Annexes : exercices et corrigés - Pearson
Exercice 14 Une matrice, A, est nilpotente si lim →∞ k k A = 0 Prouver qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice symétrique soit nilpotente est que toutes ses racines caractéristiques soient inférieures, en valeur absolue, à 1 On utilise la décomposition spectrale pour écrire A comme CΛC′ avec Λ la matrice
Endomorphismes nilpotents - LAGA
Exercice 1 (a) Montrer que si KerA2 = KerA, alors il existe un pseudo-inverse X, i e tel que AX = XA, AXA = A et XAX = X (b) A quelle condition sur les invariants de similitude de A a-t-on dimKerA2 = 2dimKerA? Preuve : (a) On d¶ecompose l’espace en sous-espace caract¶eristique pour A Sur les espaces caract¶eristiques
CB1-CORRECTION Exercice 1 - Etude de matrices compagnons et d
lorsque Q1 est la matrice (inversible) de changement de base de la base canonique vers la base B : Q1 = MatB0(B) = −3 1 3 2 6 La matrice Tse d´ecompose comme la somme de la matrice (diagonale) identit´e I2 et de la matrice (nilpotente) N= 0 1 0 0 On observe alors que N2 = 02 et ainsi que pour tout entier ksup´erieur ou ´egal a 2, Nk = 02
Sujets de l’année 2005-2006 1 Devoir à la maison
4 Rattrapage Exercice 10 Soit A = a c c d 2M 2(R), montrer que A est diagonalisable sur R Correction H [002587] Exercice 11 Soit N une matrice nilpotente, il existe q 2N tel que Nq = 0
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
sable et d’une matrice nilpotente • La réduction de Jordan : transformer une matrice en une matrice diagonale par blocs K sera le corps R ou C, E un K-espace vectoriel de dimension finie 1 Trigonalisation Nous allons montrer que toute matrice, dont le polynôme caractéristique est scindé, est semblable à une matrice triangulaire 1 1
Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES 2 FILIERE PSI
nilpotente En résumé, A est nilpotente si et seulement si χA =Xn Q 15 On redit que si 0 est l’unique valeur propre de A, alors χA =Xn puis An =0 et donc A est nilpotente Q 16 Soit T une matrice triangulaire à diagonale nulle Alors, χT =Xn puis T est nilpotente d’après la question Q14 http ://www maths-france 2 c Jean-Louis
MATRICES EXERCICES CORRIGES
2) Ecrire la matrice transposée At de A et donner son format Exercice n° 3 1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée 2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 3≤ ≤i et 1 3≤ ≤j , le terme aij soit donné par la formule a i jij = −2 Exercice n° 4 On donne 2 5 3 1 A =
CORRECTION DU TD 3 - TSE
2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est : 3) Pour tout , on en déduit que : On doit donc chercher la puissance de la matrice ; pour cela, on la décompose en : où est une matrice nilpotente d’indice Comme les
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Décomposition de Dunford
et réduction de JordanNous avons vu que les matrices ne sont pas toutes diagonalisables. On peut néanmoins décomposer
certaines d"entre elles, en une forme la plus simple possible. Nous verrons trois décompositions. La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire. La décomposition de Dunford : écrire une matrice comme la somme d"une matrice diagonali- sable et d"une matrice nilpotente. La réduction de Jordan : transformer une matrice en une matrice diagonale par blocs. Ksera le corpsRouC,EunK-espace vectoriel de dimension finie.1. Trigonalisation
Nous allons montrer que toute matrice, dont le polynôme caractéristique est scindé, est semblable
à une matrice triangulaire.
1.1. Trigonalisation
On rappelle qu"une matriceA= (ai,j)16i,j6nesttriangulaire supérieuresiai,j=0 dès quei>j: A=0 B BB@a1,1a1,2a1,n
0a2,2......
.........an1,n00an,n1
C CCA.Les coefficients sous la diagonale sont tous nuls. Ceux sur la diagonale ou au-dessus peuvent être
nuls ou pas.Définition 1. Une matriceA2Mn(K)esttrigonalisablesurKs"il existe une matrice inversibleP2Mn(K) inversible telle queP1APsoit triangulaire supérieure. Un endomorphismefdeEesttrigonalisables"il existe une base deEdans laquelle lamatrice defsoit triangulaire supérieure.Bien sûr, une matrice diagonalisable est en particulier trigonalisable.
Théorème 1.
Une matriceA2Mn(K)(resp. un endomorphismef) est trigonalisable surKsi et seulement si son polynôme caractéristiqueA(resp.f) est scindé surK.DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN1. TRIGONALISATION2On rappelle qu"un polynôme est scindé surKs"il se décompose en produit de facteurs linéaires
dansK[X]. Remarquons que siK=C, par le théorème de d"Alembert-Gauss, on a :Corollaire 1. Toute matrice A2Mn(C)est trigonalisable surC.Ce n"est pas le cas siK=R.Exemple 1.
