = BA, on dit que A et B commutentPour toute matrice carrée A, AIn = InA = A
Def : On peut définir des puissances entières dans Mn() de la façon suivante :AMn(), A0 = In et k, Ak+1 = Ak.A = A.Ak
Proposition 12.7 : Si A et B commutent dans Mn() alors on peut appliquer les formules du binôme et de Bernoulli. m, (A+B)m = m mk m k k m k k 0 k 0 m mA B B Ak k et Am - Bm = (A-B) m 1k m 1 k k 0 A B2.2 Matrices carrées particulières
a) Matrices diagonalesDef: Soit AMn().
A = (ai,j) est diagonale ssi (ij ai,j = 0)
Si A est diagonale et si i1;n, aii = , A = In est dite scalaire.Exemple: D = diag(d1,...dn)
Notation: Dn() est l'ensemble des matrices diagonales d'ordre n.Proposition 12.8 :
Toute combinaison de matrice diagonales est une matrice diagonales diag(d1,...dn)diag(d'1,...,d'n) = diag(d1d'1,...,dnd'n) p, (diag(d1,...,dn))p = diag(d1p,...,dnp) b) Matrices triangulairesDef: Soit AMn().
A = (ai,j) est triangulaire supérieure lorsque tous ses coefficients situés sous sa diagonale sont
nuls c'est à dire que (i > j ai,j = 0). A = (ai,j) est triangulaire inférieure lorsque tous ses coefficients situés au-dessus de sa diagonale sont nuls c'est à dire que (i < j ai,j = 0).Exemple: T triangulaire supérieure.
Notations: On note Tn+() (resp Tn-()) l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) de Mn(). PCSI2N.Véron-jan 2014-LMB
Proposition 12.9 :
Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est triangulaire inférieure. Dans les deux cas la diagonale du produit est (t11t'11,...,tnnt'nn). c) Matrices symétriques et antisymétriquesDef: Soit AMn()
A est symétrique lorsque tA = A c'est à dire que i,j1;n, aj,i = ai,j A est antisymétrique lorsque tA = -A c'est à dire que i,j1;n, aj,i = - ai,j Remarque: Une matrice antisymétrique est nécessairement de diagonale nulle. Notation: On note Sn() l'ensembles des matrices symétriques et An() celui des matrices antisymétriques.3. Matrices carrées inversibles
3.1 Le groupe linéaire GLn()
Def: Soit AMn(). A est inversible lorsque il existe BMn() tel que AB = BA = In. Dans ce cas, B est unique, est appelé inverse de A et noté A-1. Attention : 0n n'est pas inversible mais il existe des matrices non nulles non inversibles.Exemples à connaître:
Une matrice diagonale est inversible ssi tous ses éléments diagonaux sont non nuls. Si D = diag(d1,...dn) avec i1;n di0 alors D-1 = diag(d1-1,...,dn-1).In est inversible et In-1 = In.
