Les Développements Limités
dit que f admet un développement limité à l’ordre n en x 0, en abrégé DL n(x 0), s’il existe des réelsa 0; ;a n etunefonction" : I R telsque: pourtoutx 2I
13 Quelques techniques de calcul des DL
1 3 Quelques techniques de calcul des DL Notation 1 21 Soit f une fonction réelle admettant un développement limité à l’ordre n en x 0 ∈ R,de partie régulière P n 1 On peut utiliser l’une ou l’autre des écritures suivantespour exprimer le DL de f àl’ordren en
Fiche technique : développements limités
• un développement limité (ou asymptotique) précise le comportement d’une fonction (ou d’une suite) au voisinage d’une telle valeur • un développement limité classique se compose de deux parties : une partie régulière (en général polynomiale) et un reste, négligeable devant le dernier terme de la partie polynomiale
9 Développements limités
Travaux pratiques : Pour introduire le développement limité d'une fonction en 0, nous allons détailler la méthode mise en oeuvre sur un exemple 9 2 Développement limité d’une fonction en 0 1 Définition Définition Soit f une fonction définie en 0 et au voisinage de 0
1 Notion de développement limité à l’ordre
Méthode(Inverse) pour un DL n(0) de 1 f: on effectue le DL n(0) de f On se ramène par factorisationàlaforme 1 1 h dontoneffectueleDL n(0) Exemple8 1 1+ex = 1 2 x 4 + x3 48 +o(x3) Méthode(Quotient) pourunDL n(0) de f g,oneffectueleDLduproduit: f g = f 1 g Exemple9 tanx= x+ x3 3 + 2x5 15 + 17x7 315 +o(x7) attention,calculatroce
Brefs rappels sur les d eveloppements limit es
2015-2016 Pr eparation aux ecrits du CAPES Univ Lyon I Semestre de printemps Brefs rappels sur les d eveloppements limit es Le but est ici de rappeler, sans d emonstrations, la d e nition d’un d eveloppement limit e et les op erations qu’on peut
14 ENTRAiNEMENT SUR L’ANALYSE ASYMPTOTIQUE2020 – 2021
b) On considère le développement limité à l’ordre 2 en 0 de f00: f00(x) = a+bx+cx2 + o x0 (x2) Ecrire alors le développement limité à l’ordre 3 de f0en 0 en fonction des coefficients a;bet c c) En reportant dans l’égalité de 3a et en justifiant la méthode, calculer les coefficients a;bet c
f2schoolcom
2 En utilisant le développement limité de y à l'ordre adéquat, écrire la méthode de Taylor d'ordre 2 Exercice 4 (3 pts) Sachant que sup If" (t) l, 1202 calculer le nombre d'intervalles qu'on doit prendre pour obtenir une valeur approchée à 10—3 près de I = e cos( c) dc par la méthode des trapèzes
Développement d’une méthode de déconvolution temporelle et
Développement d’une méthode de déconvolution temporelle et récursive Résumé La déconvolution est la reconstruction d¶un signal à partir de sa mesure via un
[PDF] Méthode dissertation
[PDF] méthode dissertation français 1ère
[PDF] méthode dissertation littérature terminale l
[PDF] methode dissertation pdf
[PDF] méthode dissertation philo
[PDF] methode dissertation prepa mpsi
[PDF] méthode dissertation ses
[PDF] méthode dissertation ses introduction
[PDF] méthode du pivot de gauss matrice
[PDF] methode ec1
[PDF] méthode ec1 ses
[PDF] methode ec2
[PDF] methode ec2 exemple
[PDF] méthode ec2 ses
2015-2016 Preparation aux ecrits du CAPES
Univ. Lyon ISemestre de printempsBrefs rappels sur les developpements limites.Le but est ici de rappeler, sans demonstrations, la denition d'un developpement limite et les operations qu'on peut
faire sur les developpements limites, ainsi que celles qu'on ne doit surtout pas faire. On va surtout s'interesser aux
fonctions denies sur un intervalle ouvert et a valeurs dansR. Dans la suite,Idesignera toujours un intervalle ouvert deR, etx0un element deI.Denition 1.