SoitA=
01 1 0 2M2 (R). AlorsA(X) =X2+1. Ce polynôme n"est pas scindé surR, doncA n"est pas trigonalisable surR. Si on considère cette même matriceAcomme élément deM2(C), alors elle est trigonalisable (et ici même diagonalisable) surC: il existeP2M2(C)inversible telle queP1APsoit triangulaire supérieure.1.2. Preuve
Démonstration.
=). Sifest trigonalisable, il existe une base deEdans laquelle la matrice defs"écrit A=0 B BB@a1,1a1,2a1,n
0a2,2......
.........an1,n00an,n1
C CCA.On a alors
f(X) =A(X) =n Y i=1(ai,iX), ce qui prouve quefse décompose en produit de facteurs linéaires dansK[X]. =. La démonstration se fait par récurrence sur la dimensionnde l"espace vectorielE. Sin=1,il n"y a rien à démontrer. Supposons le résultat vrai pourn1,n>2étant arbitrairement fixé.
Le polynômefayant au moins une racine dansK, notonsl"une d"entre elles etv1un vecteur propre associé. SoitFl"hyperplan supplémentaire de la droiteKv1: on a doncE=Kv1F. On considère alors une base(v1,v2,...,vn)deEavec, pour26i6n,vi2F. La matrice def dans cette base s"écrit 0 B BB@ 0 ..B 01 C CCA oùBest une matrice carrée de taille(n1)(n1). On a f(X) = (X)det(BXIn1) = (X)B(X). Notonsgla restriction defàF: la matrice degdans la base(v2,...,vn)est égale àB. Par hypothèse de récurrence,g(et doncB) est trigonalisable : en effet,f(X) = (X)g(X), et commefest supposé scindé surK,gl"est également. Par conséquent, il existe une base (w2,...,wn)deFdans laquelle la matrice degest triangulaire supérieure. Ainsi, dans la base (v1,w2,...,wn), la matrice defest triangulaire supérieure. DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN1. TRIGONALISATION31.3. Exemple
Exemple 2.
Soit A=0 @1 42 0 631 4 01
A2M3(R).Démontrons queAest trigonalisable surRet trouvons une matricePtelle queP1APsoit triangu-
laire supérieure. 1. Commençons par calculer le polynôme caractéristique de A:A(X) =
1X42 0 6X3 1 4X == (3X)(2X)2 CommeAest scindé surR, la matrice est trigonalisable surR. (Nous verrons plus tard si elle est diagonalisable ou pas.) 2.Les racines du polynôme caractéristique sont les réels3(avec la multiplicité1), et2(avec la
multiplicité 2). Déterminons les sous-espaces propres associés. SoitE3le sous-espace propre associé à la valeur propre simple3:E3=fv= (x,y,z)2R3jAv=3vg.
v2E3()Av=3v()8 :x+4y2z=3x6y3z=3y
x+4y=3z()x=y=z E3est donc la droite vectorielle engendrée par le vecteurv1= (1,1,1).
SoitE2le sous-espace propre associé à la valeur propre double2:E2=fv= (x,y,z)2R3jAv=2vg.
v2E2()Av=2v()8 :x+4y2z=2x6y3z=2y
x+4y=2z()x=z 4y=3z E2est donc la droite vectorielle engendrée parv2= (4,3,4).
est égale à 2. Par conséquent, on sait que la matriceAne sera pas diagonalisable. Soitv3= (0,0,1). Les vecteurs(v1,v2,v3)forment une base deR3. La matrice de passage (constituée desviécrits en colonne) est P=0 @1 4 0 1 3 01 4 11
A etP1=0 @3 4 0 11 01 0 11
A On aAv1=3v1etAv2=2v2. Il reste à exprimerAv3dans la base(v1,v2,v3): Av3=A(0,0,1) = (2,3,0) =2(3v1+v2v3)3(4v1v2) =6v1+v2+2v3.
3. Ainsi, l"endomorphisme qui a pour matriceAdans la base canonique deR3a pour matriceT dans la base(v1,v2,v3), où T=0 @3 06 0 2 10 0 21
A DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN2. SOUS-ESPACES CARACTÉRISTIQUES4On aurait aussi pu calculerTpar la formuleT=P1AP.
