TD2 - Techniques de Multiplication

LEMAZURIER) Multiplications, 7, Latechnique&de&multiplication& & Latechnique&de&multiplication&égyptienne&acomme&principal&intérêt&qu’ellenenécessite aucune

Séance n 2 : Autour de la multiplication et de l

Cette méthode peut s'avérer particulièrement fastidieuse si le multiplicateur est grand Alors peut-on faire mieux? Oui si on sait diviser par deux (ce qui s'avèrerait très facile si on traaillaitv en base 2), et multiplier par deux (ce qui revient à une simple addition) C'est la méthode de la multiplication égyptienne

ATELIER 1 : Le CALCUL CHEZ LES ÉGYPTIENS

(multiplication par tableau) pour comprendre la technique de multiplication par jalousie Manipulation et APPLICATION : La multiplication par jalousie 1 En utilisant la méthode de multiplication par jalousie, CALCULE 158 x 36 et 954 x 234 Recherche Panneau 9 : Les techniques par tableau 2

Introduction

Calcule avec cette méthode en utilisant la calculatrice et en construisant une « fenêtre » : 10 328 277 _ 8 665 429 C Multiplication égyptienne « Un peu d’histoire » : La technique présentée ci-dessous était employée par les commerçants du Nil quelques siècles avant J C

THEME - académie de Caen

nombres situés à droite Il suffit de barrer, dans la colonne de droite les nombres qui se trouvent en face d'un nombre pair, puis d'additionner les nombres restants MULTIPLICATION EGYPTIENNE Les Egyptiens utilisaient, il y a plus de 4000 ans, une méthode de multiplication qui ne faisait appel qu'au calcul du double d'un nombre

Les abaques, outils de numération et de calcul

C'est notamment le cas pour la multiplication Voici quelques-uns de ces procédés manuels Ils ont en commun l'utilisation minimale, voire nulle des tables de multiplication a) La multiplication égyptienne Il s'agit d'une méthode écrite utilisant uniquement l'addition et la duplication, datant de presque 4 000 ans

Une histoire de mathématiques à écouter sur hist-mathfr 0 L

Une variante de la multiplication égyptienne consiste à calculer le développement en base 2 par divisions successives, comme vous le voyez dans la colonnedegauche C’estl’algorithmequ’ontrouveunpeupartoutsous le nom de «multiplication du paysan russe» ou «multiplicationéthiopienne» Onlitquecettemul-

I - LÉgypte antique

Expliquez la méthode et proposez des divisions à votre voisin (pas trop compliquées ) e les fractions égyptiennes D’après la religion égyptienne, le dieu Horus (à tête de Faucon) se battit contre son oncle Seth Au cours du combat, Seth arracha un œil à Horus, le coupa en six et jeta les morceaux à travers l’Égypte

LE CALCUL ECRIT : TOUTE UNE HISTOIRE

Multiplication russe Il s’agit d’une variante de la méthode égyptienne, qui semble avoir été utilisée par les paysans peu lettrés de Russie jusqu’au début du XX e siècle : A la découverte d’autres techniques de multiplication Ou encore : 236 x 37 = (236 x 36) + 236 = (472 x 18) + 236 = (944 x 9) + 236 = (944 x 8) + 944 + 236

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FICHE TD 2 (27 PAGES) TECHNIQUES DE MULTIPLICATIONS A TRAVERS LE MONDE ET LE TEMPS...

