Feuille 5 : Arithm´etique - Claude Bernard University Lyon 1
Exercice 1 Montrer que pour tout n 2 N : 1 n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24, 2 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120 Exercice 2 D´eterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 35 et ppcm 210 Exercice 3 D´eterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360 De mˆeme avec pgcd 18 et produit 6480
Soit n N n 1 2n 1
lui-m^eme Par exemple 6 est parfait : 6 =1+2+3 Montrer que si 2n+1 −1 est un nombre premier alors 2 n(2 +1 −1) est parfait Culturel : Ce r esultat est d ej a dans les el ements d’Euclide La r ecip est vraie : un nombre parfait pair est toujours de la forme pr ec edente, c’est un r esultat du^ a Euler 1
n IN ; 2
a) Le nombre 4 3 n 4n est divisible par 5 quel que soit n de IN b) Le nombre 3 2 n 2n est divisible par 7 quel que soit n de IN c) Le nombre 3 5 2 n 1 2 3 n 1 est divisible par 17 quel que soit n de IN Exercice Maths-inter ma 4 Montrer par récurrence que pour tout n de IN a) Le nombre 4 n 15 n 1 est divisible par 9 quel que soit n de IN
Exercice 1 : D ur
c) D eterminer l’ensemble des entiers n tels que (n 1)(2n + 1) divise (n + 3)(n2 + 2n 2) Exercice 2 : Les parties 1, 2 et 3 sont ind ependantes 1 a) Montrer que pour tout n 2N; (9n 1) est divisible par 8 b) En d eduire que pour tout n 2N; (32n+1 3) est divisible par 8 c) D eterminer alors le reste de la division euclidienne de 32015 et
EXERCICES - bagbouton
2) Montrer que pour tout entier non nul, 322nn est divisible par7 EXERCICE 2 : Déterminer tous les couples d’entiers naturels a et b tels que ab 1 18 2 EXERCICE 3 : Soit n un entier naturel 1) Montrer que si n est pair alors n2 est pair 2) Montrer que si est impair alors est impair 3) En déduire que est pair si et seulement si est pair et
L1 - PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES)
1n det(A1n) où A1i est la matrice 5 2 7 2 5 5 est aussi divisible par 17 En effet, montrer que det(λA) =
Notion d’arithmétique et l’Ensemble des nombres entiers
Montrer que si est impair alors a2 est un nombre impair Solution : est impair alors : ak 21 avec a k k k k k2 2 2 u u 2 1 2 2 2 1 1 4 4 1 2 Donc : a k k k22 2 2 1 2 1 cc avec 2 k k k 2 cc Donc : et est un nombre impair Exercice : est un nombre impair Montrer que si est impair alors a est un nombre impair Solution : on suppose que est pair alors
Exercice 1 n N n
On veut montrer que P(n+1) est vraie Cela revient a se donner un ensemble V quelconque de n+1 vaches, et a montrer que toutes les vaches dans V ont m^eme couleur (iii) Pour montrer cela, il su t de montrer que pour tout couple (v 1;v 2) d’ el ements de V , v 1 et v 2 ont m^eme couleur Soit donc un tel couple (v 1;v 2) ∈V 2
Planche no 2 Raisonnement par récurrence : corrigé
On a montré par récurrence que : ∀n>4, n>n2 Exercice no 3 Montrons par récurrence que : ∀n>2, nest divisible par au moins un nombre premier • 2est divisible par 2qui est un nombre premier La propriété à démontrer est donc vraie quand n=2 • Soit n>2 Supposons que pour tout k∈ J2,nK, kest divisible par au moins un nombre
[PDF] Montrer que pour tout entier c : =1
[PDF] montrer que q est dénombrable
[PDF] montrer que racine de 3 est irrationnel
[PDF] montrer que racine de n est irrationnel
[PDF] montrer que se sont des rationnels
[PDF] montrer que si x appartient ? l'intervalle
[PDF] montrer que x appartient ? un intervalle
[PDF] montrer que xn 1 axn
[PDF] Montrer que y=
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[PDF] montrer une inégalité avec valeurs absolues
Universit´eClaudeBernardLyon1UEFondam entauxdesMath´em atiquesI
Semestred'automne2016-2017
Feuille5:Arithm´eti que
Exercice1Montrerquepourtoutn2N:
1.n(n+1)( n+2)( n+3)e std ivisiblep ar24,
2.n(n+1)( n+2)( n+3)( n+4)e std ivisible par120.
