etiennemiquey[at]ens-lyonfr Fonctions convexes

I,y ≥ f(x)} (E est la partie de R2 situ´ee au-dessus du graphe de f) On montre facilement que la fonction f est convexe sur I si et seulement si E est une partie convexe de R2 Ne pas confondre les fonctions convexes et les fonctions ayant un graphe convexe Les seules fonctions de R dans R ayant un graphe convexe sont les applications aﬃnes

Fonctions convexes 1 Dimension 1 - Institut de Mathématiques

1 Montrer qu’une fonction ’: IR est convexe si et seulement si pour tout x2I, on a ’(x) = sup h2A (I) h ’ h(x): 2 Application : Inégalité de Jensen Soit ’: IR une fonction convexe et une mesure de probabilité sur I, alors pour toute fonction f2L1(I; ) nous avons ’ Z I fd Z I ’ fd ;

comment montrer qu une fonction est convexe ou concave - le

Title: comment montrer qu une fonction est convexe ou concave - le methode pdf Author: swiners Created Date: 12/4/2020 9:13:36 PM

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En revanche, une fonction convexe n’est pas n´ecessairement d´erivable, mais si elle l’est, on peut en d´eduire certaines propri´et´es Th´eor`eme 8 Soit f convexe sur [a,b] Alors f est continue sur ]a,b[ Il est a noter que la continuit´e est bien sur l’intervalle ouvert, il peut se passer des choses bizarres au bord sinon : 0 1

FONCTIONS CONVEXES - Informatique

On montre facilement qu’une fonction fortement convexe est strictement convexe On a aussi la caractérisation suivante : Proposition 3 1 Soit C un convexe de IRn et a ∈ IRn La fonction f : C 7→IRn est fortement convexe sur C si et seulement si la fonction g déﬁnie ci-dessous est convexe : g(x) = f(x)− α 2 kx−ak2 Démonstration

Chapitre 11 : Fonctions convexes - lpsmparis

D’apr`es (∗), on en conclut que f est convexe Corollaire 1 Soient I un intervalle de Ret f : I → Rune fonction deux fois d´erivable La fonction f est convexe si et seulement si la fonction f′′ est a` valeurs positives ou nulles D´eﬁnition 2 Une application f : I → Rest dite concave si la fonction −f est convexe

CONVEXITÉ - Maths & tiques

La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes Fonction convexe Fonction concave Propriétés : - La fonction carré xx2 est convexe sur - La fonction cube ⎦xx3 est concave sur ⎤−∞,0⎤⎦ et convexe sur ⎡⎣0;+∞⎡

Convexité - Licence de mathématiques Lyon 1

Propriété 7 7 Une fonction f : I R est convexe si et seulement si pour tout a 2 I, la fonction a f est croissante sur I nf ag Exercice 7 8 Véri er que l'inégalité des pentes est équivalente au fait que pour tout a 2 I, la fonction a f est croissante sur I nf ag

Convexité en optimisation, convexité forte

Déﬁnition5:Fonction -elliptique Soit KˆV, un convexe Une fonction f : K R est dite fortement convexe ou uniformément convexe ou -convexe ou -elliptique s’ilexiste >0 telque,pour

Fonctions convexes

Prendera due piccioni con una fava :

L"objectif cet ´episode est double

1. D"une part, on cherchera `a se familiariser avec la notion de fonction (r´eelle)

convexe, et `a en d´ecouvrir tout un tas de propri´et´es hautement sympathiques. C"est pourquoi cet ´episode pourra

sembler un peu plus d´ecousu que les pr´ec´edents, et se pr´esente plus sous la forme d"un listing de propri´et´es que

d"une randonn´ee logiquement articul´ee autour d"un beau fil rouge. D"autre part, on constatera tout au long

de ce qui suit que parfois (mais en fait, c"est tr`es souvent vrai (pour ne pas dire tout le temps)), tout est

dans le dessin : intuition, raisonnement, preuve. Les meilleures armes sont souvent des crayons ou des craies de

couleurs...

1 D´efinition

D´efinition 1.Une fonctionf:R→Rest diteconvexesur [a,b], si la corde prise entreaetbest au-dessus du

graphe defsur tout l"intervalle [a,b]

Puisque l"on va s"appuyer essentiellement sur le dessin, autant commencer tout de suite, une fonction convexe,

c"est donc un truc de cette tˆete l`a : f a c b

Figure1 - D´efinition visuelle

On peut retrouver une d´efinition formelle et calculatoire `a partir de cela. Quelque soitc?[a,b], il existe

t?[0,1] tel quec=ta+ (1-t)b(cest vu comme un barycentre deaetb). L"´equation de la corde prise entre

aetbest : y=f(b)-f(a) b-a(x-a) +f(a)

Soit, enc:

y=f(b)-f(a) b-a(ta+ (1-t)b-a) +f(a) =f(b)-f(a)b-a(1-t)(b-a) +f(a) =tf(a) + (1-t)f(b)

On en d´eduit la propri´et´e suivante

2: ssi l"image du barycentre est plus petite que le barycentre des images.