On ecritf(x) =ox0(g(x)) pour dire quef(x) s'ecrit sous la formeg(x)"(x), ou"est une fonction qui tend vers 0
quandxtend versx0; on dit quefestnegligeable devantgau voisinage dex0.Denition 2.
On dit quefetgsontequivalentesenx0, et on ecritfx0g, si on af(x) =m(x)g(x), oum(x) est une fonction qui
tend vers 1 quandxtend versx0; c'est equivalent a dire que l'on peut ecriref=g+o(g), ou encoreg=f+o(f).
Attention a ne pas ecrirefx00, qui n'est vrai que sifest nulle au voisinage dex0...Il faut faire attention en manipulant lesoet les equivalents; en particulier, on peutmultiplierdes equivalents (au
m^eme point!) mais on ne peut pas lesadditionner.On a souvent besoin de trouver des equivalents simples pour determiner si une serie ou une integrale converge; et
pour cela on peut utiliser desdeveloppements limites.Denition 3.
On dit quef:I!Radmet un developpement limite d'ordrenenx0s'il existe un polyn^omePde degren, a coecients reels, et une fonction":I!Rtels que :8x2I; f(x) =P(xx0) + (xx0)n"(x)etlimx!x0"(x) = 0
Autrement dit, on af(x) =P(xx0) +o((xx0)n).
On dit alors quePest lapartie reguliered'ordrendu developpement limite, etfPlerested'ordren.Notons que la denition entra^ne immediatement que, sifadmet un developpement limite a l'ordrenenx0, de
partie reguliereP, etmnest un entier, alorsfadmet aussi un developpement limite a l'ordremenx0, dont la
partie reguliere est formee par les termes dePde degre inferieur ou egal am.On se contente souvent ci-dessous de traiter le cas des developpements limites au voisinage de 0, puisqu'une simple
translation permet de s'y ramener. Rappelons que, si 02Iet sifadmet un developpement limite d'ordren1 en 0,
alorsfest derivable en 0 (en fait, admettre un developpement limite a l'ordre 1 enx0est equivalent a ^etre derivable en
x0, comme on le verie facilement a partir des denitions). Par contre,f0n'estpas continueen 0 a priori (considerer
par exemplex7!x2sin(1=x)).Proposition 4.
Sif:I!Radmet un developpement limite d'ordrenen0, alors la partie reguliere du developpement limite est
unique (donc le reste est unique egalement).Sifest paire (f(x) =f(x)), alors le polyn^omePest pair. Sifest impaire (f(x) =f(x)) alorsPest impair.
Maintenant que nous nous souvenons un peu mieux de ce qu'est un developpement limite, il est temps d'enoncer les
theoremes qui permettent en pratique de calculer les D.Ls.Proposition 5.
- Formule de Taylor-Lagrange : Sifestn+ 1fois derivable surI, alorsfadmet un developpement limite d'ordrenen0, de partie reguliereP(X) =f(0) +f0(0)X+:::+f(n)(0)n!Xn
et de restef(x)P(x) =f(n+1)(c)(n+1)!xn+1pour un certainccompris entre0etx:(bien s^urcdepend dex)- Formule de Taylor-Young : Sif(n)(0)existe, alorsfadmet un developpement limite d'ordrenen0de partie reguliere
P(X) =f(0) +f0(0)X+:::+f(n)(0)Xnn!
