Feuille 5 : Arithm´etique - Claude Bernard University Lyon 1
Exercice 1 Montrer que pour tout n 2 N : 1 n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24, 2 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120 Exercice 2 D´eterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 35 et ppcm 210 Exercice 3 D´eterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360 De mˆeme avec pgcd 18 et produit 6480
Soit n N n 1 2n 1
lui-m^eme Par exemple 6 est parfait : 6 =1+2+3 Montrer que si 2n+1 −1 est un nombre premier alors 2 n(2 +1 −1) est parfait Culturel : Ce r esultat est d ej a dans les el ements d’Euclide La r ecip est vraie : un nombre parfait pair est toujours de la forme pr ec edente, c’est un r esultat du^ a Euler 1
n IN ; 2
a) Le nombre 4 3 n 4n est divisible par 5 quel que soit n de IN b) Le nombre 3 2 n 2n est divisible par 7 quel que soit n de IN c) Le nombre 3 5 2 n 1 2 3 n 1 est divisible par 17 quel que soit n de IN Exercice Maths-inter ma 4 Montrer par récurrence que pour tout n de IN a) Le nombre 4 n 15 n 1 est divisible par 9 quel que soit n de IN
Exercice 1 : D ur
c) D eterminer l’ensemble des entiers n tels que (n 1)(2n + 1) divise (n + 3)(n2 + 2n 2) Exercice 2 : Les parties 1, 2 et 3 sont ind ependantes 1 a) Montrer que pour tout n 2N; (9n 1) est divisible par 8 b) En d eduire que pour tout n 2N; (32n+1 3) est divisible par 8 c) D eterminer alors le reste de la division euclidienne de 32015 et
EXERCICES - bagbouton
2) Montrer que pour tout entier non nul, 322nn est divisible par7 EXERCICE 2 : Déterminer tous les couples d’entiers naturels a et b tels que ab 1 18 2 EXERCICE 3 : Soit n un entier naturel 1) Montrer que si n est pair alors n2 est pair 2) Montrer que si est impair alors est impair 3) En déduire que est pair si et seulement si est pair et
L1 - PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES)
1n det(A1n) où A1i est la matrice 5 2 7 2 5 5 est aussi divisible par 17 En effet, montrer que det(λA) =
Notion d’arithmétique et l’Ensemble des nombres entiers
Montrer que si est impair alors a2 est un nombre impair Solution : est impair alors : ak 21 avec a k k k k k2 2 2 u u 2 1 2 2 2 1 1 4 4 1 2 Donc : a k k k22 2 2 1 2 1 cc avec 2 k k k 2 cc Donc : et est un nombre impair Exercice : est un nombre impair Montrer que si est impair alors a est un nombre impair Solution : on suppose que est pair alors
Exercice 1 n N n
On veut montrer que P(n+1) est vraie Cela revient a se donner un ensemble V quelconque de n+1 vaches, et a montrer que toutes les vaches dans V ont m^eme couleur (iii) Pour montrer cela, il su t de montrer que pour tout couple (v 1;v 2) d’ el ements de V , v 1 et v 2 ont m^eme couleur Soit donc un tel couple (v 1;v 2) ∈V 2
Planche no 2 Raisonnement par récurrence : corrigé
On a montré par récurrence que : ∀n>4, n>n2 Exercice no 3 Montrons par récurrence que : ∀n>2, nest divisible par au moins un nombre premier • 2est divisible par 2qui est un nombre premier La propriété à démontrer est donc vraie quand n=2 • Soit n>2 Supposons que pour tout k∈ J2,nK, kest divisible par au moins un nombre
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