Matrices nilpotentes, matrices trigonalisables, Leçon 157
Chapitre I Matrices nilpotentes, matrices trigonalisables, Leçon 157 I 1 ThéorèmedeLie-Kolchin [1,ExerciceIV-B6] OnnoteD(K) legroupedérivéd’ungroupeK,c’est-à-direlesous-groupe
Correction R - WordPresscom
1 (a) Montrer qu’une matrice A∈Mn(R) est non inversible si et seulement si elle est équivalente à une matrice nilpotente ⇐Supposons qu’il existe N∈Mntelle que A∼N Alors Rang A= Rang Ncar deux matrices équivalentes ont même rang, ⇒ Rang A6 n−1 parce que N/∈GLnet que une matrice non inversible est de rang 6 n−1,
TD 10 Matrices
Exercice 30 (**)Etude des matrices nilpotentesUne matrice N2M n(R) est dite nilpotente s’il existe p2N tel que Np = 0 1 Donner des exemples de telles matrices 2 Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut pas ^etre inversible 3 On suppose que Net Msont deux matrices nilpotentes qui commutent Montrer que N+ M et NMsont nilpotentes
Algèbre TD 1 Matrices v1
On dit qu’une matrice carrée est nilpotente lorsqu’il existe un ≥1 tel que = et qu’elle est unipotente lorsqu’il existe un entier ≥1 tel que = Soit ≥1 un entier et et deux matrices carrées (,) 1 Montrer que si " est nilpotente, " l’est aussi 2 Montrer que si " est unipotente, " l’est aussi
TD 13 Calcul matriciel - heb3org
Montrer qu’au plus une des trois est inversible Exercice 12 : [indications] On dit que A ∈ M3(K)est nilpotente lorsqu’il existe r ∈ N∗ tel que : Ar =0 M3(K) (Q 1) Montrer que A = 0 a b 0 0 c 0 0 0 est nilpotente (Q 2) Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut être inversible Exercice 13 : (Q 1) Soit M ∈ Mn(K)
Y j Y AGRÉGATIONINTERNEDEMATHÉMATIQUES Y j Y
On dira qu’une matrice est nilpotentes’il existe un entier l2N tel que Al = O Mn(K), on On va montrer ici que Aest nilpotente si et seulement si O Mn(C) 2 S
Réduction de matrices et endomorphismes
Le but de cet exercice est de montrer que Aest nilpotente, c'est à dire que : ∃k∈ N,Ak = 0 On considère l'application ψ : ˆ M n(R) −→ M n(R) M 7→ MB−BM 1- Montrer que ψest un endomorphisme de M n(R) et que : ∀k∈ N,ψ(Ak) = kAk Calculer la trace de A 2- Montrer que si An'est pas nilpotente, alors ψa une in nité de
Matrices - Lycée privé Sainte-Geneviève
(1b) Soit M une matrice carrée et I la matrice identité Peut-on exprimer simplement (I −M) Xd k=0 Mk? 2 Soit N une matrice nilpotente; ce qui signifie qu’il existe p ∈N tel que Np = 0 Montrer que la matrice I −N est inversible et exprimer son inverse comme polynôme en N (càd comme c l des puissances de N)
Nilpotent et diagonalisable, je t’aime, moi non plus
Si M est une matrice p×p de trace nulle, M est semblable a une matrice a diagonale nulle On raisonne par r´ecurrence sur p Pour p = 1, il n´y a rien a faire On suppose la propri´et´e vraie jusqu´au rang p −1 Soit M une matrice p ×p de trace nulle Puisque la caract´eristique de Cest nulle, M n´est pas scalaire
Exo7 - Exercices de mathématiques
Soit A une matrice carrée de format n Montrer que A est nilpotente si et seulement si 8k 2[[1;n]], Tr(Ak)=0 Correction H [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg gf = f Montrer que f est nilpotent Correction H [005659] Exercice 10 ****
[PDF] montrer qu'une suite convergente est stationnaire
[PDF] montrer qu'une suite est arithmétique
[PDF] montrer qu'une suite est arithmétique méthode
[PDF] montrer qu'une suite est croissante exemple
[PDF] montrer qu'une suite est de cauchy exercice corrigé
[PDF] montrer qu'une suite est géométrique de raison
[PDF] montrer qu'une suite est géométrique exemple
[PDF] montrer qu'une suite est geometrique ts
[PDF] montrer qu'une suite est stationnaire
[PDF] montrer qu'une suite n'est pas géométrique
[PDF] Montrer que
[PDF] montrer que 2 vecteurs sont orthogonaux
[PDF] montrer que 3 points sont alignés complexe
[PDF] montrer que 3 points sont alignés géométrie dans l'espace
Exo7
Réduction
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1**SoitA=0
@1 2 2 2 1 22 2 11
A . Pournentier relatif donné, calculerAnpar trois méthodes différentes. @3 0 0 8 4 05 0 11
A @3 1 0 41 04 821 A 1.
