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Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours

Chapitre 12 : Matrices - résumé de cours Dans tout le chapitre désigne ou , n et p deux entiers naturels non nuls 1 L'ensemble M n,p( ) 1 1 Définition et vocabulaire Déf: On appelle matrice à n lignes et p colonnes, à coefficients dans , toute famille de indexée par = 1;n 1;p On note A = (a i,j)

R esum e de cours : Matrices

Matrice d’une famille de vecteurs dans une base Soit B une base d’un espace vectoriel de dimension n et C une famille de p vec-teurs de E, la matrice de la famille C dans la base B est la matrice a n lignes et p colonnes not ee MB(C) dont les colonnes sont form ees par les coordonn es des el emen ts de C dans B

Matrices - maths-francefr

La matrice carrée nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls Elle se note 0 n La matrice identité est la matrice dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1et les autres à 0 Elle se note I n Par exemple, I3 = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients

Exo7 - Cours de mathématiques

• La matrice (de taille n p) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0 Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels 1 3 Addition de matrices Définition 3 (Somme de deux matrices) Soient A et B deux matrices ayant la même

Matrices, determinants

3 La matrice nulleest la matrice dont tous les coe cients sont nuls On la note 0 np si elle a n lignes et p colonnes, 0 s'il n'y a pas d'ambigu t e 4 Les matrices carrees sont les matrices dont les nombres de lignes et de colonnes sontegaux Ce nombre de lignes et de colonnes s'appellel'ordre de la matrice

Les matrices

matrice (n, p) par une matrice matrice (p,m) La matrice résul-tante est (n,m) • Si M est une matrice carrée d’ordre n: M ×In =In ×M =M Le produit matriciel n’est pas commutatif en général Ainsi, sous réserve que les produits existent : A ×B 6= B ×A • On dit qu’une matrice (n, p) lorsqu’elle est composée de n lignes et

Matrices resume

Résumé de Math Sup et compléments : matrices

Résumé de Math Sup et compléments : matrices I - Opérations dans Mn,p(K) Une matrice à n lignes et p colonnes (n et p entiers naturels non nuls) est une application de J1,nK×J1,pK dans Kqui à un couple d’indices (i,j)associe un élément de Knoté ai,j Une matrice se note A =(ai,j)16i6n, 16j6p 1) Structure de K-espace vectoriel de Mn

Calculs matriciels - unicefr

la matrice obtenue en appliquant cette transformation à la matrice unité I p Une matrice élémentaire est inversible et sa matrice inverse est une matrice élémentaire Preuve en exercice Second exemple important : Inversion par relation polynomiale Si une matrice Avéri e une relation polynômiale de la forme Xn k=0 kA k= 0 avec

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Matrices

Notations du chapitre -Dans tout ce chapitre,netpsont deux entiers naturels non nuls.Kdésigne l"ensembleRou l"ensembleC.I -Ensemble des matr ices Définition 1.1 - Matrice ànlignes etpcolonnes On appellematriceànlignes etpcolonnes et à coe?cients dansKla donnée de npéléments deKdisposés dans un tableau sous la forme M=0 B BB@m

11m12m1p

m

21m22m2p............

m n1mn2mnp1 C CCA l"indiceireprésente la ligne de la matrice et l"indicejla colonne de la matrice.Vocabulaire U nematrice colonneest une matrice qui n"a qu"une colonne. U nematrice ligneest une matrice qui n"a qu"une ligne. Unematrice carréeest une matrice qui a autant de ligne que de colonne. Ce nombre s"appellel"ordrede la matrice. L"ensemble des matrices carrées d"ordrenest notéMn(K). nalede la matrice. Une matricetriangulaire supérieureest une matrice carrée dont les coe?- cients sous la diagonale sont tous nuls (mij=0sii>j). L"ensemble des matrices triangulaires supérieures d"ordrenest notéT+n(K). 0 B

BBBB@m

11m12m13m1n

0m22m23m2n

0 0m33m3n...............

