comment utiliser le TVI ou ses corollaires

, , , p} est libre, il admet une solution et une seule Si b ∈ ImA et si {AA A 12, , , p} est lié, toute solution x s'écrit sous la forme x=x0 + z avec x0 solution particulière et z vecteur du noyau de A (tel que Az=0) III - SYSTEME de CRAMER 3 1 Définition (S) est un système de CRAMER ssi 1/ n=p (La matrice des coéfficients A est carrée)

onctions - downloadtuxfamilyorg

montrer qu'une équation admet une unique solution ? Sommaire 1 Qu'est-ce qu'une fonction continue en un p oint ? Dé nition P eut-on soigner des fonctions discontinues en un p oint ? Y a-t-il di érents t yp es de discontinuité ? 2 Prop riétés des fonctions continues sur un intervalle Quelles sont les fonctions dont le graphe est un trait

Chap 1 : Résolution déquations non-linéaires

une fonction polynômiale à coe cients réels de degré impair admet au moins un zéro sur R l'équation x(1 + 2x) = e x admet une unique solution dans l'intervalle ]0;1[

Lycée secondaire Zannouch Devoir de synthèse de mathématiques

1) Montrer que l'équation (E ) admet une solution réelle que l’on déterminera 2) a-Déterminer deux nombres complexes aet btels que : − (3 + 3 ) + (1 + 6 ) + 1 − 3 = ( − 1)( + + ) b-Résoudre, dans ℂ, l'équation (E ) B-Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, ⃗, ⃗), on considère l’application f du

1 Equations di erentielles d’ordre 1 sur E

Exercice 3 Soient a;b : R R deux fonctions continues avec aimpaire et bpaire Montrer que l’ equation di erentielle (E) : y0(t) + a(t)y(t) = b(t) admet une unique solution impaire Correction : Il y a deux cl es pour r esoudre cet exercice : {toute fonction impaire vaut 0 en 0; {l’ equation di erentielle (E) admet une unique solution y 0 v

TD avec solutions : THEOREME DE ROLLE ; THEOREME DES

1)montrer que l’équation : f x x admet une solution unique ; 62 D ºªSS »«¼¬ 2)montrer que : : 62n u SS 3)a)montrer que :; 62 x ºSS ª »«¼¬ 3 2 fxc d b)en déduire que : 1 3 nn2 uu DDd 4) calculer : lim n n u o f Solution :1) Considérons une fonction g tel que : g x f x x On a : g est une fonction dérivable sur et g x f x xcc 1

Continuit e - Th eor eme des valeurs interm ediaires

1) Montrer que l’ equation x3 + x 1 = 0 admet une unique solution sur R 2) Ecrire un algorithme pour d eterminer par balayage un encadrement d’amplitude 10 2 de Algorithme - Solution d’une equation par dichotomie Soit fune fonction continue strictement croissante sur [a;b], telle que f(a) 0 On sait que l’ equation f(x

comment utiliser le TVI ou ses corollaires

Exemple 1 : On souhaite montrer que l ’équation cos(2x)=2sin(x)−2 admet au moins une solution dans - π 6 ; π 2 Recherche : L’énoncé laisse supposer qu ’il faut utiliser le TVI (on recherche au moins 1 solution) Pour pouvoir utiliser le TVI : o il faut essayer de se ramener à une équation de la forme f(x)=k

EQUATIONS DIFF ERENTIELLES - DMA/ENS

Exercice 1 Montrer que pour toute condition initiale, il existe une solution de l’ equation di erentielle x_ = sintx d e nie sur R Exercice 2 D eterminer des solutions maximales de l’ equation di erentielle x_ = x2 Montrer qu’il existe une in nit e de solutions maximales avec la m^eme condition initiale Exercice 3

Lycée Desfontaines - MELLE 1/3

Quand et comment utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires ? Qu"est ce que le théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires ?

Théorème des valeurs intermédiaires :

On considère une fonction f continue sur un intervalle I, a et b sont deux réels de I.

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que

f(c)=k Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a;b], alors quel que soit le réel k compris

entre f(a) et f(b), l"équation f(x)=k admet une unique solution dans [a;b]

Extensions :

On étend le dernier théorème aux cas où f est continue et strictement monotone sur un intervalle I ouvert

ou semi-ouvert, borné ou non... Quand utilise-t-on le théorème des valeurs intermédiaires (ou ses corollaires) ?

❖ Le T.V.I. s"utilise dans le cas où on demande de montrer qu"une équation du type f(x)=k admet

au moins une solution.

❖ Le TVI ne permet pas de déterminer le nombre de solutions, ni de calculer la ou les solutions.

❖ Le corollaire (ou extensions) du TVI s"utilise dans le cas ou on demande de montrer qu"une

équation du type f(x)

=k admet une unique solution. ❖ Lorsqu"on demande de montrer qu"une équation du type f(x)=k admet un nombre donné n de solution (n Ã2), on peut utiliser le corollaire du TVI en découpant l"intervalle en n intervalles sur chacun desquels, on appliquera le théorème.

Comment utilise-t-on le TVI ou son corollaire ?