Notation/vocabulaire: L'ensemble des matrices inversibles est noté GLn() et appelé groupe linéaire d'ordre n.Remarque : Si une matrice A est inversible alors
AB = AC A-1(AB) = A-1(AC) (A-1A)B = (A-1A)C B=C On peut donc "simplifier par A" l'égalité AB = AC. Proposition 12.10: Compatibilité avec les opérations matricielles: Soit A, BGLn() et *.A est inversible et (A)-1 = 11A
AB est inversible et (AB)-1 = B-1A-1
tA est inversible et (tA)-1 = t(A-1)3.2 OEL, matrices élémentaires :
Rappels du chapitre 11 :
Il y a trois type d'OEL pour les matrices : Les permutations ( LiLj ), les dilatations ( LiLi ) et les
transvections (LiLi + Lj )Deux matrices A et A' sont équivalentes en ligne lorsqu'on peut passer de l'une à l'autre par une succession
d'OEL. On note LA A'Un matrice échelonnée réduite est une matrice échelonnée dont tous les pivots valent 1 et qui sont les
seuls éléments non nuls de leur colonne respectives PCSI2N.Véron-jan 2014-LMB
L'algorithme de Gauss Jordan montre que toute matrice est équivalente en ligne à une matrice échelonnée
réduite dont on admet l'unicité. Cf TD.Def : Soit un scalaire non nul, on appelle matrices élémentaires les matrices carrées suivantes :
Les matrices de permutation : Pi,j obtenue en appliquant LiLj à In.Pi,j = In - Ei,i - Ej,j + Ei,j + Ej,i
les matrices de dilatations : Di obtenue en appliquant LiLi à In.Di = In + (-1)Ei,i
Les matrices de transvections Tij obtenue en appliquant LiLi + Lj à In.Tij = In + Eij
Proposition 12.11 : Soit A une matrice de Mn,p()
L'opération LiLj correspond à multiplier à gauche par Pi,j L'opération LiLi correspond à multiplier à gauche par D,i L'opération LiLi + Lj correspond à multiplier à gauche par Ti,j,Corollaire : Soit A et A' deux matrices de Mn,p()
Les matrices élémentaires sont inversibles et (Pij) = Pji, (Di)-1 = 1iD , Tij = Tij(-) A et A' sont équivalentes en ligne ssi il existe une matrice inversible E produit de matricesélémentaires telle que A' = EA
Pour toute matrice A, il existe une unique matrice échelonnée réduite R et une matrice inversible E produit de matrices élémentaires telle que A = ER Théorème 12.1: Caractérisations des matrices inversibles. Soit AMn(), les propositions suivantes sont équivalentes :A est inversible
Le système AX = 0 a une unique solution
nLA I Pour tout BMn,1(), le système AX = B a une unique solution. Pour tout BMn,1(), le système AX = B a au moins une solution.Plan de la démonstration : puis
Conséquence pratique : Soit A,BMn() vérifiant BA = In, on a AX = 0 B(AX) = 0 X = 0 donc le système AX = 0 admet une unique solution et par suite A est inversible.On a de plus AB = In A-1(AB) = A-1 B = A-1.
Ainsi l'égalité BA = In suffit pour affirmer que A et B sont inversibles et inverses l'une de l'autre.
3.3 Calcul pratique de l'inverse :
Méthode 1 : Résolution d'un système linéaire On considère le système (S) AX = B où B est quelconque dans Mn,1(). On résout ce système. Si il a une unique solution alors A est inversible et on a : (S) X = A-1Y, ce qui permet de récupérer A-1 Méthode 2 : Utilisation de l'algorithme de Gauss-JordanPar une succession d'OEL on transforme M en l'unique matrice échelonnée réduite R qui lui est
équivalente en ligne. Parallèlement, on applique les mêmes OEL sur In : on obtient une matrice B.
Si R = In alors A est inversible et on a donc A = EIn et In = EB soit AB = In et par suite B = A-1. PCSI2N.Véron-jan 2014-LMB
4. Complément : O.E.C
Def et Proposition 12.12: Opérations élémentaires sur les colonnes (O.E.C) d'une matrice. Soit AMn,p(), les opérations élémentaires sur les colonnes de A sont :L'échange de deux colonnes (permutation)
l'opération CiCj correspond à multiplier à droite par Pi,jGLp() La multiplication d'une colonne par un scalaire (dilatation) l'opération CiCi correspond à multiplier à droite par D,i GLp() L'ajout à une colonne d'un multiple d'une autre colonne (transvection) l'opération CiCi + Cj correspond à multiplier à droite par Ti,j, GLp() Vocabulaire : Deux matrices A et A' sont dites équivalentes en colonne lorsqu'on peut passer del'une à l'autre par une succession d'OEC ou encore lorsqu'il existe une matrice inversible E produit
de matrices élémentaires telle que A = A'E. On note CA A'Def : A est échelonnée (réduite) en colonne lorsque sa transposée est échelonnée (réduite) en
ligne.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47