Vérifier que An"est pas diagonalisable.
2.Déterminer K er(AI)2.
3. Montrer que Aest semblable à une matrice de la forme0 @a0 0 0b c 0 0b1 A 4.Calculer Anpournentier naturel donné.
Vérifier quefest un endomorphisme deR2n[X]puis déterminer les valeurs et vecteurs propres def.fest-il
diagonalisable ? etB=X4X.Vérifier quefest un endomorphisme deEpuis déterminer Kerf, Imfet les valeurs et vecteurs propres def.
Exercice 6***SoitAune matrice rectangulaire de format(p;q)etBune matrice de format(q;p). Comparer les polynômes
caractéristiques deABetBA. et quevest nilpotent. Montrer que det(u+v) =detu. Montrer queAest nilpotente si et seulement si8k2[[1;n]], Tr(Ak) =0. quefest nilpotent. Soientuetvdeux endomorphismes deEtels que9(a;b)2C2=uvvu=au+bv. Montrer queuetvont un vecteur propre en commun. 1.Montrer que (E;)est un groupe
2. Soit Aun élément deEtel que9p2N=Ap=I2. Montrer queA12=I2. A ACalculer detM. Déterminer les éléments propres deMpuis montrer queMest diagonalisable si et seulement si
Aest diagonalisable.
BBBB@0b:::b
a .........b a:::a01 C CCCA. 2Montrer que les images dans le plan complexe des valeurs propres deAsont cocycliques. (Indication : pour
calculercA, considérerf(x) =X+x b+x:::b+x
a+x......... .........b+x a+x:::a+xX+x 1.Montrer que 1 est v aleurpropre de A.
2.Soit lune valeur propre deA.
(a)Montrer que jlj61.
(b) Montrer qu"il e xisteun réel wde[0;1]tel quejlwj61w. Conséquence géométrique ? BBBB@0:::0 1
.........0 01 0:::01
C CCCAMontrer queAest diagonalisable.
BBBBBBB@0 1 0:::0
......0 0 ...11 0::: :::01
CCCCCCCA(de formatn>3). DiagonaliserJn.
2.En déduire la v aleurde
a0a1:::an2an1
a n1a0a1an2............ a2...a0a1
a1a2:::an1a0
31.Calculer det (Ps)pour touts2Sn.
2. (a)Montrer que 8(s;s0)2S2n,PsPs0=Pss0.
(b) On pose G=fPs;s2Sng. Montrer que(G;)est un groupe isomorphe àSn. 3.Soit A= (ai;j)16i;j6n2Mn(C). CalculerAPs.
4.T rouverles v aleurspropres d"une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme
: toute permutation se décompose de manière unique à l"ordre près des facteurs en produit de cycles à
supports disjoints). caractéristique est scindé surK.Montrer qu"il existe un couple d"endomorphismes(d;n)et un seul tel quedest diagonalisable,nest nilpotent
netf=d+n. a b:::b b a .........b b:::b a dansC.8x2R,(j(f))(x) =1x
R x0f(t)dtsix6=0 et(j(f))(0) =f(0).
1.Montrer que jest un endomorphisme deE.
