CONVEXITÉ - Maths & tiques

I,y ≥ f(x)} (E est la partie de R2 situ´ee au-dessus du graphe de f) On montre facilement que la fonction f est convexe sur I si et seulement si E est une partie convexe de R2 Ne pas confondre les fonctions convexes et les fonctions ayant un graphe convexe Les seules fonctions de R dans R ayant un graphe convexe sont les applications aﬃnes

Fonctions convexes 1 Dimension 1 - Institut de Mathématiques

1 Montrer qu’une fonction ’: IR est convexe si et seulement si pour tout x2I, on a ’(x) = sup h2A (I) h ’ h(x): 2 Application : Inégalité de Jensen Soit ’: IR une fonction convexe et une mesure de probabilité sur I, alors pour toute fonction f2L1(I; ) nous avons ’ Z I fd Z I ’ fd ;

comment montrer qu une fonction est convexe ou concave - le

Title: comment montrer qu une fonction est convexe ou concave - le methode pdf Author: swiners Created Date: 12/4/2020 9:13:36 PM

etiennemiquey[at]ens-lyonfr Fonctions convexes

En revanche, une fonction convexe n’est pas n´ecessairement d´erivable, mais si elle l’est, on peut en d´eduire certaines propri´et´es Th´eor`eme 8 Soit f convexe sur [a,b] Alors f est continue sur ]a,b[ Il est a noter que la continuit´e est bien sur l’intervalle ouvert, il peut se passer des choses bizarres au bord sinon : 0 1

FONCTIONS CONVEXES - Informatique

On montre facilement qu’une fonction fortement convexe est strictement convexe On a aussi la caractérisation suivante : Proposition 3 1 Soit C un convexe de IRn et a ∈ IRn La fonction f : C 7→IRn est fortement convexe sur C si et seulement si la fonction g déﬁnie ci-dessous est convexe : g(x) = f(x)− α 2 kx−ak2 Démonstration

Chapitre 11 : Fonctions convexes - lpsmparis

D’apr`es (∗), on en conclut que f est convexe Corollaire 1 Soient I un intervalle de Ret f : I → Rune fonction deux fois d´erivable La fonction f est convexe si et seulement si la fonction f′′ est a` valeurs positives ou nulles D´eﬁnition 2 Une application f : I → Rest dite concave si la fonction −f est convexe

CONVEXITÉ - Maths & tiques

La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes Fonction convexe Fonction concave Propriétés : - La fonction carré xx2 est convexe sur - La fonction cube ⎦xx3 est concave sur ⎤−∞,0⎤⎦ et convexe sur ⎡⎣0;+∞⎡

Convexité - Licence de mathématiques Lyon 1

Propriété 7 7 Une fonction f : I R est convexe si et seulement si pour tout a 2 I, la fonction a f est croissante sur I nf ag Exercice 7 8 Véri er que l'inégalité des pentes est équivalente au fait que pour tout a 2 I, la fonction a f est croissante sur I nf ag

Convexité en optimisation, convexité forte

Déﬁnition5:Fonction -elliptique Soit KˆV, un convexe Une fonction f : K R est dite fortement convexe ou uniformément convexe ou -convexe ou -elliptique s’ilexiste >0 telque,pour

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1CONVEXITÉ I. Fonction convexe et fonction concave Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. Fonction convexe Fonction concave Propriétés : - La fonction carré

x!x 2 est convexe sur . - La fonction cube x!x 3 est concave sur -∞,0 et convexe sur

0;+∞

. - La fonction inverse x! 1 x est concave sur -∞;0 et convexe sur

0;+∞

. - La fonction racine carrée x!x est concave sur

0;+∞

. - Admis - Notation : La dérivée d'une fonction dérivée f ' se note f ''. Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f''(x)≥0

pour tout x de I. - Admis -

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 Méthode : Etudier la convexité d'une fonction Vidéo https://youtu.be/8H2aYKN8NGE Soit la fonction f définie sur

par f(x)= 1 3 x 3 -9x 2 +4 . Etudier la convexité de la fonction f. Pour tout x de , on a f'(x)=x 2 -18x . Pour tout x de , on a f''(x)=2x-18 qui s'annule pour x=9

Pour tout x≥9

f''(x)≥0 f ' est donc strictement décroissante sur -∞;9 et donc f est concave sur -∞;9 . f ' est donc strictement croissante sur 9;+∞ et donc f est convexe sur 9;+∞

. II. Point d'inflexion Vidéo https://youtu.be/r8sYr6ToeLo Définition : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente en ce point. Remarque importante : Au point d'inflexion, la fonction change de convexité. Exemple : On considère la fonction cube

x!x 3 . La tangente au point O(0,0) est l'axe des abscisses. Pour , la courbe est en dessous de sa tangente. x≥0

, la courbe est au-dessus de sa tangente. La tangente à la courbe en O traverse donc la courbe. Le point O est un point d'inflexion de la courbe de la fonction cube. Méthode : Etudier la convexité pour résoudre un problème Vidéo https://youtu.be/_XlgCeLcN1k Une entreprise fabrique des clés USB avec un maximum de 10000 par mois. Le coût de fabrication C (en milliers d'euros) de x milliers de clés produites s'exprime par :

C(x)=0,05x

3 -1,05x 2 +8x+4

. 1) À l'aide de la calculatrice graphique, évaluer la convexité de la fonction C. En déduire si la courbe possède un point d'inflexion. 2) Démontrer ces résultats. 3) Interpréter les résultats obtenus. 1) La fonction semble concave sur l'intervalle [0 ; 7] et convexe sur l'intervalle [7 ; 10]. La courbe semble posséder un point d'inflexion pour

x=7 . 2)

C(x)=0,05x

3 -1,05x 2 +8x+4

C'(x)=0,15x

2 -2,1x+8

C''(x)=0,3x-2,1

0,3x-2,1=0

pour x=7 . On peut ainsi résumer les variations de C' et la convexité de C dans le tableau suivant : x

0 7 10

C''(x)

- 0 + C'(x) Convexité de C concave convexe

C(7)=25,7

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4Ainsi, le point de coordonnées (7 ; 25,7) est un point d'inflexion de la courbe. 3) Après le point d'inflexion, la fonction est convexe, la croissance du coût de fabrication C s'accélère. Avant le point d'inflexion, la fonction est concave, la croissance du coût de fabrication ralentie. Ainsi, à partir de 7000 clés produites, la croissance du coût de fabrication s'accélère. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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Fonctions convexes - Claude Bernard University Lyon 1

Fonctions convexes 1 Dimension 1 - Institut de Mathématiques

comment montrer qu une fonction est convexe ou concave - le

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Chapitre 11 : Fonctions convexes - lpsmparis

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Convexité en optimisation, convexité forte

0;+∞

0;+∞

0;+∞

Pour tout x≥9

C(x)=0,05x

C(x)=0,05x

C'(x)=0,15x

C''(x)=0,3x-2,1

0,3x-2,1=0

0 7 10

C''(x)

C(7)=25,7