dit que f admet un développement limité à l’ordre n en x 0, en abrégé DL n(x 0), s’il existe des réelsa 0; ;a n etunefonction" : I R telsque: pourtoutx 2I
1 3 Quelques techniques de calcul des DL Notation 1 21 Soit f une fonction réelle admettant un développement limité à l’ordre n en x 0 ∈ R,de partie régulière P n 1 On peut utiliser l’une ou l’autre des écritures suivantespour exprimer le DL de f àl’ordren en
• un développement limité (ou asymptotique) précise le comportement d’une fonction (ou d’une suite) au voisinage d’une telle valeur • un développement limité classique se compose de deux parties : une partie régulière (en général polynomiale) et un reste, négligeable devant le dernier terme de la partie polynomiale
Travaux pratiques : Pour introduire le développement limité d'une fonction en 0, nous allons détailler la méthode mise en oeuvre sur un exemple 9 2 Développement limité d’une fonction en 0 1 Définition Définition Soit f une fonction définie en 0 et au voisinage de 0
Méthode(Inverse) pour un DL n(0) de 1 f: on effectue le DL n(0) de f On se ramène par factorisationàlaforme 1 1 h dontoneffectueleDL n(0) Exemple8 1 1+ex = 1 2 x 4 + x3 48 +o(x3) Méthode(Quotient) pourunDL n(0) de f g,oneffectueleDLduproduit: f g = f 1 g Exemple9 tanx= x+ x3 3 + 2x5 15 + 17x7 315 +o(x7) attention,calculatroce
2015-2016 Pr eparation aux ecrits du CAPES Univ Lyon I Semestre de printemps Brefs rappels sur les d eveloppements limit es Le but est ici de rappeler, sans d emonstrations, la d e nition d’un d eveloppement limit e et les op erations qu’on peut
b) On considère le développement limité à l’ordre 2 en 0 de f00: f00(x) = a+bx+cx2 + o x0 (x2) Ecrire alors le développement limité à l’ordre 3 de f0en 0 en fonction des coefficients a;bet c c) En reportant dans l’égalité de 3a et en justifiant la méthode, calculer les coefficients a;bet c
2 En utilisant le développement limité de y à l'ordre adéquat, écrire la méthode de Taylor d'ordre 2 Exercice 4 (3 pts) Sachant que sup If" (t) l, 1202 calculer le nombre d'intervalles qu'on doit prendre pour obtenir une valeur approchée à 10—3 près de I = e cos( c) dc par la méthode des trapèzes
Développement d’une méthode de déconvolution temporelle et récursive Résumé La déconvolution est la reconstruction d¶un signal à partir de sa mesure via un
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1.3Quel questechniquesdecalculd esDL
Notation1.21.Soitfunefonc tionréelleadmettantundé veloppementlimitéà l'ordrenenx 0 ?R,de partierégulièreP n
1.On peutu tiliserl'une oul'autredesécrituressuivan tespourexprim erleDLdefàl'ordrenen
x 0 a)f(x)=P n (x)+(x-x 0 n
×ε(x)aveclim
xx0
ε(x)=0
b)f(x)=P n (x)+o((x-x 0 n
2.Si lequot ient
f(x)-Pn(x) (x-x 0 n+1 estborn éauvoisinagedex 0 ,alorsonpeutécrire f(x)=P n (x)+O((x-x 0 n+1 )pourexprim erleDLdefàl'ordrenenx 0 Théorème1.22.("tronca tion")Soientmetndeuxentier snaturelstelsquen
Plusprécis ément,siP n etQ n sontdespol ynômesde degréauplusntelsque f(x)=P n (x)+o((x-x 0 n )etg(x)=Q n (x)+o((x-x 0 n ),alorsona (αf+βg)(x)=(αP n +βQ n )(x)+o((x-x 0 n Proposition1.24.(Conséquenceduthéo rèmed'unicitédu DL) Soitfunefonc tionréelledéfinieauvoisi nagede0etad mettantundéveloppementlimitéd' ordren donnéparf(x)=P n (x)+o(x n )(deg(P n )?n). 1.Si festunef onctionpai re,alorsdanslestermesno nnulsdupolynômeP