2. Etudier l"injecti vitéet la surjecti vitéde j. 3.Déterminer les éléments propres de j.
que pourk2 f1;2;3g,fk=lku+mkv. Montrer quefest diagonalisable. 4 Exercice 26**IRésoudre dansM3(C)l"équationX2=0 @0 1 0 0 0 10 0 01
A Montrer quefetgsont simultanément trigonalisables. communes si et seulement si la matricecA(B)est inversible. inversible si et seulement siPetcfsont premiers entre eux. BB@1 1 0 0
0 1a00 0 1b
0 0 0 11
C CA. Peut-on trouver deux matrices distinctes semblables parmi les quatre matrices M0;0,M0;1,M1;0etM1;1?
BBBB@1 0:::0
2 n0:::01 C CCCA. BBB@0:::0a1.........
0:::0an1
a1:::an1an1
C CCAoùa1,...,ansontnnombres complexes (n>2).Aest-elle diagonalisable? parfdans chacun des cas suivants : 5 1.A=0 @1 11 1 1 11 1 11
A 2.A=0 @2 2 1 1 3 11 2 21
A 3.A=0 @66 5 41 1076 41
A @1 37 2 614 1 371 A
Commutant de
0 @1 01 1 2 12 2 31
AEstable parf. On suppose quefest diagonalisable. Montrer que la restriction defàFest un endomorphisme
diagonalisable deF. entier pair. Correction del"exer cice1 N1ère solution.A=2JI3oùJ=0 @1 1 1 1 1 11 1 11
A . On aJ2=3Jet plus généralement8k2N,Jk=3k1J. Soitn2N. Puisque les matrices 2JetIcommutent, la formule du binôme de NEWTONpermet d"écrire A n= (2JI)n= (I)n+nå k=1 n k (2J)k(I)nk= (1)nI+ nå k=1 n k 2 k3k1(1)nk! J = (1)nI+13 nå k=1 n k 6 k(1)nk!J= (1)nI+13
((61)n(1)n)J 13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A ce qui reste vrai quandn=0.Soit de nouveaun2N.
((1)nI+13 (5n(1)n)J)((1)nI+13 (5n(1)n)J) =I+13 ((5)n1+(5)n1)J+19 (1(5)n(5)n+1)J2 =I+13 ((5)n1+(5)n1)J+39 (1(5)n(5)n+1)J=I; et donc A n=13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 AFinalement
8n2Z,An=13
0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 A .2ème solution.Puisque rg(A+I) =1, dim(Ker(A+I)) =2 et1 est valeur propre deAd"ordre au moins2. La troisième valeur proprelest fournie par la trace :l11=3 et doncl=5. Par suite,cA=
(X+1)2(X5).De plus,0
@x y z1 A2E1,x+y+z=0 et doncE1=Vect(e1;e2)oùe1=0
@1 1 01 A ete2=0 @1 0 11 ADe même,
0 @x y z1 A2E1,x=y=zetE5=Vect(e3)oùe3=0
@1 1 11 AOn poseP=0
@1 1 1 1 0 1 01 11 A etD=diag(1;1;5)et on aA=PDP1.Calcul deP1. Soit(i;j;k)la base canonique deR3.
8 :e 1=ij e 2=ik e3=i+j+k,8
:j=ie1 k=ie2 e3=i+ie1+ie2,8
>:i=13 (e1+e2+e3) j=13 (2e1+e2+e3) k=13 (e12e2+e3) 7 et doncP1=13 0 @12 1 1 121 1 11
A . Soit alorsn2Z. A n=PDnP1=13 0 @1 1 1 1 0 1 01 11 A0 @(1)n0 00(1)n0
0 0 5 n1 A0 @12 1 1 121 1 11
A 13 0 @(1)n(1)n5n (1)n0 5n0(1)n5n1
A0 @12 1 1 121 1 11
A =13 0 @5n+2(1)n5n(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n+2(1)n5n(1)n 5 n(1)n5n(1)n5n+2(1)n1 Aet on retrouve le résultat obtenu plus haut, le calcul ayant été mené directement avecnentier relatif.