LEMAZURIERMultiplications SOMMAIRE : INTRODUCTION ......................................................................................................... 3 I- LA METHODE EGYPTIENNE .................................................................................. 4 LE PAPYRUS DE RHIND ............................................................................................. 4 LA NUMERATION HYEROGLYPHIQUE EGYPTIENNE............................................................... 5 LA TECHNIQUE DE MULTIPLICATION .............................................................................. 7 II- LA METHODE RUSSE ............................................................................................. 10 III- LA METHODE CHINOISE ....................................................................................... 11 REPRESENTATION DES CHIFFRES CHEZ LES CHINOIS ............................................................ 11 ET 0 ALORS ? .......................................................................................................... 13 LA TECHNIQUE DE LA MULTIPLICATION ......................................................................... 14 IV- TCHOU LE CHINOIS ............................................................................................. 18 V- LA METHODE " PER GELOSIA » ........................................................................... 23 HISTORIQUE ........................................................................................................... 23 LA TECHNIQUE DE LA MULTIPLICATION ........................................................................... 24 VI- LA METHODE MODERNE ....................................................................................... 26 VII- LA METHODE DU NOUVEAU MILLENAIRE ............................................................... 27

LEMAZURIERMultiplications INTRODUCTION : Le but de ce T.D. est de vous faire découvrir plusieurs techniques de multiplications à travers les âges et à travers le monde. Il est évident que la pratique des mathématiques a évolué selon les époques mais aussi à travers les différentes découvertes. L'Histoire des Mathématiques est marquée par deux grands groupes de Mathématiciens : ceux qui cherchaient à expliquer des concepts très complexes et abstraits et d'autres qui visaient à simplifier des travaux du quotidien. Dans ce document, je vous présente des méthodes de multiplications utilisées à travers les âges selon différents peuples, pour le commerce ou tout autres activités reliées aux chiffres et aux quantités. Bonne découverte...

LEMAZURIERMultiplications4I - LA METHODE EGYPTIENNE (-1600 AVANT JESUS CHRIST) Les mathématiques égyptiennes étaient d'abord et avant tout des mathématiques axées sur la pratique. Elles servaient à l'agriculture et à l'ingénierie. On se servait des mathématiques dans ces domaines principalement pour calculer un calendrier utilisable, pour le développement de systèmes de poids et de mesures pour la récolte, l'entreposage et la division de la nourriture. Les mathématiques égyptiennes servaient aussi pour créer des méthodes pour examiner la construction de canaux, de réservoirs et pour la construction des pyramides, pour séparer les terres, pour collecter les taxes et pour les échanges.  Le papyrus de RHIND Le papyrus RHIND a été écrit par le scribe Ahmès environ en 1650 avant Jésus Christ. On lui doit son nom à l'écossais Henry RHIND qui l'a acheté à Louxor en 1858, lieu où il a été découvert, anciennement connu sous le nom de la ville de Thèbes. Il est aujourd'hui conservé au British Museum de Londres. Long de plus de 5m sur 32 cm de largeur, écrit en écriture hiératique, ce papyrus est en partie une copie de résultats plus anciens connus par Ahmès des babyloniens. Il contient 87 problèmes résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage. C'est grâce à ce document qu'on connaît aujourd'hui la technique de multiplication des égyptiens. En voici une partie

LEMAZURIERMultiplications5  La numération hiéroglyphique Egyptienne La numération hiéroglyphique égyptienne se lisait comme suit : Il est à noté que plusieurs symboles représentent le même nombre. Ceci est probablement dû au fait que chaque scribe écrivait à sa manière à l'époque et donc chacun laissait aller son sens artistique et produisait des symboles différents. Il est à noter que la numération égyptienne n'est pas une numération de position. Autrement dit, ∩|| et ||∩ représentent tout deux le nombre 12. Les égyptiens avaient toutefois l'habitude d'écrire de droite à gauche, mais ceci pouvait changer selon le scribe. Notons aussi que les égyptiens n'avaient pas de représentation pour le nombre 0, mais leur numération fait en sorte que le concept du zéro n'est pas nécessaire.

LEMAZURIERMultiplications6 Voici une théorie sur la provenance de ces symboles : 1) En utilisant cette numération, écrire le nombre 24. 2) En utilisant cette numération, écrire le chiffre 7. 3) En utilisant cette numération, écrire le nombre 32. 4) En utilisant cette numération, écrire le nombre 100. 5) En utilisant cette numération, écrire le nombre 1055. 6) En utilisant cette numération, écrire le nombre 1 567 432.