n ,iln'apparaîtquedes puissancespaires. 2.Si festunef onctionim paire,alorsdanslestermesnon nulsdupolynômeP
n ,iln'apparaîtque despuis sancesimpaires. Note1.25.( DLdefonctionsus uellesàr etenir absolument)Lesform ulesci-dessousconcernen t desdéve loppementslimitésdefonctionusuellesen0.Cesformulessontobtenuesparapplicationdu théorèmedeTaylor-Young enlep ointx 0 =0. 1.e x i=0 i=n 1 i! x i +o(x n )ou,enex plici tantlesigne e x =1+x+ 1 2 x 2 1 n! x n +o(x n 2. 1 1-x i=0 i=n x i +o(x n )=1+x+x 2 ++x n +o(x n 3. 1 1+x i=0 i=n (-1) i x i +o(x n )=1-x+x 2 ++(-1) n x n +o(x n 4.(1+x)
=1+ 1?i?n α(α-1)(α-i+1)
i! x i +o(x n )formulequis'écri tencore (1+x) =1+αx++ α(α-1)(α-n+1)
n! x n +o(x n 5.ln(1-x)=-
1?i?n 1 i x i +o(x n )ou,enex plici tantlesigne ln(1-x)=-x- 1 2 x 2 1 n x n +o(x n 6.ln(1+x)=
1?i?n (-1) i-1 i x i +o(x n )ou,enexpl icitant lesigne ln(1+x)=x- 1 2 x 2 (-1) n-1 n x n +o(x n 1.3Quel questechniquesdecalculd esDL5
sin(x)= i=0 i=p (-1) i (2i+1)! x 2i+1 +o(x 2p+2 )ou,enex plicit antlesigne sin(x)=x- 1 3! x 3 (-1) p (2p+1)! x 2p+1 +o(x 2p+2 cos(x)= i=0 i=p (-1) i (2i)! x 2i +o(x 2p+1 )ou,enexp licitan tlesigne cos=1- 1 2 x 2 (-1) p (2p)! x 2p +o(x 2p+1 Théorème1.26.(DLd'unpr oduit)Soientfetgdeuxfoncti onsréelles,admettantauvoisinage de x 0 0 .Alorslafonctionproduitf×gadmetundével oppe- mentlimitéd 'ordrenenx 0 Sif(x)=P
n (x)+o((x-x 0 n )etg(x)=Q n (x)+o((x-x 0 n ),alors(f×g)(x)=T n (x)+o((x-x 0 n oùT n (x)estlepr oduit P n (x)×Q n (x)amputédesesterm esdede grésstric tementplusgrandsque n. Exercice1.1.Calculerledeveloppeme ntlini téàl'ordre2enx 0 =0dela foncti onhdéfiniepar h(x)=(1+x) 1 3 ×ln(1+x).
Solution:Onposef(x)=(1+x)
1 3 ,g(x)=ln(1+x)eton utilis elesDLdesfonctionsusuel les. Ontr ouvef(x)=1+
1 3 x- 1 9 x 2 +o(x 2 ),g(x)=x- 1 2 x 2 +o(x 2 Enap pliquantlethéorèmeprécédenton obtien th(x)=x- 1 6 x 2 +o(x 2 Théorème1.27.(DLd'unec omposée)Soientfunefonc tionréelledéfinieauvoisi nagedex 0 ?R etgunefon ctionréelledéfinieauvoisi nagedef(x 0 )etnunen tiernaturel.Sifadmetundéve loppe- mentlimitéà l'ordrenenx 0 etgadmetundévelop pement limitéàl'ordrenenf(x 0 ),alorslacomposée h=g◦fadmetundévelop pement limitéd'ordrenenx 0 .Plusprécisément,siP n (resp.Q n )estla partierégulièred udéveloppementlimitéàl'ordr endef(resp.g)enx 0 (resp.f(x 0 ))alorslapartie régulièreT n deh=g◦fs'obtiententronquantàl'o rdren,lacomposéeQ n ◦P n Exemple1.28.(f(x
0 )0,DLde 1 f(x) enx 0 )Soitfunefonc tionréelledéfinieauvoisina gedex 0 tellequef(x 0 )0etad mettantundéveloppementlimi téd'or drenenx 0 .Alorsh(x)= 1 f(x) admetun développementlimitéd'ordrenenx 0 1 f(x) enx 0 peut s'obtenirenprocédantcomm esuit: 1.Not e:quitteàre mplacerfpar
1 f(x0) ×f,onpeutsupposerquef(x
0 )=1. 2.S upposonsdoncf(x
0 )=1etpo sonsu(x)=1-f(x).Lafonctionuestdéfini eauvoisinagede x 0 eton au(x 0 )=0. 3.On consid èreg(x)=
1 1-x .gestdéfin ieauvoisinagede 0=u(x 0 4.Nou savonsh(x)=(g◦u)(x).SinousdisposonsduDLdef,alorsnousendéduisonsceluide
u.LeDLdegen0estfour nieparlesformulesdesfon ctionsusuel les.Nou spouvonsdoncappli- querlethé orème1 .27pourobtenirleDLde 1 f(x) enx 0 enut ilisantleDLdefenx 0 6FormuledeTaylor,dév elopp ementslimités
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Les Développements Limités