TD 10 Matrices

Chapitre I Matrices nilpotentes, matrices trigonalisables, Leçon 157 I 1 ThéorèmedeLie-Kolchin [1,ExerciceIV-B6] OnnoteD(K) legroupedérivéd’ungroupeK,c’est-à-direlesous-groupe

Correction R - WordPresscom

1 (a) Montrer qu’une matrice A∈Mn(R) est non inversible si et seulement si elle est équivalente à une matrice nilpotente ⇐Supposons qu’il existe N∈Mntelle que A∼N Alors Rang A= Rang Ncar deux matrices équivalentes ont même rang, ⇒ Rang A6 n−1 parce que N/∈GLnet que une matrice non inversible est de rang 6 n−1,

TD 10 Matrices

Exercice 30 (**)Etude des matrices nilpotentesUne matrice N2M n(R) est dite nilpotente s’il existe p2N tel que Np = 0 1 Donner des exemples de telles matrices 2 Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut pas ^etre inversible 3 On suppose que Net Msont deux matrices nilpotentes qui commutent Montrer que N+ M et NMsont nilpotentes

Algèbre TD 1 Matrices v1

On dit qu’une matrice carrée est nilpotente lorsqu’il existe un ≥1 tel que = et qu’elle est unipotente lorsqu’il existe un entier ≥1 tel que = Soit ≥1 un entier et et deux matrices carrées (,) 1 Montrer que si " est nilpotente, " l’est aussi 2 Montrer que si " est unipotente, " l’est aussi

TD 13 Calcul matriciel - heb3org

Montrer qu’au plus une des trois est inversible Exercice 12 : [indications] On dit que A ∈ M3(K)est nilpotente lorsqu’il existe r ∈ N∗ tel que : Ar =0 M3(K) (Q 1) Montrer que A = 0 a b 0 0 c 0 0 0 est nilpotente (Q 2) Montrer qu’une matrice nilpotente ne peut être inversible Exercice 13 : (Q 1) Soit M ∈ Mn(K)

Y j Y AGRÉGATIONINTERNEDEMATHÉMATIQUES Y j Y

On dira qu’une matrice est nilpotentes’il existe un entier l2N tel que Al = O Mn(K), on On va montrer ici que Aest nilpotente si et seulement si O Mn(C) 2 S

Réduction de matrices et endomorphismes

Le but de cet exercice est de montrer que Aest nilpotente, c'est à dire que : ∃k∈ N,Ak = 0 On considère l'application ψ : ˆ M n(R) −→ M n(R) M 7→ MB−BM 1- Montrer que ψest un endomorphisme de M n(R) et que : ∀k∈ N,ψ(Ak) = kAk Calculer la trace de A 2- Montrer que si An'est pas nilpotente, alors ψa une in nité de

Matrices - Lycée privé Sainte-Geneviève

(1b) Soit M une matrice carrée et I la matrice identité Peut-on exprimer simplement (I −M) Xd k=0 Mk? 2 Soit N une matrice nilpotente; ce qui signiﬁe qu’il existe p ∈N tel que Np = 0 Montrer que la matrice I −N est inversible et exprimer son inverse comme polynôme en N (càd comme c l des puissances de N)

Nilpotent et diagonalisable, je t’aime, moi non plus

Si M est une matrice p×p de trace nulle, M est semblable a une matrice a diagonale nulle On raisonne par r´ecurrence sur p Pour p = 1, il n´y a rien a faire On suppose la propri´et´e vraie jusqu´au rang p −1 Soit M une matrice p ×p de trace nulle Puisque la caract´eristique de Cest nulle, M n´est pas scalaire

Exo7 - Exercices de mathématiques

Soit A une matrice carrée de format n Montrer que A est nilpotente si et seulement si 8k 2[[1;n]], Tr(Ak)=0 Correction H [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension ﬁnie vériﬁant fg gf = f Montrer que f est nilpotent Correction H [005659] Exercice 10 ****

Lycee Janson de Sailly Annee 2020-2021

ECS1 TD 10

Matrices1. Calculs elementaires sur les matrices

Exercice 1.(*)

Calculer les produitsLCetCL, avecL=1 2 3etC=0

@3 0 11 A

Exercice 2.(*)

Soit (A;B)2 Mn(R)2:Developper et simplierS= (2A)(3B)(A+ 2B)2+ (AB)(A+B) etT= (A+B)(2A22B)2A2(A+B) + (A+B)2.

