Dérivation : Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé

I- Nombre dérivé de f en a Définition 1: Soit f une fonction définie sur un intervalle I , a ∈I et h ∈ℝ* tel que a+h ∈I f est dérivable en a ∈I, si, et seulement si, ( ) h f a h f a h + − →0 lim existe et est finie Cette limite est le nombre dérivé de f en a et est notée f '(a) Donc : f est dérivable en a

NOMBRE DERIVÉ - maths et tiques

égal à la limite de f(a+h)−f(a) h lorsque h tend vers 0 Ce coefficient directeur s'appelle le nombre dérivé de f en a Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que : lim h→0 f(a+h)−f(a) h =L L est appelé le nombre dérivé de f en a

1 Nombre dérivé et tangente à une courbe

1 2 Nombre dérivé d’une fonction en un point Déﬁnition 2 • Dire que la fonction f est dérivable en a signiﬁe que le taux de variation de f entre a et a +h a pour limite un nombre réel lorsque h tend vers 0 • Ce nombre réel, lorsqu’il existe est appelé nombre dérivé de f en a et il est noté f′(a) Remarque 1

Dérivation : Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé

vers un réel, appelé alors nombre dérivé de f en a et noté f0(a), lorsque h tend vers 0 Si f est dérivable pour tous les éléments de I, on dit que f est dérivable sur I et on appelle dérivée de f la fonction, notée f0, qui à tout a de I associe f0(a), le nombre dérivé de f en a Exemple : Soit f déﬁnie sur R par f(x)=x2 Pour

FONCTION DERIVÉE

Pour tout nombre a, on associe le nombre dérivé de la fonction f égal à 2a On a donc défini sur une fonction, notée f ' dont l'expression est f '( x )=2 x Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de f

Nombre dérivé Fonction dérivée Applications

1 Dérivabilité en un point, nombre dérivé THÉORÈME 1 1 Soit fune fonction déﬁnie sur un intervalle I Soit x 0 un élément de I Les deux assertions suivantes sont équivalentes : 1 Il existe un réel ‘tel que l’accroissement moyen ait pour limite ‘: lim h0 f(x 0 + h) f(x 0) h = ‘:

Chapitre 5 Nombre dérivé et fonction dérivée

Chapitre 5 - Nombre dérivé et fonction dérivée 3 1 Nombre dérivé d'une fonction en un point Dans toute la suite de ce chapitre, f: I R désigne une fonction où Iest un intervalle et a2I

Dérivation INombredérivéettangente Dérivation

de C d’abscisse a 1) Nombre dérivé de f en a Soit h un réel non nul tel quea+h appartient à I et soit M le point de C d’abscisse a +h Le coeﬃcient directeur de la droite (AM)est: Ce rapport est appelétaux d’accroissement de f entre a et a+h 0 x y a a +h f(a) f(a +h) A M C Lorsque h =0,cerapportn’existepas,maisons

1 Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique

Le réel est l’approximation afﬁne tangente de f en a Le nombre dérivé en a de f est la limite ﬁnie, si elle existe, du taux d’accroissement de f en a Le nombre dérivé est le coefﬁcient directeur de la tangente T A en A à la courbe La tangente T A a pour équation : 1 fx()– fa() xa–-----x → a lim f ′ a = fa h()+ – fa()

1Nombre dérivé - Fonction dérivée :

DÉFINITIONEtant donnéfest une fonction définie sur un intervalleIcontenant le réela,fest dérivable enasif(a+h)f(a)h

tend vers un réel, appelé alors nombre dérivé defenaet notéf0(a), lorsquehtend vers 0.

Sifest dérivable pour tous les éléments deI, on dit quefest dérivable surIet on appelle dérivée defla fonction, notée

0, qui à toutadeIassocief0(a), le nombre dérivé defena.Exemple :Soitfdéfinie surRparf(x) =x2.

