Quelques méthodes de géométrie dans l’espace

Title: comment montrer qu un point appartient a une droite pdf Author: swiners Created Date: 11/7/2019 9:18:06 PM

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Démontrer qu'un point appartient à une droite Démontrer qu'un point appartient à une droite page 1 Fiche originale réalisée par Thierry Loof Définition : Un point A de coordonnées (x A; y A) appartient à la droite d d’équation y = mx + p si et seulement si y A = mx A + p Exemple : Soit la droite d d’équation y = 2 x + 3

Quelques méthodes de géométrie dans l’espace

⨿ Pour montrer qu’un point appartient à une droite: Première méthode : on a une représentation paramétrique de la droite On cherche à savoir si il y a un paramètre pour lesquels ce point appartient à la droite : on résout le système de trois équations à une inconnues Si ce système existe (il y a une unique solution), le point

1 Droites et vecteurs directeurs

Exemple 2 Soit d la droite de vecteur directeur →u(4;2) passant par le point A(−3;−3) Montrer que le point M(11;4)appartient à la droite d 1 2 Droites parallèles et droites sécantes Soient dune droite de vecteur directeur →u et d′ une droite de vecteur directeur →v

Nom : DS n°2

Déterminer si un point appartient à une droite Déterminer si une droite est parallèle à un plan Déterminer si deux droites sont coplanaires Raisonner / Justifier des formules / Interpréter des résultats Démontrer qu'une suite est géométrique en précisant sa raison et son premier terme Déterminer une limite

VECTEURS ET DROITES

II Equations de droite 1) Vecteur directeur d'une droite Définition : D est une droite du plan On appelle vecteur directeur de D tout vecteur non nul u qui possède la même direction que la droite D 2) Equation cartésienne d'une droite Théorème et définition : Toute droite D admet une équation de la forme ax+by+c=0 avec (a;b)≠(0;0)

ELEMENTS DE COURS - Lycée Hoche

Pour démontrer qu’une droite est une médiane d’un triangle * 5 Si une droite passe par un sommet d’un triangle et par le milieu du côté opposé à ce sommet alors c’est une médiane du triangle 4 Et si dans un triangle une droite passe par un sommet et par le point d’intersection

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Montrer qu'un point de coordonnées connues appartient à une droite d'équation connue Calculer l'abs;issçe ou lidonnéŽd'uv0int aprwtqa ywiroite d'équation connue Exemples : par L _ -2 x Z + 3 * v(3ì V € J —2 x 343 b) Coefficient directeur d'une droite d passant par deux points distincts A et B de coordonnées respectives connues

la geometrie dans l espace - coursmathsaix

Une droite contenue dans un p an représente un cas p culler du talt d'être parallele a ce Plan Cas particuliers une droite SONT SECANTS, il suffira de montrer qu'ils NE SONT PAS PARALLELES Les positions relatives des droites et des plans 1_JanS ce cas, 1 et une drolte peuvent etre secants —Y un plan et une droite peuvent être parallèles