Exercice2 D´eterminerlescouplesd'entiersnatu relsdepgc d35etppcm210. Exercice3D´eterminerlescouplesd'entiersnatu relsdepgcd 18etdesomme360.Demˆeme avecpgcd18 etprod uit6480.Exercice4Calculerlepgcdde48et210,et de81et 237.Danschaque casexpr ime rl'id ent it´ede B´ezout .
Exercice5Calculerparl'algorithmed' Euclid elepgcdde18480et9828.End´eduireune ´ecriturede84 commecombinaison lin´eairede18480et9828. Exercice6Trouvertouteslessolu tionsdessyst`em essuivants dansZ 2 (a)58x+21y=1(b)14x+35y=21( c)637x+595y=29Exercice7Notonsa=1 111111111etb=123456 789.
1.Cal culerlequotientetlere stedel adivisioneuclidienned eaparb.
2.Cal culerp=pgc d(a,b).
3.D´ eterminerdeuxentiersrelatifsuetvtelsqueau+bv=p.
Exercice9Combien15!admet-ilded ivi seursdansN?
Exercice10D´emontrerque,siaetbsontdesent ierspremi ersentreeux,ilenestd emˆemedesentiers a+betab. Exercice11Soienta,bdesentie rssup´erieursou´egaux`a1. Montrer: 1.(2 a 1)|(2 ab 1); 2.2 p1pr emier)ppremier;
3.p gcd(2
a 1,2 b 1)=2 pgcd(a,b) 1. Exercice12Montrerquesinestunenti ernatur elsommededeuxcarr´e sd'entiersalorslere stedela divisioneuclidiennede npar4n' est jamais´egal`a3.Exercice13D´emontrerquelenombre7
n +1estd ivisiblep ar8sinestimpair ;danslecasnpair,donner lerest edesadivisionpar8. Exercice14Trouverlerestedela divisi onpar13dunombre100 1000Exercice15Trouvertouteslessolut ionsdusyst`emes uivantdansZ: n⌘13(m od19) n⌘6(m od12). 1 Exercice16SoitXl'ensembledesnombrespremiersde laforme4k+3aveck2N.
1.Mon trerqueXn'estpasvide.
2.Mon trerqueleproduitd enombresde laforme 4k+1e ste ncoredecet teforme.
3.On suppose queXestfinieton l'´ecrital orsX={p
1 ,...,p nSoita=4p
1 p 2 ...p n1.Mon trerparl'absurdeque aadmetundivis eurpre mierdelaforme4k+3.
4.Mon trerquececiestimpos sibleetd oncqueXestinfini.
Exercice17Soitn2N,n2.
1.Mon trerquen
2 ⌘1(m od8)sinestimpair.2.Mon trerquen
2 ⌘0(m od8)oun 2 ⌘4(m od8)sinestpair.3.Soi enta,b,ctroisentiersi mpairs.
i)D´ eterminerlerestemodulo8dea 2 +b 2 +c 2 etcelui de(a+b+c) 2 .End´eduirelerestemodulo8de 2(ab+bc+ca).
ii)Existe- ilunentierm2Ntelquem 2 =ab+bc+ca?Exercice18
Soita2Ntelquea
n +1s oit premier.M ontrerquenestdelafor men=2 k pourunent ier k2N.Qu epenserde laconjecture:2 2 n +1e stp remierpour toutentiern2N?Exercice19
Soitpunnomb repremier.