LEMAZURIERMultiplications7 La technique de multiplication La technique de multiplication égyptienne a comme principal intérêt qu'elle ne nécessite aucune connaissance des tables de multiplication. C'est probablement pour cette raison que les égyptiens l'ont adoptée car ils n'avaient pas de telles tables. On peut toutefois croire qu'ils avaient crée la table des puissances de 2 car la méthode nécessite de les connaître ou de les calculer à chaque fois. Voici cette table des puissances de 2 : Les égyptiens savaient que chaque nombre avait une unique décomposition en puissances de 2 et connaissaient aussi la propriété de distributivité de la multiplication. Autrement dit, ils savaient que 18 × 12 = 18 × (8 + 4) = 18 × 8 + 18 × 4.

LEMAZURIERMultiplications8Exemple 1 : Effectuons la multiplication 58 × 343 à la méthode égyptienne. Effectuer une multiplication avec cette technique s'effectue en 3 étapes : Ø Etape 1 : - Décomposition en puissance de 2 - La première étape est de trouver la décomposition en puissances de 2 du plus petit des deux nombres à multiplier. Pour cela, les égyptiens procédaient méthodiquement : On part avec 58 et on trouve (sur notre table de puissance ci-dessus) que la plus grande puissance de 2 inférieure à 58 est 32. 58 - 32 = 26 Ensuite, on fait la même chose avec le résultat, 26, et on trouve 16, et on soustrait à nouveau. 26 - 16 = 10 Puis, on trouve à nouveau la puissance de 2, cette fois-ci, 8. 10 - 8 = 2 Et le résultat, 2 est lui-même une puissance de 2, on a donc terminé de trouver la décomposition cherchée : 58 = 32 + 16 + 8 + 2 Et donc, 343 × 58 = 343 × (32 + 16 + 8 + 2).

LEMAZURIERMultiplications9Ø Etape 2 : - La construction du tableau de puissances - Maintenant que l'on connaît la décomposition d'un des nombres, on construit un tableau avec les puissances de 2 de l'autre nombre comme suit : C'est simple, on part du nombre non décomposé (ici, 343) et on le met en face de 1, on l'additionne par lui-même, on met le résultat en face de 2, on additionne le résultat avec lui-même, on le met en face de 4 et on continue jusqu'à la plus grande puissance inférieure au nombre que l'on a décomposé (ici, on continue jusque 32 puisque 32 est la plus grande puissance de 2 trouvée dans 58 (Etape 1)). Ø Etape 3 : - Le résultat - Maintenant que nous avons le tableau des puissances et la décomposition en puissances de 2, il nous reste qu'à additionner les puissances correspondantes dans le tableau. On a trouvé à l'étape 1 que 58 = 32 + 16 + 8 + 2. On prend donc les éléments en face de 32, 16, 8 et 2 dans le tableau (Etape 2) et on les additionne pour trouver le résultat : 343 × 58 = 686 + 2 744 + 5 488 + 10 976 = 19 894 Et on a réussi à calculer le produit de deux nombres sans connaître aucune table de multiplication, c'est là la beauté de la méthode égyptienne. 1) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 34 × 56. 2) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 74 × 89. 3) Illustrer l'un de ces exemples à l'aide d'Educreations sur votre Ipad. 1 →→→→→ 343 2 →→→→→ 686 4 →→→→→ 1 372 8 →→→→→ 2 744 16 →→→→→ 5 488 32 →→→→→ 10 976

