1 Nombres complexes

Nombres complexes, cours, première STI2D F Gaudon 29 juin 2015 Table des matières 1 Notion de nombre complexe2 2 Opérations sur les nombres complexes3

Chapitre 7 NOMBRES COMPLEXES 1 STI2D

Chapitre 7 NOMBRES COMPLEXES 1re STI2D Le vecteur image du nombre complexe = +???? est le vecteur ????????⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ + 4

Nombres complexes Forme algébrique - Parfenoff org cours

I) Forme algébrique d’un nombre complexe 1) Définitions • On admet l’existence d’un nombre, noté dont le carré est égal à F Ú Û L F Ú • On appelle alors nombre complexe tout nombre de la forme E où et sont deux nombres réels • Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe

Baccalauréat STI2D : Nombres complexes

Cours Galilée Annales bac STI2D 2020 Baccalauréat STI2D : Nombres complexes Exercice 1 : ancrFe métropolitaine 2014 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples Pour chacune des questions suivantes, une seule

CHAPITRE 9 complexes Nombres - mathematiquesdavalfreefr

Pour tout nombre réel θ, on pose : cosθ +isinθ = eiθ e désigne le nombre d’Euler Tout nombre complexe z non nul de module r et d’argument θ peut s’écrire sous la forme z = reiθ Cette écriture, avec r > 0, est appelée forme exponentielle du nombre z Déﬁnition 8 ei×0 = 1 et eiπ2 = i Remarque 9 On a alors z = reiθ = r

1 Nombres complexes

Le module d'un nombre complexe z = a + bi est le nombre réel a b2 2+ Notations Le module d'un nombre complexe z est noté z; pour alléger les écritures on utilise aussi les lettres r et ρ (ρ est la lettre grecque rhô) Remarques • Pour tout nombre complexe z, on a z ≥0 • O est le seul nombre complexe dont le module est 0

Chapitre 1 – Les nombres complexes

Cours de Mathématiques – Classe de Terminale STI - Chapitre 1 : Les Complexes Chapitre 1 – Les nombres complexes A) Définition et propriétés de base (rappels) 1) Définition a) On appelle ℂ l'ensemble des nombres complexes Un nombre complexe s'écrit z=a bi, où a et b sont des réels et i est un nombre (non réel) tel que i² = -1

Nombres complexes : Forme Trigonométrique

II) Forme trigonométrique d’un nombre complexe Soit V un nombre complexe non nul dont le module est r et un argument est On note : M le point image de V N l’intersection de la demi droite [OM) avec le cercle trigonométrique On a donc : 1 / , , , , , , & L N 1 0 , , , , , , , &

NOMBRES COMPLEXES (Partie 1) - Maths & tiques

II Conjugué d'un nombre complexe Définition : Soit un nombre complexe z=a+ib On appelle nombre complexe conjugué de z, le nombre, noté z, égal à a−ib Exemples : - z=4+5i et z=4−5i - On peut également noter : 7−3i=7+3i; i=−i; 5=5 Remarque : Les points d'affixes z et z sont symétriques par rapport à l'axe des réels

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1.1. Un peu d"histoire !

(lecture p 11) Son utilisation provient des équations du 3 et 4 ème degré pour permettre leur résolution. Au XVI ème siècle, Bombelli les appelle impossible. En 1637, Descartes les appelle imaginaire. C"est avec Euler , en1777, que pour la première fois, les imaginaires restent dans le calcul.

1.2. L"ensemble des nombres complexes

Nous admettons ici l"existence d"un nouvel ensemble noté C, de nombres appelés nombres complexes. Définition : Les nombres complexes sont de la forme abi+ où a et b sont des nombres réels quelconques et i un nombre nouveau tel que i21=-

Egalité :

abiabi+=¢+¢ ssi aa=¢ et bb=¢

1.3. Opérations sur les nombres complexes

Théorème : (admis)

On peut définir dans

CCCC une addition et une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont les mêmes que dans RRRR, avec i21=-

Addition :

Multiplication :

z = a + ib et z = a"+ib" z = a + ib et z = a"+ib" z+z" = (a + a") + i(b+b") zz" = (aa" - bb") + i(ab"+a"b)

L"ensemble

R des nombres réels est un sous-ensemble de l"ensemble C des nombres complexes.