1.Mon trerque
p i estdivisi bleparppourtouti2J1,p1K.2.Mon trerparr´ecurencequ epourt outa2N
,l'entiera p aestdivis ibleparp.Exercice20
1.Mon trerparr´ecurrenceq uepour toutn2Netk2N
ona: 2 2 n+k 1= 2 2 n 1 k1 Y i=0 2 2 n+i +12.On poseF
n =2 2 n +1.M ontr erquepourm6=n,F n etF m sontpremi ersentreeux.3.E nd´edu irequ'ilyauneinfinit´ede nombrespremiers.
Exercice21Donnerlavaleuren basedix desnombressuivan ts:1.(110101001)
22.(110101001)
33.(1367)
84.(1402)
5Exercice22
Ecrirelesnombressui vants(donn ´esenbasedix)danslab asecibleindiqu´ee.1.255e nbas edeux;
2.1907e nbas eseize ;
3.2016e nbas esept;
4.2000e nbas edeuxm ille.
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Feuille5:Arithm´eti que
Exercice1Montrerquepourtoutn2N:
1.n(n+1)( n+2)( n+3)e std ivisible par24,
2.n(n+1)( n+2)( n+3)( n+4)e std ivisible par120.
Solution
1.24= 2·3·4.De quatre nombrescons´ecuti fs,unestdivisible par2etunautrepar4,puisqueles
r´esidusmodulo4sont0,1,2et 3.Leurproduitestdoncd ivi siblepar8. Dem ˆem e,d etroisn omb res cons´ecutifs,unestdivisiblepartrois.C omme8et 3sontpremi ersentreeux,leproduitestd ivisib le par24.2.120 =24·5.Les r´esid usmodulo5decinqnombrescon ´scutifssont0,1,2,3et 4.Il yenadon cunequi
estdivis ibleparcinq.Comme5et24sontprem iersen treeux,leprodu itdecinqnombr esc ons´ec uti fs estdivisi blepar120. Exercice2 D´eterminerlescouplesd'entiersnatu relsdepgc d35etppcm210.Solution
Soientaetblesdeuxn ombres.Alorsa=35a
0 etb=35b 0 ,pgc d(a 0 ,b 0 )=1eta 0 b 0 21035
=6=2·3.Alor son acom mesolutionpour( a 0 ,b 0 ):(1,6),(2,3),(3,2)et (6,1).Cequ idonnel essolutions (35,210),(70,105), (105,70)e t(210,35). Exercice3D´eterminerlescouplesd'entiersnatu relsdepgcd 18etdesomme360.Demˆeme avecpgcd18 etpro duit6480.
Solution
1.Soi entaetblesdeuxnom bres.Alorsa=18a
0 etb=18b 0 ,pgc d(a 0 ,b 0 )=1eta 0 +b 0 36018 =20.I lfau t donc´ecri re20comesommededeuxentie rs premierse ntreeux.Ilsn epeuv entpasˆetredi visiblespar
2ou5, ceq uid onneles solutions( 1,19),(3,17),(7,13)et (9,11)pou r(a
0 ,b 0 )ou( b 0 ,a 0 ),soit( 18,342), (54,306),(126,234)et (162,198)pou r(a,b)ou( b,a).2.Soi entaetblesdeuxn ombres.Alorsa=18a
0 etb=18 b 0 ,pgc d(a 0 ,b 0 )=1eta 0 b 0 =6480= 18 2·4·5.
Alorsonacomme solu tion pour(a
0 ,b 0 )ou( b 0 ,a 0 ):(1,20)et (4,5),cequ idonnel essolutions (18,360), (72,90)pou r(a,b)ou( b,a).Exercice4Calculerlepgcdde48et210,etd e81et237. Danschaquec asexpri mer l'ide nti t´edeB ´ezout.
Solution
1.On a210=48·4+18 ;48= 18·2+12 ;18= 12+6;12= 6·2.Ain sipgcd(210,48)=6.
Onremon te:6=1812=18 (4818·2)=18 ·348=( 21048·4)·348=210 ·348·13.2.On a237=81·2+75 ;81= 75+6;75= 6·12+3 ;6= 3·2.Ain sipgcd(237,81)=3.
