[PDF] R esum e de cours : Matrices



Previous PDF Next PDF







Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours

Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours Dans tout le chapitre désigne ou , n et p deux entiers naturels non nuls 1 L'ensemble M n,p( ) 1 1 Définition et vocabulaire Déf: On appelle matrice à n lignes et p colonnes, à coefficients dans , toute famille de indexée par = 1;n 1;p On note A = (a i,j)



R esum e de cours : Matrices

Matrice d’une famille de vecteurs dans une base Soit B une base d’un espace vectoriel de dimension n et C une famille de p vec-teurs de E, la matrice de la famille C dans la base B est la matrice a n lignes et p colonnes not ee MB(C) dont les colonnes sont form ees par les coordonn es des el emen ts de C dans B



Matrices - maths-francefr

La matrice carrée nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls Elle se note 0 n La matrice identité est la matrice dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1et les autres à 0 Elle se note I n Par exemple, I3 = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients



Exo7 - Cours de mathématiques

• La matrice (de taille n p) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0 Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels 1 3 Addition de matrices Définition 3 (Somme de deux matrices) Soient A et B deux matrices ayant la même



Matrices, determinants

3 La matrice nulleest la matrice dont tous les coe cients sont nuls On la note 0 np si elle a n lignes et p colonnes, 0 s'il n'y a pas d'ambigu t e 4 Les matrices carrees sont les matrices dont les nombres de lignes et de colonnes sontegaux Ce nombre de lignes et de colonnes s'appellel'ordre de la matrice



Les matrices

matrice (n, p) par une matrice matrice (p,m) La matrice résul-tante est (n,m) • Si M est une matrice carrée d’ordre n: M ×In =In ×M =M Le produit matriciel n’est pas commutatif en général Ainsi, sous réserve que les produits existent : A ×B 6= B ×A • On dit qu’une matrice (n, p) lorsqu’elle est composée de n lignes et





Résumé de Math Sup et compléments : matrices

Résumé de Math Sup et compléments : matrices I - Opérations dans Mn,p(K) Une matrice à n lignes et p colonnes (n et p entiers naturels non nuls) est une application de J1,nK×J1,pK dans Kqui à un couple d’indices (i,j)associe un élément de Knoté ai,j Une matrice se note A =(ai,j)16i6n, 16j6p 1) Structure de K-espace vectoriel de Mn



Calculs matriciels - unicefr

la matrice obtenue en appliquant cette transformation à la matrice unité I p Une matrice élémentaire est inversible et sa matrice inverse est une matrice élémentaire Preuve en exercice Second exemple important : Inversion par relation polynomiale Si une matrice Avéri e une relation polynômiale de la forme Xn k=0 kA k= 0 avec

[PDF] matrice d'eisenhower exemple

[PDF] matrice d'observabilité

[PDF] Matrice de suites

[PDF] matrice de trace nulle semblable ? une matrice de diagonale nulle

[PDF] matrice de transition cours

[PDF] matrice de transition definition

[PDF] matrice de transition exemple

[PDF] matrice de transition terminale s

[PDF] matrice des coefficients techniques

[PDF] matrice diagonalisable exemple

[PDF] Matrice et variable aléatoire

[PDF] matrice identité d'ordre 3

[PDF] matrice inverse de leontief definition

[PDF] matrice inversible exercice corrigé

[PDF] matrice nilpotente exercice corrigé

1GENERALITES.TABLEDESMATIERES

R esum edecours:

Matrices

MPSI-Maths.

c http://www.chez.com/myismail

Tabledesmatieres1Generalites.1

2Matricesetapplicationslineaires.3

trices.4

KestunesuiteA=(a

i;j

1in;1jp

d'elementsdeKdeclareesous celuidescolonnes.Onecritalors: A=0 B B B @a 1;1 a 1;2 :::a 1;p a 2;1 a 2;2 :::a 2;p an;1 a n;2 :::a n;p 1 C C C A (onditaussidetype(n;p))senoteM n;p (K).

Ondenitsurlesmatriceslesloissuivantes:

Somme.

SiA=(a

i;j

1in;1jp

etB=(b i;j

1in;1jp

touteslesdeuxdetype (n;p),onpose:

A+B=(a

i;j +b i;j

1in;1jp

Multiplicationparuneconstante.

SiA=(a

i;j

1in;1jp

et2K,onpose: A=(a i;j

1in;1jp

Munidecesdeuxlois,M

n;p (K)estunK-evdedimensionnp.

Produit.

MPSI-Maths

MrMamouniResumedecours:Matrices.

Page1sur4http://www.chez.com/myismail

myismail1@menara.ma

SiA=(a

i;j

1in;1jp

detype(n;p)etB=(b i;j

1ip;1jq

detype(p;q), alorsAB=(c i;j

1in;1jq

estlamatricedetype(n;q)denieal'aidedela relationsuivante: c i;j p P k=1 a i;k b k;j

Ainsilecoecientc

i;j deABalai{emeligneetj{emecolonnes'obtient B.