1 2Remarquez que la deuxieme formule a des hypotheses plus faibles, et donne un resultat plus faible aussi puisqu'elle
ne permet pas d'evaluer le reste. Les deux formules montrent que, pour calculer le developpement limite d'une fonc-
tionfa l'ordrenen 0, on peut se contenter de calculer lesnderivees successivesf0;f00;:::;f(n)et ensuite utiliser
leur valeur en 0; en pratique, c'est une tres mauvaise methode des quendepasse 2 ou 3, car tres lourde en calculs
(le probleme est qu'on determine toute les fonctions derivees alors que ce n'est que leur valeur en 0 qui nous interesse..).
On peut sans (trop) risquer de se tromper ajouter, multiplier des developpements limites :Proposition 6.
Sif,gadmettent des developpements limites a l'ordrenen0, de parties regulieres respectivesPetQ, alors :
{f+gadmet un developpement limite d'ordrenen0, de partie reguliereP+Q {f:gadmet un developpement limite d'ordrenen0, de partie reguliere les termes de degrendeP:Q.Pour calculer le developpement limite de
fg dans le cas oug(0)6= 0, on peut egalement diviser des developpements limites selon la methode des puissances croissantes (voir exemple du DL de tan a la n de la che).Rappelons un resultat tres important : on peut integrer un developpement limite, maison ne peut pas deriver
un developpement limiteen general : il se peut quefadmette un developpement limite d'ordren, et quef0n'ait
pas de developpement limite d'ordren1.Proposition 7.
Sifest derivable etf0admet un developpement limite d'ordrenen0de partie regulierea0+a1X+:::+anXn, alors
fadmet un D.L d'ordren+ 1en0, de partie reguliereP(X) =f(0) +a0X+a12X2+:::ann+1Xn+1.
Remarquons que, dans l'enonce ci-dessus, il est primordial de ne pas oublier le terme f(x0), qui est la constante d'integration!Il ne reste plus qu'un theoreme important a enoncer sur les developpement limites : on peutcomposerdes
developpement limites.Proposition 8.
Sifadmet un developpement limite enx0d'ordrenet de partie reguliereP, etgadmet un developpement limite
d'ordrenenf(x0)de partie reguliereQ, alorsgfadmet un developpement limite d'ordrenenx0, de partie reguliere
constituee par les termes de degrendeQP.Il y a un piege : il faut veiller a bien utiliser le developpement limite degenf(x0), et pas enx0... Il faut aussi faire
attention a composer des developpements limites de m^eme ordre : si on conna^t par exemple le developpement limite
defenx0a l'ordre 3 enx0, et le developpement limite dega l'ordre 42 enf(x0), on n'a assez d'information que
pour calculer le developpement limite degfa l'ordre 3 enx0. Ce theoreme peut ^etre utilise pour calculer le developpement limite d'un quotient fg , oug(0)6= 0 : on commence par calculer le developpement limite de 1g par composition, puis on le multiplie avec celui def.Il est tres important de se rappeler qu'un developpement limite est une egalite mathematique, pas une
identication magique: il faut toujours indiquer le reste et savoir a quel ordre on calcule le developpement.
Pour terminer ces notes, mentionnons le cas des fonctions d'une variable reellea valeurs complexes. Tous les
enonces donnes plus haut restent corrects (en considerant des polyn^omes a coecients complexes, bien s^ur), sauf un :
la formule de Taylor-Lagrange est fausse pour les fonctions a valeurs complexes.En eet, la preuve de cette formule se base sur l'egalite des accroissements nis (qui est en fait la formule de Taylor-
Lagrange a l'ordre 1) et celle-ci est fausse pour les fonctions a valeurs complexes. Un exemple pour se convaincre :
considerons la fonctionf:R!Cdenie parf(t) =eit. Alorsfest de classeC1, etf0(t) =ieitne s'annulejamais (le module def0(t) vaut toujours 1). On af(2)f(0) = 0, donc il est impossible qu'il existectel que
f(2)f(0) = 2f0(c). La raison de cette dierence entreRetCest queRest muni d'un ordre naturel, compatible
avec les operations algebriques (tout particulierement, un nombre est positif ssi c'est un carre); de plus cet ordre a de
nombreuses proprietes (borne sup, borne inf, archimedianite...). SurC, il n'existe pas de telle relation d'ordre.