Quelques méthodes de géométrie dans l'espace : ⨿ Pour montrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles: Cela revient à montrer que les vecteurs �� et �� sont colinéaires On calcule les coordonnées des vecteurs �� et ��, on vérifie que ces coordonnées sont proportionnelles soit le coefficient est évident soit on pose un système. ⨿ Pour montrer que trois points A, B et C définissent un plan : Cela revient à montrer que les trois points A, B et C ne sont pas alignés. On calcule les coordonnées des vecteurs �� et ��, on vérifie que ces coordonnées ne sont pas proportionnelles, dans ce cas les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points ne sont pas alignés. ⨿ Pour déterminer une représentation paramétrique d'une droite: On a besoin des coordonnées d'un point A de la droite et d'un vecteur directeur �� de cette droite. On traduit le fait que les vecteurs �� et �� sont colinéaires : on obtient alors un système. ⨿ Pour montrer qu'un point appartient à une droite: Première méthode : on a une représentation paramétrique de la droite. On cherche à savoir si il y a un paramètre pour lesquels ce point appartient à la droite : on résout le système de trois équations à une inconnues. Si ce système existe (il y a une unique solution), le point appartient à la droite sinon ce n'est pas le cas. Deuxième méthode : On vérifie que les vecteurs �� et �� sont colinéaires par exemple donc le point A appartient à (BC). ⨿ Pour montrer que deux droites dont on a une représentation paramétrique sont non coplanaires : Cela revient à prouver que les droites ne sont pas parallèles et qu'elles ne sont pas sécantes. Pour montrer qu'elles ne sont pas parallèles, on vérifie que les coordonnées des deux vecteurs directeurs ne sont pas proportionnelles et donc que ces vecteurs ne sont pas colinéaires. ( si les vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles) Pour montrer qu'elles ne sont pas sécantes : On résout les équations x=x, y=y et z=z, on obtient alors trois équations pour deux inconnues (les deux paramètres) : deux servent à trouver les paramètres, si en remplaçant dans la troisième équation, l'égalité est vraie les droites sont sécantes, sinon les droites ne le sont pas. ⨿ Pour montrer que trois vecteurs ��, �� et �� sont (ou ne sont pas) coplanaires (deux vecteurs sont forcément coplanaires, cette question pour deux vecteurs n'a pas de sens) On cherche des réels α et β tels que ��=�� +��, on regarde ce à quoi cela correspond pour x, pour y et pour z : on obtient trois équations à deux inconnues (donc une équation de trop), on en utilise deux pour trouve les valeurs de α et β. On remplace dans la troisième, si l'égalité est vérifiée, les vecteurs sont coplanaires, si elle ne l'est pas, les vecteurs ne sont pas coplanaires.

⨿ Pour montrer qu'une droite et un plan sont sécants : Première méthode : on cherche à savoir si il y a des paramètres pour lesquels le point de la droite et le point du plan sont un seul et même point : on résout le système de trois équations à trois inconnues ( en utilisant x=x, y=y et z=z) si ce système a une unique solution, le plan et la droite sont sécants. Deuxième méthode : on trouve les vecteurs directeurs de la droite et du plan et on cherche si ces trois vecteurs sont colinéaires ( dans ce cas soit la droite est incluse dans le plan, soit elle est parallèle au plan) ou pas (dans ce cas la droite et la plan sont sécants). ⨿ Pour montrer que deux droites (AB) et (CD) sont orthogonales: Cela revient à montrer que les vecteurs �� et �� sont orthogonaux. On calcule les coordonnées des vecteurs �� et ��, on vérifie que le produit scalaire des deux vecteurs est égale à 0. ⨿ Pour montrer qu'une droite (AB) et un plan (P) sont orthogonaux: On choisit deux vecteurs non colinéaires du plan (P) et on vérifie que chacun des ses vecteurs est orthogonal à �� ( on vérifie que le produit scalaire des deux vecteurs est égale à 0). ⨿ Pour déterminer l'équation d'un plan ax + by + cz + d = 0 : Première méthode : On traduit le fait que les vecteurs ��, �� et �� sont coplanaires : ��=�� +��. On obtient un système de trois équations à deux inconnues. On en utilise deux pour trouve les valeurs de α et β. On remplace dans la troisième et on obtient notre équation sous la forme ax + by + cz + d = 0. Deuxième méthode : On cherche un vecteur normal au plan. On en déduit les valeurs de a, b, c. Pour déterminer d, on cherche un point particulier du plan qui doit vérifier l'équation du plan. Troisième méthode : on vous donne l'équation cherchée. Il suffit de vérifier que trois points (bien choisi) du plan vérifie cette équation. ⨿ Pour déterminer la distance d'un point A (n'appartenant pas à (P)) à un plan (P) : On cherche les coordonnées du point M du plan (P) tel que �� et (P) sont orthogonaux. Pour cela, on traduit le fait que �� est colinéaire à un vecteur normal du plan (P). On obtient les coordonnées du point M en fonction d'un paramètre ��. Pour déterminer ��, on traduit que les coordonnées du point M doivent vérifier l'équation du plan. Enfin, on calcule la distance AM.

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