1.Litt´eralement, la superbe phrase en italien juste au-dessus signifie "Prendre deux oiseaux avec une graine". C"´etaitjuste

histoire de la caser.

2.propri´et´e qui, `a vrai dire, est la d´efinition usuelle de la convexit´e.

ExempleLa fonctionx?→x2est convexe surR. On peut le prouver par le calcul (vous en profiterez au

passage pour constater comme la chose est p´enible et peu tr´epidante). Soita,b?Rett?[0,1], on a :

Sit= 0 out= 1, c"est clair, et sit?]0,1[, on at(t-1)<0, donc c"est encore vrai.

Une question usuelle en maths, lorsque l"on s"int´eresse `a des objets qui correspondent `a un sous-ensemble

particulier d"un plus gros ensemble (ici l"ensemble des fonctions r´eelles), est de savoir par quel(s) op´erateur(s)

ce sous-ensemble est stable. Dans notre cas pr´ecis, on peut regarder pour l"addition et la composition, qui sont

les op´erations naturelles sur les fonctions. Propri´et´e 3.Sifetgsont deux fonctions convexes, alorsf+gest une fonction convexe

D´emonstration.Il suffit de s"appuyer sur la d´efinition calculatoire, et de sommer les deux in´egalit´es...

Propri´et´e 4.Sifetgsont deux fonctions convexes sur[a,b], alorsf◦g:x?→f(g(x))n"est pas n´ecessairement

convexe. Une condition n´ecessaire est quefsoit croissante.

D´emonstration.Un bon contre-exemple estf:x?→ -xetg:x?→x2qui sont facilement convexes, alors que

f◦g:x?→ -x2ne l"est clairement pas. f◦gconvexe.

C"´etait ici la derni`ere fois que l"on montrait quelque chose par le calcul. Pour ˆetre rigoureux, il faudrait le

faire `a chaque fois, mais on va consid´erer d´esormais que si l"on voit bien l"id´ee sur le dessin, la seule difficult´e

restante est de ne pas s"embrouiller en les diff´erents points, les diff´erentst, mais que la surmonter est plus une

question de technicit´e que d"intelligence `a proprement parler.

2 Premi`eres propri´et´es

Propri´et´e 5.Soitf:I→Rconvexe etα?I. Alorsgα:?I\{α} →R x?→f(x)-f(α) x-αest croissante. ?f a x1x2

Figure2 - Croissance des pentes

D´emonstration.La preuve est `a lire sur le dessin. On prendx1< x2, on trace les cordes correspondantes.

Montrer quegα(x1)< gα(x2) revient `a montrer que la pente rougeest plus forte que lableue. Or on peut

exprimerx1comme un barycentre deaetx2. On d´eduit de la d´efinition de la convexit´e que le point

?(en tant que barycentre des images deaetx2) est au-dessus du point ?(l"image du barycentre). La pentebleueest donc n´ecessairement plus faible que la rouge. 2

Si vous n"ˆetes pas encore convaincu par l"int´erˆet et la rigueur du dessin, essayez de faire la preuve en calculant

le bont, puis les images des diff´erents points, trompez-vous, pleurez un bon coup, et vous verrez la supr´ematie

du crayon de couleur vous apparaˆıtre de fa¸con lumineuse...

On peut, grˆace `a la propri´et´e pr´ec´edente, en d´emontrer une un petit peu plus forte :

Propri´et´e 6.Soienta < b,x < y, alorsf(x)-f(a) a x by a b xy

Figure3 - Croissance des pentes, par paires

D´emonstration.L"id´ee est tr`es simple : ici, notre propri´et´e porte sur des paires de points. Or la propri´et´e 5 ne

peut nous apporter des informations que pour deux pentes ayantun point commun. On va donc prendre un

point commun `a nos deux pentes et appliquer deux fois la propri´et´e 5. On rajoute dans les deux cas la corde de

b`ax. D"apr`es la propri´et´e 5, commea < b, on a f(b)-f(x) y-b

Toujours `a l"aide de la propri´et´e 5 (ce qui montre bien son importance), on va en montrer une assez

compl´etement ´evidente, mais p´enible `a prouver en partant juste de la d´efinition de base.