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0II - LA METHODE RUSSE (20EME SIECLE) La méthode Russe est une dérive directement de la méthode Egyptienne. Les mathématiques, les connaissances ont voyagé et les Russes ont modifié la méthode Egyptienne à leur manière. Elle a été utilisée jusqu'au début du 20ème siècle en Russie.  La technique de multiplication Exemple 2 : Voici la multiplication 58 × 343 à la méthode Russe. On fait un tableau comme dans la méthode égyptienne, sauf que cette fois-ci on commence avec les deux nombres à multiplier, d'un côté, on divise par 2 à chaque ligne (sans tenir compte des restes) et de l'autre côté, on multiplie par 2. Il ne reste maintenant qu'à additionner les éléments à droite qui sont en face d'un élément impair, c'est-à-dire : 53 × 67 = 67 + 268 + 1072 + 2144 = 3551 1) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 342 × 56. 2) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 274 × 32. 3) Illustrer l'un de ces exemples à l'aide d'Educreations sur votre Ipad. 53 →→→→→ 67 (67 x 1) 26 →→→→→ 134 (67 x 2) 13 →→→→→ 268 (67 x 4) 6 →→→→→ 536 (67 x 8) 3 →→→→→ 1072 (67 x 16) 1 →→→→→ 2144 (67 x 32)

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III - LA METHODE CHINOISE Avant de parler de la multiplication, nous devons savoir comment les chinois représentaient leurs chiffres, ensuite nous traiterons du problème du zéro et finalement nous verrons comment multiplier des nombres à l'aide d'échiquiers numériques.  Représentation des chiffres chez les chinois Pour calculer, les Chinois représentaient leurs chiffres à l'aide de petits bâtonnets d'ivoire, de bambou ou de bois de couleur rouge ou noire disposée verticalement ou horizontalement dépendant des chiffres. Cette manière de représenter les nombres est très ancienne mais les détails de cette méthode nous sont parvenus qu'à partir du 2ème siècle avant Jésus-Christ. Les bâtonnets avaient une longueur de 1 pouce et demi, les rouges représentant des nombres positifs, les noirs des nombres négatifs. La manière de représenter les chiffres est simple. Un bâtonnet placé verticalement représente une unité. Deux bâtonnets représentent deux unités. Les cinq premiers chiffres sont représentés de cette manière. Ensuite, six unités sont représentées par un bâtonnet placé verticalement sous un bâtonnet positionné horizontalement. Sept unités sont représentées par deux bâtonnets verticaux sous un bâtonnet horizontal et ainsi on peut représenter les nombres jusqu'à neuf de cette façon. 1) En utilisant cette représentation, écrire les nombres 3 et 12. 2) Qu'observez- vous ?

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La représentation d'un nombre n'est donc pas unique ce qui posa un sérieux problème aux scientifiques chinois de l'époque. Malgré tout, les savants chinois parviennent à résoudre leur problème en modifiant la notation. Ils décident alors d'écrire les nombres à l'aide de deux notations différentes : Ce choix de notation est complexe et dépasse votre niveau mathématiques actuel... Nous n'en parlerons donc pas plus...

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 Et 0 alors ? 1) A l'aide de la représentation ci- dessus, écrire le nombre 100. 2) Quel problème rencontrez- vous ? Vous avez surement dû remarquer que zéro n'était pas représenté... Certains scientifiques utilisaient les signes chinois pour régler ce problème. Pour écrire 10 000, ils prenaient un bâtonnet vertical suivi d'un symbole chinois représentant dix mille. D'autres utilisaient des grilles et les espaces vident représentaient zéro. Au 8ème siècle, les savants chinois utilisèrent un symbole afin de représenter l'absence d'unité dans la représentation avec bâtonnets. Le symbole retenu fut un petit rond, probablement influencé par les mathématiciens de la civilisation indienne. On peut le retrouver dans les écrits pendant la dynastie de Sung entre 960 et 1126 et dans les siècles qui suivirent.