Exercice 3.(*)

On considere les matricesA=1 2

21
,B=2 0 1 3

CalculerAB,tA;tBettBtA. Verier quet(AB) =tBtA

Exercice 4.(**)

Pour les matrices suivantes, calculer lorsque c'est possible le produitABet le produitBA

1.A=3 0

12 etB=0 @1 2 01 5 81 A

2.A=2 1 7etB=0

@1 0 51
A

3.A=5 1

12 etB=tA4.A=0 @3 0 1 1 3 0

0 1 31

A etB=A.

Exercice 5.(*)

Pour les matrices suivantes, calculer les produitsABetBA. Conclusion?

1.A=4 3

5 4 etB=43 5 4 2.A=0 @2 1 0 1 1 2 1 111 A etB=0 @312 3 2 4 0 111 A

Exercice 6.(**)

On poseA=1 2 1

3 4 5 ,B=0 @14 2 3 0 1

6 5 71

A etC=0 @12 2 3 0 21 A Calculer lorsque cela est possible les produits matriciels :AB,BA,AC,CA,BCetCB.

Exercice 7.(**)

1. D eterminerles matrices carr eesde taille 3 qui comm utenta vecdi ag(1;2;3). 2. Soien tetdeux reels tels que6=. Determiner les matrices carrees de taille 3 qui com- mutent avecdiag(;;). 3. D eterminerles matrices (carr eesde taille n) qui commutent avec diag(1;2;:::;n). 1

Exercice 8.(*) On considere les matricesA=1 3

2 5 ,B=2 2 0 4 etC=2 0 74
1. Calculer A+B, 2AB,AB,BA, puis 3(A2B) + 2(3B+C)(2A+C): 2.

R esoudrel' equationA3X= 2Bd'inconnueX2 M2(R):

Exercice 9.-Un p eude th eoriesur les op erationsmatricielles. Soitn2N, et A et B deux matrices deMn(R) dont tous les coecients sont positifs ou nuls. 1. Mon trerque les co ecientsde A+Bsont tous positifs ou nuls. 2. Mon trerque les co ecientsde ABsont tous positifs ou nuls. 3.

Mon trerque les co ecientsde

tAtBsont tous positifs ou nuls. 4. Mon trerque les co ecientsde Asont tous positifs ou nuls si >0.2. Calculs de puissances

Exercice 10.(**)Puissance de matrice : m ethode1

Objectif : calculer les premieres puissances d'une matrice en conjecturant une formule a l'aide des premieres puissances.

SoitA=0

@1 1 1 0 2 0

0 0 11

A 1. Calculer les premi erespuissances de A(a partir de 2) et en deduire une conjecture pour l'ex- pression deAn, pour tout entiern2N. 2.

D emontrerce r esultatpar r ecurrence.

Exercice 11.(**)

CalculerAnpour toutn2N:

A=11 1 1 ; A=a b 0a ; A=0 @1 1 1 1 1 1

1 1 11

A Exercice 12.(**) On appelleJnla matrice de taillendont tous les coecients sont des 1. Calculer J knpour toutk2N. Exercice 13.(**)Puissances d'une matrice : m ethode2 Objectif : calculer les puissances de la somme d'une matrice nilpotente et d'une ho- mothetie. 1.

Soit T=0

@1 2 3 0 1 2

0 0 11

A etN=TI3(on a doncT= I3+N). (a)

Calculer Nkpour tout entier naturelk.

(b) En d eduireTka l'aide de la formule du bin^ome de Newton, dont on justiera l'emploi. 2. Reprendre la m ethodepr ecedentep ourcalc ulerUkpour tout entier naturelk, avecU= 2I3+N. 3.