Propri´et´e 7.Sifest convexe, le graphe defest au-dessus de toute droite s´ecante `a l"ext´erieure desintersec-

tions. Formellement, siDest une droite (notonshla fonction affine correspondante) qui coupeCfenaetb, a bx f(x?) h(x?) x?f D

Figure4 - S´ecante au graphe def

D´emonstration.On commence par faire un beau dessin plein de couleur. Jusqu"`a pr´esent, nous ne disposons que

de propri´et´e portant sur l"int´erieur des intersection avec dess´ecantes/cordes. L"id´ee est donc de s"appuyer sur la

valeur des pentes pour en d´eduire celle des image des points. En effet, il est clair que si la pente

gb(x?)(resp.ga(x))

les deux courbes se coupent au point d"abscisseb(resp.a). Or la pente de la droiteDest la mˆeme tout au au

long de la droite, et vaut a fortiori ga(b). Commea < x?, on a d"apr`es la propri´et´e 5h(x?)-h(b) donc 3

3 R´egularit´e des fonctions convexes

Nous avons d´esormais vu suffisament de propri´et´e pour se d´ebrouiller dans presque toute situation m´elant

une fonction convexe et des cordes. Nous allons maintenant nous int´eresser au lien entre convexit´e, continuit´e et

d´erivation. On dispose d"un premier th´eor`eme assez fort

3, qui nous dit que la convexit´e implique la continuit´e.

En revanche, une fonction convexe n"est pas n´ecessairement d´erivable, mais si elle l"est, on peut en d´eduire

certaines propri´et´es. Th´eor`eme 8.Soitfconvexe sur[a,b]. Alorsfest continue sur]a,b[.

Il est `a noter que la continuit´e est bien sur l"intervalle ouvert, il peut se passer des choses bizarres au bord

sinon :

0 1 2 30

Figure5 - Fonction convexe non continue au bord

D´emonstration.On consid`ere la d´efinition suivante4de la continuit´e :fest continue enassif(x)-→x→af(a).

L"id´ee va ˆetre de se servir de la convexit´e pour coincer la fonctionau voisinage dea. Partant de l`a, vous devriez

assez naturellement penser `a votre th´eor`eme des gendarmespr´ef´er´e, qui sert exactement `a ¸ca :

eth(x)-→x→al. Alorsf(x)-→x→al

Il ne reste plus qu"`a construire les fonctionsgethqui vont bien. On va se servir pour ¸ca des seuls objets en

relation avecfsur lesquels on sache potentiellement des choses, `a savoir des s´ecantes. Assez naturellement on

va essayer de les faire passer parf(a), il ne reste plus qu"`a construire une fonction en dessous et une au-dessus.

a h g Figure6 - Th´eor`eme des gendarmes appliqu´e `af

On construit donc

gethcomme sur la figure ci-dessus6qui v´erifient bien toutes les conditions du th´eor`eme

des gendarmes. On en d´eduit donc quef(x)-→x→ag(a) =h(a) =f(a), et donc quefest continue ena.

Propri´et´e 9.Supposonsfd´erivable sur[a,b]. Alorsf convexe?f?croissante.

D´emonstration.On va commencer par le sens calculatoire7de la preuve. Supposons doncf?croissante, et

montrons quefest convexe. Soient doncx,y. Montrons que Φ :t?→tf(x) + (1-t)f(y)-f(tx+ (1-t)y) est

3.En effet, la continuit´e est une propri´et´e tr`es recherch´ee en g´en´erale, qui permet de s"assurer un cadre de travailagr´eable.

4.il en existe d"autres caract´erisation avec des suites ou des?, que vous connaissez peut-ˆetre

5.Notation d´esignant l"ensemble des fonctions deRdansR

6.Et c"est l`a qu"est cach´e le fait que l"on est sur l"int´erieur de l"intervalle. En effet, sinon, on ne peut pas forc´ementconstruire

une corde de chaque cˆot´e...

7.Non, je n"ai pas dit p´enible!

positive sur [0,1]. On constate que Φ(0) = Φ(1) = 0. De plus, Φ?(t) =f(x)-f(y) + (y-x)f?((x-y)t+y).

Ory-x >0, donc on a Φ?(t) =k+af?(y-at), aveca >0. Cette fonction est d´ecroissante, puisquef?est

croissante. Si Φ ?(1)>0, alors quelque soitt?[0,1], Φ?(t)>0 et Φ(1) = Φ(0) +?1

0Φ?(t)dt >Φ(0) = Φ(1),

ce qui est absurde. D"o`u Φ facilement

8que?t?[0,1],Φ(t)≥0 (sinon, en raisonnant sur les valeurs de la d´eriv´ee notamment, on trouve

rapidement une contradiction). Doncfest convexe.