Définitions

Soit z = a + bi un nombre complexe.

a est la partie réelle de z. Notation: a = Re(z). b est la partie imaginaire de z. Notation: b = lm(z). a·+ bi est la forme algébrique du nombre complexe z. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle s"écrit z = bi; il est dit imaginaire pur.

Les identités remarquables suivantes restent vraies dans le cas où A et B sont des nombres complexes:

(A + B)

2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2

2 - B2 = (A + B)(A - B).

Notons ce nouveau résultat dans C : A2 + B2 = (A + i B)(A - i B).

11.. NNoommbbrreess ccoommpplleexxeess

iz32+= iz3= 4=z sont des complexes

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1.4. Conjugué d"un nombre complexe

Définition

Le nombre complexe conjugué de z = a+ bi est le nombre complexe noté a- bi noté z.

Exemple

Le conjugué de z = 3 + 2i est

z= 3 - 2i

Remarque

Soit z = a + bi. En utilisant les règles de calcul dans C, on obtient : zza+=2 et zzab=+2 2 La somme et le produit d"un nombre complexe et de son conjugué sont des nombres réels. L"inverse d"un nombre complexe z non nul noté 1z peut être mis sous la forme bia+ en utilisant le conjugué z de z. Exercice : Mettre sous la forme le nombre complexe iz32 1

1+=, puis i

iz 32
41
2+

Pour tous nombres complexes z, z", on a :

zzzz+¢=+¢ zzzz¢=×¢ 1 1 z z( z zz z

1.5. Représentation géométrique d"un nombre complexe

1. Image et affixe

On considère le plan P muni du repère orthonormal ()O u v, ,rr

Définitions

L"image d"un nombre complexe z = a + bi est le point M de coordonnées (a, b). L"affixe du point M de coordonnées (a, b) est le nombre complexe z = a + bi. On peut aussi représenter géométriquement un nombre complexe par un vecteur.

Définitions

Le vecteur image du nombre complexe z = a + bi est le vecteur OMaubv®=+r r L"affixe du vecteur OMaubv®=+r r est le nombre complexe z = a + bi. z z

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2. Opérations

Addition

Si z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i sont les affixes respectives de M1 et de M2 donc de

OM V®=®

11 et de OM V®=®

22, alors z1 + z2 est l"affixe de V V1 2

Exemple

La somme de z

1 = 3 + 2i et z2 = -1 - 4i est z1 + z2 = 2 - 2i.

Multiplication par un nombre réel

Si z1 = a1 + b1i est l"affixe de M1 donc de OM V®=®

11, et si a est un nombre réel,

alors az1 est l"affixe de aV1

Exemple

Pour z = 3 + 2i et a=2 on a az = 6 + 4i

Si z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i sont les affixes respectives de M1 et de M2 donc de

OM V®=®

11 et de OM V®=®

22, et a et b deux réels, alors 21zzba+ est l"affixe de

21VVba

Conséquence: ( 1-=a ;1=b)

z2-z1 est l"affixe de V V M M2 1 1 2

3. Interprétation géométrique de 0zzz+a

Exemple :

Soit une application de C dans C définie par : ()izzfzf++=2:a

Calculons

()0f ; ()if2 ; ()if-1.

Nombre complexe 0

()0f 2i ()if2 1-i ()if-1 image O O" A A" B B"

On remarque que :

"""BBAAOO==. Dans le cas général, Si M" d"affixe z"est l"image de M d"affixe z par l"application f, on a : izz++=2" donc izz+=-2" et zz-" est l"affixe de "MM Donc vuMMrr+=2" qui est un vecteur indépendant de M et de M" M" est donc la transformée du point M par la translation de vecteur vurr+2

Cas général :

Soit f l"application ()0zzzfz+=a où 0z est un nombre complexe fixé. Soit M l"image de z et m" l"image de ()zf dans le plan complexe. L"application "MMa ainsi définie est la translation de vecteur wr où wr est l"image de 0z.

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1.6. Forme trigonométrique. Représentation géométrique

1. Module d"un nombre complexe

1.1. Définition. Interprétation géométrique

Dans le plan complexe, soit M l"image de z

= a + bi.

En utilisant te théorème de Pythagore dans un des deux triangles rectangles dessinés, on obtient:

OM2 = a2 + b2, donc OM a b= +2 2.

Définition

Le module d"un nombre complexe z = a + bi est le nombre réel a b2 2+

Notations

Le module d"un nombre complexe z est noté

z ; pour alléger les écritures on utilise aussi les lettres r et r r est la lettre grecque rhô).

