[PDF] MATRICES EXERCICES CORRIGES

Exercice 1* es matrices suivantes, où a≠b

Annexes : exercices et corrigés - Pearson

Exercice 14 Une matrice, A, est nilpotente si lim →∞ k k A = 0 Prouver qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice symétrique soit nilpotente est que toutes ses racines caractéristiques soient inférieures, en valeur absolue, à 1 On utilise la décomposition spectrale pour écrire A comme CΛC′ avec Λ la matrice

Endomorphismes nilpotents - LAGA

Exercice 1 (a) Montrer que si KerA2 = KerA, alors il existe un pseudo-inverse X, i e tel que AX = XA, AXA = A et XAX = X (b) A quelle condition sur les invariants de similitude de A a-t-on dimKerA2 = 2dimKerA? Preuve : (a) On d¶ecompose l’espace en sous-espace caract¶eristique pour A Sur les espaces caract¶eristiques

CB1-CORRECTION Exercice 1 - Etude de matrices compagnons et d

lorsque Q1 est la matrice (inversible) de changement de base de la base canonique vers la base B : Q1 = MatB0(B) = −3 1 3 2 6 La matrice Tse d´ecompose comme la somme de la matrice (diagonale) identit´e I2 et de la matrice (nilpotente) N= 0 1 0 0 On observe alors que N2 = 02 et ainsi que pour tout entier ksup´erieur ou ´egal a 2, Nk = 02

Sujets de l’année 2005-2006 1 Devoir à la maison

4 Rattrapage Exercice 10 Soit A = a c c d 2M 2(R), montrer que A est diagonalisable sur R Correction H [002587] Exercice 11 Soit N une matrice nilpotente, il existe q 2N tel que Nq = 0

Décomposition de Dunford et réduction de Jordan

sable et d’une matrice nilpotente • La réduction de Jordan : transformer une matrice en une matrice diagonale par blocs K sera le corps R ou C, E un K-espace vectoriel de dimension finie 1 Trigonalisation Nous allons montrer que toute matrice, dont le polynôme caractéristique est scindé, est semblable à une matrice triangulaire 1 1

Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES 2 FILIERE PSI

nilpotente En résumé, A est nilpotente si et seulement si χA =Xn Q 15 On redit que si 0 est l’unique valeur propre de A, alors χA =Xn puis An =0 et donc A est nilpotente Q 16 Soit T une matrice triangulaire à diagonale nulle Alors, χT =Xn puis T est nilpotente d’après la question Q14 http ://www maths-france 2 c Jean-Louis

MATRICES EXERCICES CORRIGES

2) Ecrire la matrice transposée At de A et donner son format Exercice n° 3 1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée 2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 3≤ ≤i et 1 3≤ ≤j , le terme aij soit donné par la formule a i jij = −2 Exercice n° 4 On donne 2 5 3 1 A =

CORRECTION DU TD 3 - TSE

2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est : 3) Pour tout , on en déduit que : On doit donc chercher la puissance de la matrice ; pour cela, on la décompose en : où est une matrice nilpotente d’indice Comme les