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4  La technique de multiplication L'outil utilisé pour la multiplication était un échiquier et des petits bâtonnets nommés chóu. Vous n'avez pas compris, n'est- ce pas ? Alors observons un exemple pour mieux comprendre... ALGORITHME : Pour multiplier, on inscrivait le multiplicateur dans les cases en haut à droite de l'échiquier. Ensuite, on laissait une ligne vide puis on inscrivait le multiplicande de manière à ce que son dernier chiffre soit en dessous du premier chiffre du multiplicateur. La première étape consistait à multiplier le premier chiffre du multiplicande avec le premier chiffre du multiplicateur. On inscrivait le résultat dans la colonne du milieu en dessous du chiffre du multiplicande. On poursuivait en multipliant le deuxième chiffre du multiplicande avec le premier chiffre du multiplicateur. Le résultat s'inscrivait au dessus du deuxième chiffre du multiplicande. On additionnait à chaque étape les nombres qu'on inscrit dans la colonne du milieu. Lorsque l'on a terminé avec le premier chiffre du multiplicateur, on passe au second, et ainsi de suite, jusqu'au dernier.

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5Exemple 3 : Effectuons la multiplication 12 × 34. On commence par inscrire 12 en haut à droite et 34 directement en dessous du 1 de 12. On laisse une ligne entre les 2 nombres. Ensuite on multiplie 3 par 1 et on inscrit la réponse au dessus du 3 de 34. On fait la même opération avec 4.

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6 On enlève le 1 puisque nous n'en avons plus besoin et on bouge 34 d'une case vers la droite. Ensuite on multiplie 3 par 2 et on addition le résultat au chiffre qui est au dessus de 3. Puisque l'addition donne 10, on enlève les bâtons de la case et on ajoute 1 au chiffre à sa gauche. Ensuite on multiplie 4 par 2 et on inscrit le résultat. Nous obtenons alors la réponse. On remarque que l'espace représente le zéro. Il ne nous reste plus qu'à écrire le nombre de manière condensée.

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71) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 12 × 56. 2) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 45 × 89. 3) Illustrer l'un de ces exemples à l'aide d'Educreations sur votre Ipad.

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8IV - TCHOU LE CHINOIS Une autre méthode incroyable développée en Chine par Tchou le Chinois est la technique du "dessin multiplicatif". Pour cette méthode, pas besoin de connaître les tables de multiplication... C'est extrêmement facile quand elle est suivie avec rigueur et est plus accessible... des battons verticaux pour le nombre multiplicande en fonction du chiffre des unités, des dizaines, des centaines, des croisements, des battons horizontaux pour le nombre multiplicateur, arc de cercle délimitant les unités, les dizaines et les centaines et comptabilisation des croisements... et c'est OK ! Vous n'avez pas compris, n'est- ce pas ? Alors observons un exemple pour mieux comprendre...  La technique de multiplication Pour faciliter la compréhension nous mettons une couleur par chiffre. Exemple 4 : Effectuons la multiplication ��×�� avec la méthode de Tchou le Chinois. Ø Etape 1 : On représente chaque chiffre par un trait en conservant la couleur. Pour le 1er facteur cela donne la figure ci-contre. Ø Etape 2 : Représentation du 2ème facteur ; les traits sont perpendiculaires au 1er tracé.

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9Ø Etape 3 : Pour simplifier la suite de l'explication ce 1er tracé est maintenant représenté en noir. Ø Etape 4 : On place des points à chaque intersection. De gauche à droite : les points des unités en vert, puis les chiffres des dizaines en rouge, et des centaines en bleu. Ø Etape 5 : On distingue 3 zones sur le graphique. On compte le nombre de points par zone et on inscrit le nombre sous chaque zone.

LEMAZURIERMultiplications 0Ø Etape 6 : La zone jaune représente les unités, la zone bleu les dizaines, et la zone rouge les centaines. Chaque zone doit contenir 1 seul chiffre. Il faut décomposer le nombre de points trouvés dans chaque zone comme indiqué sur la figure ci-contre. Ø Etape 7 : On fait le calcul. Donc 23 × 14=322.

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Exemple 5 : Voici une autre illustration de cette méthode, le calcul 23 × 13.