Remarques

· Pour tout nombre complexe z, on a

z³0. · O est le seul nombre complexe dont le module est 0.

· Pour tout nombre complexe z, on a

zzab=+2 2.

Donc pour tout nombre complexe z,

z zz=

· Pour tout nombre complexe z, on a

z z=.

Interprétation géométrique

Le module de z est la distance de O à M ;c"est aussi la norme du vecteur OM® : z OM OM= =®

1.2. Module d"une différence, distance de deux points

Propriété :

Soit z1 et z2 des nombres complexes d"images respectives M1 et M2. Alors z z M M2 1 1 2- =

1.3. Module d"une somme: inégalité triangulaire

Propriété :

Pour tout nombre complexe z1 et z2 , z z z z1 2 1 2+ £ +

2. Argument d"un nombre complexe non nul

2.1. Définition. Interprétation graphique

Dans le plan complexe, soit M l"image d"un nombre complexe non nul z = a + bi, le repère ()O u v, ,rr étant orienté

dans le sens direct. a b

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Nous savons que M est caractérisé par la distance OM z=et une mesure q de l"angle orienté ru OM,®(

ou de l"angle orienté ru ON,®( , N étant le point commun à la demi-droite [OM) et au cercle trigonométrique. Or, par définition des fonctions sinus et cosinus : xN=cosq et yN=sinq

Comme OMOMON®=×®

puisque ON® est unitaire, on a : a a b= +2 2cosq et b a b= +2 2sinq

On en déduit

cosq et sinqen fonction de a et de b.

Définition

Un argument d"un nombre complexe non nul z = a + bi est un nombre réel q tel que cosq=+a a b2 2 et sinq=+b a b2 2

Interprétation géométrique

Un argument de z (non nul) est une mesure de l"angle orienté ru OM,®( . Il est donc défini à un nombre entier de tours près (sur le cercle trigonométrique), c"est-à-dire à k2p près, où k est un nombre entier relatif (kÎZ), car un tour dans le sens positif mesure 2quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] 1 Nombres complexes

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1.1. Un peu d"histoire !

1.2. L"ensemble des nombres complexes

Egalité :

1.3. Opérations sur les nombres complexes

Théorème : (admis)

On peut définir dans

Addition :

Multiplication :

L"ensemble

Définitions

Soit z = a + bi un nombre complexe.

2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2

2 - B2 = (A + B)(A - B).

11.. NNoommbbrreess ccoommpplleexxeess

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1.4. Conjugué d"un nombre complexe

Définition

Exemple

Le conjugué de z = 3 + 2i est

Remarque

1+=, puis i

Pour tous nombres complexes z, z", on a :

1.5. Représentation géométrique d"un nombre complexe

1. Image et affixe

Définitions

Définitions

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2. Opérations

Addition

OM V®=®

11 et de OM V®=®

22, alors z1 + z2 est l"affixe de V V1 2

Exemple

La somme de z

1 = 3 + 2i et z2 = -1 - 4i est z1 + z2 = 2 - 2i.

Multiplication par un nombre réel

11, et si a est un nombre réel,

Exemple

Pour z = 3 + 2i et a=2 on a az = 6 + 4i

OM V®=®

11 et de OM V®=®

22, et a et b deux réels, alors 21zzba+ est l"affixe de

21VVba

Conséquence: ( 1-=a ;1=b)

3. Interprétation géométrique de 0zzz+a

Exemple :

Calculons

Nombre complexe 0

On remarque que :

Cas général :

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1.6. Forme trigonométrique. Représentation géométrique

1. Module d"un nombre complexe

1.1. Définition. Interprétation géométrique

Dans le plan complexe, soit M l"image de z

OM2 = a2 + b2, donc OM a b= +2 2.

Définition

Notations

Le module d"un nombre complexe z est noté

Remarques

· Pour tout nombre complexe z, on a

· Pour tout nombre complexe z, on a

Donc pour tout nombre complexe z,

· Pour tout nombre complexe z, on a

Interprétation géométrique

1.2. Module d"une différence, distance de deux points

Propriété :

1.3. Module d"une somme: inégalité triangulaire

Propriété :

2. Argument d"un nombre complexe non nul

2.1. Définition. Interprétation graphique

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Comme OMOMON®=×®

On en déduit

Définition

Interprétation géométrique