Pour utiliser le TVI, on doit s"assurer que les conditions suivantes sont bien réalisées : + La fonction f doit être continue sur l"intervalle [a;b]

+ le réel k doit être compris entre f(a) et f(b) càd k☻[f(a);f(b)] lorsque f est strictement croissante et

k☻[f(b);f(a)] lorsque f est strictement décroissante. Pour utiliser le corollaire du TVI, on doit s"assurer que les conditions suivantes sont bien réalisées : + La fonction f doit être continue sur l"intervalle [a;b] + La fonction f doit être strictement monotone sur [a;b] (càd soit strictement croissante soit strictement décroissante sur [a;b])

+ le réel k doit être compris entre f(a) et f(b) càd k☻[f(a);f(b)] lorsque f est strictement croissante et

k☻[f(b);f(a)] lorsque f est strictement décroissante.

Cette méthode s

"adapte aux extensions du corollaire.

Lycée Desfontaines - MELLE 2/3

Différents cas d"utilisation du TVI ou de ses corollaires : Exemple 1 : On souhaite montrer que l"équation cos(2x)=2sin(x)-2 admet au moins une solution dans

6 ; π

2 .

❖ Recherche : L"énoncé laisse supposer qu"il faut utiliser le TVI (on recherche au moins 1 solution).

❖ Pour pouvoir utiliser le TVI : o il faut essayer de se ramener à une équation de la forme f(x) =k.

Or, cos(2x)

=2sin(x)-2ñcos(2x)-2sin(x)=-2ñf(x)=-2 avec f(x)=cos(2x)-2sin(x) o La fonction f doit être continue sur 6 2 . Or, les fonctions x→cos(2x) et x→sin(x) sont continues sur 6 2 donc f est continue sur ??? 6 2 o -2 doit être compris entre f(())-

6 et f(())

2 . Or f

6 =cos(())-

3 -2sin(())-

6 = 1 2 -2×(())- 1 2 = 3 2 et f

2 =cos(π)-2sin(())

2 =-1-2×1=-3 donc -2☻???

???f(())

2 ;f(())-

❖ Conclusion : d"après le TVI, l"équation f(x)=-2 càd l"équation cos(2x)=2sin(x)-2 admet au

moins une solution dans 6 2 ❖ Pour rédiger cet exercice, voir exercice du cours Exemple 2 : On considère la fonction f définie sur Ë par f(x)=x2+2

Montrer que f(x)=3 admet deux solutions sur Ë.

Recherche : il s"agit de résoudre une équation du type f(x)=k, on peut donc penser qu"on va utiliser le

TVI ou ses corollaires. Le fait que le nombre de solutions cherchées soit indiqué laisse supposer qu

"on pourra utiliser un corollaire du TVI. Le fait qu "on cherche 2 solutions laisse penser qu"il faudra peut-être utiliser deux fois ce théorème.

Pour utiliser un corollaire du TVI, il faut que f soit continue et strictement monotone sur un intervalle I et

que 3 appartienne à l "ensemble des valeurs prises par f sur I.

Il est donc nécessaire d

"étudier dans un premier temps la fonction f.

┐x, x2+2>0 donc f est bien définie sur Ë et est dérivable sur Ë et ┐x, f′(x)= 2x

2 x2+2 = x x2+2 Le dénominateur étant toujours positif, f(x) est du signe de x donc : f′(x)>0 si x>0 f ′(0)=0 f ′(x)<0 si x<0 donc f est strictement décroissante sur ] -õ;0] et strictement croissante sur [0;+õ[

❖ Plaçons nous sur ]-õ;0], f est dérivable donc continue sur cet intervalle, elle est strictement

décroissante sur cet intervalle.

De plus lim

x↔-õf(x)= lim x↔-õx2+2= lim X↔+õX=+õ et f(0)=2<3 donc 3☻????f(0); lim -õf

Lycée Desfontaines - MELLE 3/3

Donc d"après un corollaire du TVI, on déduit que l"équation f(x)=3 admet une unique solution

sur ] -õ;0[ ❖ Sur [0;+õ[, f est dérivable donc continue et f est strictement croissante.

De plus, f(0)

=2<3 et lim x↔+õf(x)= lim x↔+õx2+2= lim

X↔+õX=+õ donc 3☻????0; lim

+õf

Donc d

"après un corollaire du TVI, on déduit que l"équation f(x)=3 admet une unique solution sur ] -õ;0[

❖ finalement l"équation f(x)=3 admet deux solutions, une première sur ]-õ;0] et une seconde sur

[0quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] comment utiliser le TVI ou ses corollaires

} est libre, il admet une solution et une seule {}

onctions - downloadtuxfamilyorg

Chap 1 : Résolution déquations non-linéaires

Lycée secondaire Zannouch Devoir de synthèse de mathématiques

1 Equations di erentielles d’ordre 1 sur E

TD avec solutions : THEOREME DE ROLLE ; THEOREME DES

Continuit e - Th eor eme des valeurs interm ediaires

comment utiliser le TVI ou ses corollaires

EQUATIONS DIFF ERENTIELLES - DMA/ENS

Lycée Desfontaines - MELLE 1/3

Théorème des valeurs intermédiaires :

Extensions :

équation du type f(x)

Comment utilise-t-on le TVI ou son corollaire ?

Cette méthode s

Lycée Desfontaines - MELLE 2/3

6 ; π

Or, cos(2x)

6 et f(())

6 =cos(())-

3 -2sin(())-

2 =cos(π)-2sin(())

2 =-1-2×1=-3 donc -2☻???

2 ;f(())-

Montrer que f(x)=3 admet deux solutions sur Ë.

Il est donc nécessaire d

De plus lim

Lycée Desfontaines - MELLE 3/3

De plus, f(0)

X↔+õX=+õ donc 3☻????0; lim

Donc d