Onremon te:3=756·12=75 (8175)·12= 75·1381·12=( 23781·2)·1381·12=237 ·1381·38.
Exercice5Calculerparl'algorithmed' Euclid elepgcdde18480et9828.End´eduireune ´ecriturede84 commecombinaison lin´eairede18480et9828.Solution
Ontrav ailleavecdesr´esidusdeval eurabsoluemini male.Ona18480 =9828·21176;9828=1176·8+420;1176=420 ·384;420=84·5.D oncpgcd(18480,9828)=84. On rem onte:
84=420 ·31176=( 98281176·8)·31176=9828 ·31176·25=9828 ·3(9828·218480)·25=
18480·259828·47.
Exercice6 Trouvertouteslessolu tionsdessyst`em essuivants dansZ 2 (a)58x+21y=1(b)14 x+35y=21( c)637x+595y=29Solution
11.On a58=21·35;21=5·4+1. Donc pgcd (58,21)=1 eti lya unesolu tion.On re mont e:
1=21 5·4=21 (21·358)·4=58 ·421·11.Les solution ssont(x,y)2{(4+21n,1158n):n2Z}.
2.On a35=7·5et 14=7·2.Ain sipgcd(35,14)=7 ;com me7|21il yaune solu tion .Endivisan tpar
7,le syst` emeest´equivalent`a2x+5y=3.Un esol utions ´evidenteest(4,1).Less olutions sontdonc
(x,y)2{(4+5 n,12n):n2Z}.3.On a637=595+ 42;595 =42·14+7;42=7·6.Don cpgcd(637,595)=7 ;com me7-29il n'yap as
desolut ion.Exercice7Notonsa=1111 111111etb=123456 789.
1.Cal culerlequotientetlere stedel adivisioneuclidienned eaparb.
2.Cal culerp=pgc d(a,b).
3.D´ eterminerdeuxentiersrelatifsuetvtelsqueau+bv=p.
Solution
1.10bb=1111 101.Donc1111111111 =123456789·9+10.
2.p=pgc d(1111111111,123456789)=pgcd( 123456789 ,10)= 1,pu isq ue123456789estdivisibleni
par2nip ar5.3.On a1=10·12345679123456789=(1111111111 123456789·9)·12345679123456789
=1111 111111·12345679123456789·111111112.Onadonc u=12 345679etv=111111112.
Solution
Ondiv isepar45:Lesyst`emees t´equ ival ent `a37 x+23y=1. Ona 37=23·29;23=9·2+5;9=5·21. Doncpgcd(37 ,23)=1 eti lya unesolu tion.On re mont e:1=5·29=( 239·2)·29=23 ·29·5=23 ·2(23·237)·5= 37·523·8.Les soluti onssont
donc(x,y)2{(5+23n,837n):n2Z}.Exercice9Combien15!admet-ildedi vi seursdansN?
Solution
Ond´ec ompose15!enfacteurspremiers. Onc onstateai s´ementquesesfacteurs serontexactement2,3,5,7,11,13.
De1`a15, ily a7nombr esp airs.D onc2 appar aˆı taumoins7fois.Ilyaaus si3multiplesde2 2 =4.D onc2app araˆıt3foisdeplus(aumoin s10f ois).Ilyaau ssi1mu ltiplede2
3 =8.D onc2 apparaˆıt1f oisd eplus(aumoins 11fois).Iln'y apas demultiplesdep lusgrand espuissanc es de2.Donc 2apparaˆ ıtexactement
11foi s.Onfaitdemˆ emeave c3:ilya5m ultip lesde3,1seulmult iplede3
2 =9,e tpas depuis sancepl usgrande,donc3apparaˆı texacteme nt6 fois.Avecceraisonnement, 5apparaˆıtexactement3fois,7appar aˆı t
exactement2fois,11et13apparaˆıss ent exactement1foi sc hacun.