Matrices nilpotentes, matrices trigonalisables, Leçon 157

Chapitre I Matrices nilpotentes, matrices trigonalisables, Leçon 157 I 1 ThéorèmedeLie-Kolchin [1,ExerciceIV-B6] OnnoteD(K) legroupedérivéd’ungroupeK,c’est-à-direlesous-groupe

Correction R - WordPresscom

1 (a) Montrer qu’une matrice A∈Mn(R) est non inversible si et seulement si elle est équivalente à une matrice nilpotente ⇐Supposons qu’il existe N∈Mntelle que A∼N Alors Rang A= Rang Ncar deux matrices équivalentes ont même rang, ⇒ Rang A6 n−1 parce que N/∈GLnet que une matrice non inversible est de rang 6 n−1,

TD 10 Matrices

Exercice 30 (**)Etude des matrices nilpotentesUne matrice N2M n(R) est dite nilpotente s’il existe p2N tel que Np = 0 1 Donner des exemples de telles matrices 2 Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut pas ^etre inversible 3 On suppose que Net Msont deux matrices nilpotentes qui commutent Montrer que N+ M et NMsont nilpotentes

Algèbre TD 1 Matrices v1

On dit qu’une matrice carrée est nilpotente lorsqu’il existe un ≥1 tel que = et qu’elle est unipotente lorsqu’il existe un entier ≥1 tel que = Soit ≥1 un entier et et deux matrices carrées (,) 1 Montrer que si " est nilpotente, " l’est aussi 2 Montrer que si " est unipotente, " l’est aussi

TD 13 Calcul matriciel - heb3org

Montrer qu’au plus une des trois est inversible Exercice 12 : [indications] On dit que A ∈ M3(K)est nilpotente lorsqu’il existe r ∈ N∗ tel que : Ar =0 M3(K) (Q 1) Montrer que A = 0 a b 0 0 c 0 0 0 est nilpotente (Q 2) Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut être inversible Exercice 13 : (Q 1) Soit M ∈ Mn(K)

Y j Y AGRÉGATIONINTERNEDEMATHÉMATIQUES Y j Y

On dira qu’une matrice est nilpotentes’il existe un entier l2N tel que Al = O Mn(K), on On va montrer ici que Aest nilpotente si et seulement si O Mn(C) 2 S

Réduction de matrices et endomorphismes

Le but de cet exercice est de montrer que Aest nilpotente, c'est à dire que : ∃k∈ N,Ak = 0 On considère l'application ψ : ˆ M n(R) −→ M n(R) M 7→ MB−BM 1- Montrer que ψest un endomorphisme de M n(R) et que : ∀k∈ N,ψ(Ak) = kAk Calculer la trace de A 2- Montrer que si An'est pas nilpotente, alors ψa une in nité de

Matrices - Lycée privé Sainte-Geneviève

(1b) Soit M une matrice carrée et I la matrice identité Peut-on exprimer simplement (I −M) Xd k=0 Mk? 2 Soit N une matrice nilpotente; ce qui signiﬁe qu’il existe p ∈N tel que Np = 0 Montrer que la matrice I −N est inversible et exprimer son inverse comme polynôme en N (càd comme c l des puissances de N)

Nilpotent et diagonalisable, je t’aime, moi non plus

Si M est une matrice p×p de trace nulle, M est semblable a une matrice a diagonale nulle On raisonne par r´ecurrence sur p Pour p = 1, il n´y a rien a faire On suppose la propri´et´e vraie jusqu´au rang p −1 Soit M une matrice p ×p de trace nulle Puisque la caract´eristique de Cest nulle, M n´est pas scalaire

Exo7 - Exercices de mathématiques

Soit A une matrice carrée de format n Montrer que A est nilpotente si et seulement si 8k 2[[1;n]], Tr(Ak)=0 Correction H [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension ﬁnie vériﬁant fg gf = f Montrer que f est nilpotent Correction H [005659] Exercice 10 ****

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