LEMAZURIERMultiplications Exemple 6 : Enfin, voici un lien vidéo pour observer un dernier exemple de cette technique de multiplication : http://youtu.be/Z0Fpravg_fU 1) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 35 × 17. 2) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 452 × 25. 3) Illustrer l'un de ces exemples à l'aide d'Educreations sur votre Ipad.

LEMAZURIERMultiplications V - LA METHODE " PER GELOSIA » (12EME AU 17EME SIECLE) Le mot italien " gelosia » signifie une sorte de grillage qu'on plaçait devant les fenêtres, un peu comme un store. Le mot " gelosia » est aussi un synonyme de " jalousie ».  Historique Cette méthode de multiplication vient de la civilisation indienne. C'est le mathématicien BHASKARA qui fut le premier à la publier dans son livre Lilavati en 1150, parmi quatre autres méthodes de multiplication " de moindre importance ». Elle apparaît aussi dans d'autres livres de calculs indiens de cette époque. Ce fut FIBONACCI qui l'introduisit en Europe en 1202, dans son célèbre ouvrage, le Liber Abaci. Ce mathématicien italien avait appris la numération arabe et tentait par cet ouvrage de l'emmener aux Européens, qui calculaient encore avec le système romain, satisfaisant pour les additions mais trop complexe pour les multiplications. On voit donc que la méthode " per gelosia » avait voyagé de l'Inde chez les Perses et les Arabes avant de se rendre en Europe. Les Européens ont pris quelque temps à être à l'aise avec ce nouveau système, mais ils l'utilisèrent ensuite jusque dans les années 1600.

LEMAZURIERMultiplications 4 La technique de multiplication Exemple 7 : Effectuons la multiplication 3 652 × 941 avec a méthode " per gelosia ». 3 652 se trouve au-dessus de la grille et 941 à droite. Le résultat se trouve à gauche et au-dessous de la grille : c'est donc 3 436 532. Après avoir tracé le grillage, la première étape consiste à multiplier le premier chiffre de 3 652 avec le premier chiffre de 941, et à inscrire le résultat dans la première case en haut à gauche, les dizaines au-dessus de la diagonale, et les unités au-dessous. On continue ainsi en inscrivant le résultat de chaque multiplication dans la case correspondant à l'intersection du chiffre de 3 652 et de celui de 941. Une fois que cette étape est complétée, on additionne les chiffres de chaque rangée diagonale, en commençant par le bas droit et en transférant les retenues dans la diagonale suivante, sans oublier d'inscrire les unités en bas ou à gauche de la diagonale. Par exemple, le résultat de l'addition de la deuxième diagonale à partir du bas est 13, alors on inscrit 3 au bas de la grille, sous la deuxième colonne, et on additionne la dizaine avec la diagonale suivante (8, 0, 0, 0, 6).

LEMAZURIERMultiplications 51) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 1 234 × 567. 2) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 4 567 × 891. 3) Illustrer l'un de ces exemples à l'aide d'Educreations sur votre Ipad.

LEMAZURIERMultiplications 6VI - LA METHODE MODERNE Voici une illustration de cette méthode : Exemple 8 : Effectuons la multiplication 42 × 26 1) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 17 × 56. 2) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 42 × 123. 3) Illustrer l'un de ces exemples à l'aide d'Educreations sur votre Ipad.

LEMAZURIERMultiplications 7VII - LA TECHNIQUE DU NOUVEAU MILLENAIREquotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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5Exemple 3 : Effectuons la multiplication 12 × 34. On commence par inscrire 12 en haut à droite et 34 directement en dessous du 1 de 12. On laisse une ligne entre les 2 nombres. Ensuite on multiplie 3 par 1 et on inscrit la réponse au dessus du 3 de 34. On fait la même opération avec 4.

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71) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 12 × 56. 2) En utilisant cette méthode, effectuer la multiplication 45 × 89. 3) Illustrer l'un de ces exemples à l'aide d'Educreations sur votre Ipad.

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