4.Note. D"autres choix pourv3sont possibles. Ici, n"importe quel vecteurv0
3complétant(v1,v2)en
une base deR3conviendrait. Par contre, un autre choix conduirait à une matrice triangulaire T0différente (pour la dernière colonne).Mini-exercices. 1. La matriceA=2827128est-elle trigonalisable surR? Si oui, trouverPtelle queP1APsoit triangulaire supérieure. Même question avec :437 171 75 2421 2
2. Trouver deux matricesT,T02M3(R)qui soient distinctes, triangulaires supérieures et sem- blables.2. Sous-espaces caractéristiques2.1. Lemme des noyaux
Commençons par démontrer le lemme suivant :Lemme 1(Lemme des noyaux).Soitfun endomorphisme deE. SoientPetQdes polynômes deK[X],premiers entre eux. Alors :Ker(PQ)(f) =KerP(f)KerQ(f)Généralisation : soientP1,...,Prdes polynômes deux à deux premiers entre eux. Alors :Ker(P1Pr)(f) =Ker(P1(f))Ker(Pr(f))On a bien sûr des énoncés similaires avec les matrices.
Rappels.
SoientP,Q2K[X]. On dit queP(X)etQ(X)sontpremiers entre euxdansK[X]si les seuls polynômes qui divisent à la foisPetQsont les polynômes constants. En particulier, surC, deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement s"ils n"ont pas de racine commune. Le théorème de Bézout s"énonce ainsi :PetQsont premiers entre eux() 9A,B2K[X]AP+BQ=1.
Démonstration.SoientPetQdeux polynômes premiers entre eux. Alors, d"après le théorème de
Bézout, il existe des polynômesAetBtels queAP+BQ=1. On a donc, pour tout endomorphisme f:A(f)P(f)+B(f)Q(f) =idE.
Autrement dit, pour toutx2E:
A(f)P(f)(x)+B(f)Q(f)(x) =x.
DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN2. SOUS-ESPACES CARACTÉRISTIQUES5Montrons que KerP(f)\KerQ(f) =f0g.
Soitx2KerP(f)\KerQ(f). On a
A(f)P(f)(x)|{z}
=0+B(f)Q(f)(x)|{z} =0=x, doncx=0, ce qui prouve KerP(f)\KerQ(f) =f0g. Montrons que Ker(PQ)(f) =KerP(f)+KerQ(f)par double inclusion.Preuve de K er(PQ)(f)KerP(f)+KerQ(f).
Soitx2Ker(PQ)(f). On a, toujours en raison du théorème de Bézout, x=A(f)P(f)(x)+B(f)Q(f)(x).Montrons queA(f)P(f)(x)2KerQ(f). En effet :
Q(f)A(f)P(f)(x) =A(f)P(f)Q(f)(x) =A(f)(PQ)(f)(x) =0.On a utilisé que les polynômes d"endomorphisme enfcommutent et que(PQ)(f)(x) =0.
De même,B(f)Q(f)(x)2KerP(f). Ainsi,
x=A(f)P(f)(x)|{z}2KerQ(f)+B(f)Q(f)(x)|{z}
2KerP(f),
et doncx2KerP(f)+KerQ(f). Preuve de K erP(f)+KerQ(f)Ker(PQ)(f). Soienty2KerP(f)etz2KerQ(f). Alors :PQ(f)(y+z) =Q(f)P(f)(y)|{z}
=0+P(f)Q(f)(z)|{z} =0=0, et doncy+z2Ker(PQ)(f). Conclusion : Ker(PQ)(f) =KerP(f)KerQ(f).2.2. Sous-espaces caractéristiques Nous avons vu que, lorsquefest diagonalisable, on aE=E1EravecEi=Ker(fiidE)le sous-espace propre associé à la valeur proprei. Nous allons démontrer que même sifn"est
pas diagonalisable, mais si son polynôme caractéristique est scindé surK, on peut écrireE=Ker(f1idE)m1Ker(fridE)mr,
oùmiest la multiplicité de la valeur propreicomme racine du polynôme caractéristique def.Définition 2.
Soitfun endomorphisme deE. Soitune valeur propre defet soitmsa multiplicité en tant que racine def. Lesous-espace caractéristiquedefpour la valeur propreestN =Ker(fidE)m. Pourvaleur propre def, on aEN, carKer(fidE)Ker(fidE)kquel que soitk>1.Exemple 3.
Soit A=0 BB@2 3 0 0
3 4 0 0
1 1 1 0
951 31
CCA2M4(R).
DÉCOMPOSITION DEDUNFORD ET RÉDUCTION DEJORDAN2. SOUS-ESPACES CARACTÉRISTIQUES6 Calculons les sous-espaces caractéristiques deA. Pour déterminer ses valeurs propres, on calcule d"abord son polynôme caractéristique :A(X) =det(AXI4) == (X3)(X1)3
La valeur propre 3 est de multiplicité 1 et la valeur propre 1 est de multiplicité 3.Sous-espace caractéristique associé à=3.Comme la multiplicité de cette valeur propre est1alors le sous-espace caractéristique est aussi
le sous-espace propre :N3=Ker(A3I4)1=E3. Ainsi,N3=fv2R4j(A3I4)v=0g. Comme