Reprendre la m ethodepr ecedentep ourcalculer 0

B@1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 11

C CAn pour tout entier natureln. 2

Exercice 14.(**) SoitB=0

@2 1 2 0 2 3

0 0 21

A . Trouver l'expression deBnpournentier naturel. Exercice 15.(**) -M ethode2 : g eneralisonsun p eu!

SoitC=0

@3 1 1 1 3 1

1 1 31

A . Trouver l'expression deBnpour tout entier natureln.

Exercice 16.(***)

SoitDla matrice de taillendont tous les coecients sont egaux aa2Rsauf ceux de la diagonale qui sont egaux ab2R. CalculerDkpour toutk2N.

Exercice 17.(**)

Soientn2Netp2N.

1. Simplier p ourtout A2 Mn(R) l'expression : (InA)pX k=0A k 2. Soien tA;B2 Mn(R) deux matrices qui commutent, simplier (AB)pX k=0A kBpk.

Exercice 18.(**)

Soient les deux matricesA=1 1

11 etB=6 5 54
1.

Calculer A2et en deduireAnpour toutn2N.

Exprimer Ben fonction deAetI2.

En d eduirela v aleurde Bnpour toutn2N.

Exercice 19.(**)

On considere la matriceA=0

@1 0 0 65 6
33 41
A 1. Mon trerque p ourtout en tiern2N, il existe un reelantel queAn=0 @1 0 0

2an12an2an

a nanan+ 11 A 2. Mon trerque la suite aest arithmetico-geometrique. En deduireanen fonction denpuis donner l'expression deAnen fonction den.3. Inverses de matrices

Exercice 20.(*)

Determiner si les matrices suivantes sont inversibles et, le cas echeant, calculer leurs inverses : A 1=1 4 0 2 ; A 2=1 2 3 4 3

Exercice 21.(**)

Calculer l'inverse des matrices carrees suivantes : A=0 @1 0 1 21 1
1 111 A B=0 @1 11 2 0 1 2 111 A C=0 @2 0 1 1 1 1

1 0 11

Exercice 22.(***)

Justier queA=0

Bquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

[PDF] TD 10 Matrices

Lycee Janson de Sailly Annee 2020-2021

Matrices1. Calculs elementaires sur les matrices

Exercice 1.(*)

Calculer les produitsLCetCL, avecL=1 2 3etC=0

Exercice 2.(*)

Exercice 3.(*)

On considere les matricesA=1 2

CalculerAB,tA;tBettBtA. Verier quet(AB) =tBtA

Exercice 4.(**)

1.A=3 0

2.A=2 1 7etB=0

3.A=5 1

0 1 31

Exercice 5.(*)

1.A=4 3

Exercice 6.(**)

On poseA=1 2 1

6 5 71

Exercice 7.(**)

Exercice 8.(*) On considere les matricesA=1 3

R esoudrel' equationA3X= 2Bd'inconnueX2 M2(R):

Mon trerque les co ecientsde

Exercice 10.(**)Puissance de matrice : m ethode1

SoitA=0

0 0 11

D emontrerce r esultatpar r ecurrence.

Exercice 11.(**)

CalculerAnpour toutn2N:

1 1 11

Soit T=0

0 0 11

Calculer Nkpour tout entier naturelk.

Reprendre la m ethodepr ecedentep ourcalculer 0

B@1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 11

Exercice 14.(**) SoitB=0

0 0 21

SoitC=0

1 1 31

Exercice 16.(***)

Exercice 17.(**)

Soientn2Netp2N.

Exercice 18.(**)

Soient les deux matricesA=1 1

Calculer A2et en deduireAnpour toutn2N.

Exprimer Ben fonction deAetI2.

En d eduirela v aleurde Bnpour toutn2N.

Exercice 19.(**)

On considere la matriceA=0

2an12an2an

Exercice 20.(*)

Exercice 21.(**)

1 0 11

Exercice 22.(***)

Justier queA=0