0 0 0mnn1

C CCCCA Une matricetriangulaire inférieureest une matrice carrée dont les coe?- cients au dessus de la diagonale sont tous nuls ((mij=0siiBBBB@m

110 00

m

21m2200

m

31m32m330

m n1mn2mn3mnn1 C CCCCA Les matrices dont les coe?cients au-dessus et en dessous de la diagonale sont nulssontlesmatrices diagonales(mij=0sii6=j).L"ensembledesmatrices diagonales d"ordrenest notéDn(K). 0 B

BBBB@m

110 00

0m2200

0 0m330

0 0 0mnn1

C CCCCA -Enfin on appellera matrice identitéla matrice I n=0 B

BBBB@1 0 00

0 1 00

0 0 10

0 0 011

C CCCCA II -

SoitM2 Mn(K). On dit que

-M estsymétriquesi et seulement sitM=M. L"ensemble des matrices symé- triques est notéSn(K). -M estantisymétriquesi et seulement sitM=M. L"ensemble des matrices symétriques est notéAn(K).Définition 2.3 - Addition et produit par un scalaire par

8i2¹1 ;nº,8j2¹1 ;pº,cij=λaij-

par

8i2¹1 ;nº,8j2¹1 ;pº,dij=aij+bijPropriété 2.4 -

L"addition de matrice est associative, commutative et possède un

λ.(µ.A) = (λµ).A=µ.(λ.A)

λ.(A+B) =λ.A+λ.B

(λ+µ).A=λ.A+µ.APropriété 2.6 -SoitAetBdeux matrices etλun scalaire : t(A+B) =tA+tB t(λA) =λtADéfinition 2.7 - Produit d"une matrice ligne par une matrice colonne SoitL2 M1,q(K)etC2 Mq,1(K). Par définition, le produitLCest la matrice deM1(K)définie par

LC=l11c11+l12c21++l1qcq1

Définition 2.8 - Produit de deux matricesSoitA2 Mn,q(K)etB2 Mq,p(K).Pardéfinition,leproduitABestlamatricede

Mn,p(K)dont le coe?cient à lai-ième ligne et à laj-ième colonne est le produit de lai-ième ligne deApar laj-ième colonne deB.

AB=‚

qX k=1a ikbkjŒ

1)8A2 Mnq(K),8(B,C)2(Mqp(K))2,A(B+C) =AB+AC

2)8(A,B)2(Mnq(K))2,8C2 Mqp(K),(A+B)C=AC+BC

3)8λ2K,8(A,B)2(Mnq(K))2,λ(AB) =A(λB)

4)8A2 Mnq(K),8B2 Mqp(K),t(AB) =tBtAIII -Cas des matr icescar rées

Propriété3.1 -

associative et admettant un élément neutre (In).Propriété 3.2 - SoitTetUdeux matrices triangulaires supérieures. AlorsTU

est une matrice triangulaire supérieures.Propriété 3.3 -SoitDetΔdeux matrices diagonales. On a

DΔ=

0 B BB@d 100
0d20

0 0dn1

C CCA0 B

BB@δ

100

0δ20

0 0δn1

C CCA 0 B BB@d

1δ100

0d2δ20

0 0dnδn1

C CCA2 Dn(K)Définition 3.4 - Puissances de matrices

SoitA2 Mn(K)etk2N. Par définition

A k=InAAA|{z} nfoisPropriété 3.5 -SoitA2 Mn(K),(i,j)2N2 A iAj=Ai+j=Ai+j=AiAjPropriété 3.6 -SoitA2 Mn(K),k2N2,tAk= (tAk). Propriété 3.7 -Soitk2NetDune matrice diagonale. On a D k=0 B BB@d k 100
0dk 20

0 0dkn1

C CCAThéorème 3.8 - Binôme de Newton pour les matrices

SoitAetBdeux matrices telles queAB=BAetm2N.

(A+B)m=m X m k‹ A kBmkIV -Matr icesin versibles

Définition 4.1 - Matrice inversibleSoitA2 Mn(K). On dit queAestinversiblesi et seulement si il existe une matrice

Btelle queAB=InetBA=In.

Dans ce cas,Best unique : on l"appellel"inversedeAet on la noteB=A1. On note l"ensemble des matrices inversiblesGLn(K).Propriété 4.2 - Cas des matrices diagonales non nuls. On a alors D 1=0 B

BB@1=d100

0 1=d20

0 01=dn1

C CCAPropriété 4.3 - Critère de non-inversibilité SoitMune matrice carrée. S"il existe une matrice non nulleNtelle queMN=Oou NM=OalorsMn"est pas inversible.Propriété 4.4 - Produit de deux matrices inversibles

SoitAetBdeux matrices inversibles d"ordren.

AlorsABest inversible et(AB)1=B1A1.Propriété 4.5 - Transposée d"une matrice inversible SoitAune matrice inversible d"ordren. AlorstAest inversible et(tA)1=tA1.Théorème 4.6 - La matrice carréeAest inversible si et seulement si pour toute

matriceB, le systèmeAX=Best un système de Cramer.Corollaire 4.7 - Cas des matrices triangulaires

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coe?cients diagonaux sont non nuls.quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10