R´eciproquement, supposonsfcroissant et montrons quef?est croissante. Il suffit pour cela de revenir `a la

d´efinition du nombre d´eriv´e :f?(a) = limx→af(x)-f(a) x-a= limx→aga(x).f´etant d´erivable, cette limite est parfaitement

d´efinie et est la mˆeme `a droite et `a gauche, i.e.f?(a) = limx→a,x>aga(x) = limx→a,x un dessin, pour changer. a←-xy-→b

Figure7 - D´eriv´ees d"une fonction convexe

On a donc, par croissance degaetgbque?x > a,

Or, commea < x < y < b, on a d"apr`es la propri´et´e 6 que Corollaire 10.Sifest deux fois d´erivable (f? C2), alors (fconvexe?f??≥0).

En s"appuyant sur les id´ees de la preuve ci-dessus, on obtient facilement la propri´et´e suivante des fonctions

convexes : Propri´et´e 11.Sifest convexe et d´erivable, alorsfest au-dessus de ses tangentes

D´emonstration.Il suffit d"exprimer la tangente enacomme ´etant la limite des cordes dea`ax(x > a) lorsque

x→a. D"apr`es la propri´et´e 5, les cordes sont au-dessus de la tangente. Et d"apr`es la propri´et´e 7, le graphe def

est au-dessus de la s´ecante apr`esx. Donc, en faisant tendrex→a, on obtient le r´esultat voulu. Si vous n"ˆetes

pas convaincu, faites le dessin!

On termine avec une derni`ere propri´et´e calculatoire, qui g´en´eralisela d´efinition barycentrique `a un barycentre

de plusieurs points, et qui permet, comme vous allez le voir juste apr`es sur l"exemple, de prouver de jolies

in´egalit´es assez inattendues (souvent issues de probl`emes g´eom´etriques). Propri´et´e 12(In´egalit´e de Jensen).Soientλ1,...,λndes coefficients tels quen? i=1λ i= 1. Alors f(n? i=1λ i=1λ if(xi)

D´emonstration.La preuve se fait sans surprise par r´ecurrence, mais n"est pas sp´ecialement marrante. C"est de

la technique uniquement, ou presque. On s"en passera ici.

ExempleSoienta,b,c >0. Alors3

8.Ce n"est pas vraiment dur, il suffit de faire de beaux dessins avec les d´eriv´ees, mais ce n"est pas trop l"objet du jour.

En premier lieu, on constate que l"expression de droite est homog`ene, c"est-`a-dire que si l"on multipliea,b

etcparα?= 0, la valeur ne change pas. Quitte `a diviser toutes les valeurs para+b+c, on peut donc supposer

quea+b+c= 1, et donc r´e´ecrire ainsi le probl`eme : 3

Soit, en posantf:x?= 1?→x

1-xet en passant le trois de l"autre cˆot´e,

L`a, c"est le moment de penser `a la convexit´e et `a l"in´egalit´e de Jensen. En effet, supposons quefsoit convexe,

en prenant tous les coefficients `a 1

3, on obtient le r´esultat esp´er´e :

f(a) +f(b) +f(c)

3≥f(a+b+c3) =f(13) =12

Ne reste plus qu"`a montrer la convexit´e def. Ce qui est facile grˆace au corollaire sur la d´eriv´ee seconde, puisque

f ?(x) =(1-x)-(-x)) (1-x)2=1(1-x)2etf??(x) =2(1-x)3≥0 sur ]0,1[.

4 Bonus track

Un premier petit compl´ement n´ecessaire est de dire que la notion de convexit´e se g´en´eralise fort bien au

fonction `a plusieurs variables, il suffit de tout faire avec des gradients `a la place de la d´eriv´ee, et on s"en sort.

Et qu"accessoirement, on dit qu"une forme est convexe si d`es lorscelle-ci contient deux points, elle contient le

segment les reliants. Encore une histoire de barycentre.

Ma foi, c"est bien joli tout ¸ca, me direz-vous, mais cela sert-il vraiment `a quelque chose? En fait, oui. D"une

part, en analyse, la propri´et´e de convexit´e est relativement recherch´ee, puisque comme vous venez de le voir,

elle offre tout un bon nombre de propri´et´es agr´eables sur la fonction. Et d"autre part, dans un grand nombre de

probl`emes d"optimisation (ce qui est assez courant dans la vraie vie), on cherche syst´ematiquement `a minimiser

des quantit´es correspondant `a des fonctions convexes. En effet, d`es lors, des m´ethodes assez similaires `a la

m´ethode de Newton pour la r´esolution des ´equationsf(x) = 0 fonctionnent bien et permettent des r´esolutions

simples. Si ¸ca vous amuse, prenez une fonction convexe, essayer de voir le lien entre minimum local et minimum

global, et essayer de trouver une m´ethode syst´ematique de descente vers le minimum. Au besoin, je peux aider!

Un petit dessin vaut mieux qu"un long discours

[Napol´eon Bonaparte] 6quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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