Propriete.

M n mensionn 2

1.2Matricescarreesd'ordrenparticulieres.

Matriceidentite.

C'estlamatricenoteeI

n deniepar:I n =0 B B B @10:::0 0 ....0

0:::011

C C C

A,c'estl'element

neutrepourleproduitmatriciel.

Matricesdiagonales.

Cesontlesmatricesdelaforme0

B B B 1 0:::0 0 ....0 0:::0 1 1 C C C A, onlesnoteA=Diag( 1 n

SiA=Diag(

1 n );B=Diag( 1 n )et2Kalors:

A+B=Diag(

1 1 n n );AB=Diag( 1 1 n n )eten particulier: A p =Diag( p 1 p n deM n (K)dedimensionn.

Matricestriangulairessuperieures.

Cesontlesmatricesdelaforme0

B B B @a 1;1 a 1;2 :::a 1;n 0....

0:::0a

n;n 1 C C C A sous{algebredeM n (K)dedimensionn(n+1) 2.

Matricestriangulairesinferieures.

Cesontlesmatricesdelaforme0

B B B @a 1;1 0:::0 a 2;1 ....0 a n;1 :::a n;n 1 C C C

A,ellesformentaussiune

sous{algebredeM n (K)dedimensionn(n+1) 2.

Matricesinversibles.

UnematricecarreeA2M

n B2M n (K)telqueAB=BA=I n ,danscecasBestunique,s'appellel'in- versedeAetsenoteA 1 .L'ensembledesmatricesinversiblesnoteGl n (R)est enparticuliersiAetBsontinversiblesalorsA 1 etABsontinversiblesavec: (A 1 1 =A;(AB) 1 =B 1 A 1

UnematriceDiag(

1 n )estinversiblessietseulementsitousses coecients i sonttousnonnulsetdanscecas Diag( 1 n 1 =Diag(1 1 :::;1 n

1.3Transposeed'unematrice.

Denition2..SoitA=(a

i;j 1i;jn 2M n (K),onappelletransposee deA,lamatricenotee t

AdontleslignessontlescolonnesdeA.

t A=(a j;i 1i;jn

MPSI-Maths

MrMamouniResumedecours:Matrices.

Page2sur4http://www.chez.com/myismail

myismail1@menara.ma

Soit(A;B)2M

n (K) 2 ;2K,onalesresultatssuivants: t (A+B)= t A+ t B. t t A)=A. t (AB)= t B t A. {SiAestinversiblealors t

Aestaussiinversible,avec(

t A) 1 t (A 1

Matricessymetriques.

CesontlesmatricesA2M

n (K)telque t

A=A,ellesformentunsevde

M n (K),noteS n (K)dontladimensionest n(n+1) 2

Matricesantisymetriques.

CesontlesmatricesA2M

n (K)telque t

A=A,ellesformentunsevde

M n (K),noteA n (K)dontladimensionest n(n1) 2

Theoreme1..

M n (K)=S n (K)A n (K)

SoitM2M

n;p (K),alorsl'application,M:K p !K n

X7!MXestlineaire,

surunematriceM2M n;p (K)s'ecrit: p=rg(M)+dimkerM.

Propriete:SoitM2M

n (K),alors

Mestinversible()kerM=f0g

()rg(M)=n

2.2Matricesd'uneapplicationlineaire.

Denition3..

B=(e i 1in etB 0 =(e 0 i 1ip basesrespectivesdeEetFetu:E!F 0 estlamatrice detype(p;n)noteeM B;B 0 (u)dontlaj{emecolonneestformeeparles coordonneesdeu(e 0 j )danslabaseB 0

DanslecasouB=B

0 onnotetoutsimplementM B (u).

Proprietes.

{SiM B;B 0 (u)=(a i;j

1ip;1jn

alorsu(e j p Pi=1 a i;j e 0 i {M B;B 0 (u+v)=M B;B 0 (u)+M B;B 0 (v). {M B;B 0 m^emesbasessontegales. {AinsiondenitunisomorphismeentreL K (E;F)etM p;n (K). 1 ;B 2 etE u !F uneapplicationlineaire.Soitx2E,et[x] B 1 lamatricecolonneformee parlescoordonnesdexdansB 1 et[u(x)] B 2 celleformeeparlescoor- donnesdey=u(x)dansB 2 alorsl'equationlineairey=u(x)s'ecritsous laformematricielle [u(x)] B 2 =M B 1 ;B 2 (u)[x] B 1 1 ;B 2 ;B 3 etE u F v !Gapplicationslineairesalors: M B 1 ;B 3 (vu)=M B 2 ;B 3 (v)M B 1 ;B 2 (u) 1 ;B 2 etE u !Fap- plicationlineairealors:M B 1 ;B 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47