Tout cela ne pose pas de probleme particulier : surC, on peut toujours utiliser la formule de Taylor-Young, ainsi
que la formule de Taylor avec reste integral, qu'on reverra plus tard (et qui est a conna^tre pour les ecrits du CAPES!).
La theorie serait par contre totalement dierente si on considerait des derivees de fonctions de variable complexe a
valeurs complexes - c'est la theorie des fonctions holomorphes.Quelques developpements importants:
11 +x= 1x+x2:::+ (1)nxn+o(xn):
3 ln(1 +x) =xx22 +:::+ (1)n+1xnn +o(xn): ex= 1 +x+x22 +x36 +:::+xnn!+o(xn): cos(x) = 1x22 +:::+ (1)nx2n(2n)!+ox2n+1: sin(x) =xx36 +:::+ (1)nx2n+1(2n+ 1)!+ox2n+2: arctan(x) =xx33 +:::+ (1)nx2n+12n+ 1+ox2n+2: (1 +x)= 1 +:x+:::+:(1):::(n+ 1)xnn!+o(xn) (valable pour tout2R). Un exemple : trois methodes pour calculer le developpement limite detanen0a l'ordre5. Premiere methode: la division selon les puissances croissantes.On commence par ecrire
tan(x) =sin(x)cos(x)=xx36 +x5120 +o(x5)1x22 +x424 +o(x5): Puis on utilise la methode des puissances croissantes : xx36 +x5120 +o(x5)1x22 +x424 +o(x5)x+x32 x524 +o(x5)x+x33 +215x5x 33
x530 +o(x5) x33 +x56 +o(x5)2 15 x5+o(x5)On obtient donc nalement que tan(x) =x+x33 +215
x5+o(x5).
Deuxieme methode: par composition, en utilisant le developpement limite de11u(ci-dessous, les termes en gris
clair sont ceux qu'on aurait pu se passer d'ecrire, puisqu'ils font appara^tre des termes de degre>5).
tan(x) =xx36 +x5120 +o(x5)1x22 +x424 +o(x5) xx36 +x5120 1(x22 x424 +o(x5)) = (xx36 +x5120 )(1 + (x22 x424 ) + (x22 x424 )2+(x22 x424 )3+ (x22 x424 )4+ (x22 x424 )5) +o(x5) = (xx36 +x5120 )(1 +x22 +5x424 ) +o(x5) =x+x33 +2x515 +o(x5):(Note : dans la derniere ligne, on n'a pas fait appara^tre les termes de degre>5, puisque ce sont tous deso(x5))
Troisieme methode: en utilisant une equation dierentielle. On a tan0(x) = 1+tan2(x). En ecrivant le developpement
de tan0en 0 a l'ordre 4 sous la formea+bx2+cx4+o(x4) (il n'y pas de termes d'ordre impair : tan est impaire,
donc tan0est paire), le fait que tan(0) = 0 et le theoreme d'integration des developpements limites nous donne que le
developpement limite de tan en 0 a l'ordre 5 est egal aax+bx33 +cx55 . La formule tan0(x) = 1 + tan2(x) nous donne alors (par composition) : a+bx2+cx4+o(x4) = 1 + (ax+bx33 +cx55 )2+o(x4):Autrement dit, on a
a+bx2+cx4+o(x4) = 1 +a2x2+2ab3 x4+b29 x6+o(x4) 4Le theoreme d'unicite des developpements limites nous permet d'identier les deux developpements terme a terme :
ceci donnea= 1,b=a2= 1, etc=2ab3 =23 . En reportant cela dans la formule donnant le developpement de tan a l'ordre 5 en 0 en fonction dea;b;c, on obtient de nouveau tan(x) =xx33 +215x5+o(x5).quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47