Pour touta,f(a+h)f(a)h

=(a+h)2a2h =a2+2ah+h2a2h =2a+h. Ce quotient tend vers 2aquandhtend vers 0. Pour touta,fest donc dérivable enaetf0(a) =2a. On dit quefest dérivable surRet que sa fonction dérivée est définie parf0(x) =2x.

2Dérivées des fonctions usuelles :FonctionFonction dérivéepour toutxdeExemples

f(x) =af

0(x) =0Rf(x) =3)f0(x) =0f(x) =ax+bf

0(x) =aRf(x) =x)f0(x) =1

f(x) =2x4)f0(x) =2f(x) =xn(nentier>2)f

0(x) =nxn1Rf(x) =x2)f0(x) =2x

f(x) =x3)f0(x) =3x2f(x) =1xf

0(x) =1x

2R f(x) =1x n(nentier>2)f

0(x) =nx

n+1R f(x) =1x

2)f0(x) =2x

3 f(x) =1x

3)f0(x) =3x

4f(x) =pxf

0(x) =12

px]0;+¥[1 reSérie Technologique - Dérivationc

P.Brachet -www .xm1math.net1

3Étude forme par forme des opérations sur les fonctions dérivables :

Avertissement :Nous utiliserons par souci de simplification le traditionnel et affreux abus de langage qui consiste par exemple à

dire que la dérivée dex2est égale à 2x(alors que nous devrions dire en fait que la dérivée de la fonction qui àxassociex2est la

fonction qui àxassocie 2x).

Il ne faut jamais oublier que l"on ne doit pas confondre unefonctionfavecf(x)(l"image dexparfqui est unréel) et que la

dérivéef0est elle-même unefonctionqui à toutxassocief0(x)(le nombre dérivé defenx, qui est unréel).

afin de nous concentrer sur l"utilisation des formules.

3-1Formef+g

PROPRIÉTÉSifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIalors la fonctionf+gest aussi dérivable surIet(f+g)0=f0+g0.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2+xest définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2+1|{z}

´eriv´eedex

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4xest définie par :

0(x) =3x2|{z}

´eriv´eedex3+4|{z}

´eriv´eede4x

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =px+1x

est définie par : f

0(x) =12

px |{z} d

´eriv´eedepx

(1)x 2|{z} d

´eriv´eede1x

3-2Formekf(kréel)

PROPRIÉTÉSifest une fonction dérivable sur un intervalleIet sikest un réel alors la fonctionkfest aussi dérivable surIet(kf)0=kf0.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =3x2est définie par :

0(x) =32x|{z}

´eriv´eedex2=6x

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =5x3est définie par :

0(x) =53x2|{z}

´eriv´eedex3=15x2

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x

=21x est définie par : f

0(x) =2(1)x

2|{z} d

´eriv´eede1x

=2x 2

3-3Formefg

PROPRIÉTÉSifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIalors la fonctionfgest aussi dérivable surIet(fg)0=f0g+fg0.2

c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Technologique - Dérivation

Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =xpxest définie par :

0(x) =1|{z}

´eriv´eedexpx+x12

px |{z} d

´eriv´eedepx

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2(3+px)est définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2(3+px)+x212

px |{z} d

´eriv´eede3+px

3-4Formef2

PROPRIÉTÉSifest une fonction dérivable sur un intervalleIalors la fonctionf2est aussi dérivable surIetf20=2f0f.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (3x+1)2est définie par :

0(x) =23|{z}

´eriv´eede3x+1(3x+1) =6(3x+1)

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4x2est définie par :

0(x) =2(3x2+4)|{z}

´eriv´eedex3+4x(x3+4x)

3-5Forme1f

PROPRIÉTÉSifest une fonction dérivable sur un intervalleI(oùf(x)ne s"annule pas) alors la fonction1f

est aussi dérivable surIet 1f 0 =f0f

2.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =15x1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede5x1z}|{5(5x1)2

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =1x

2+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2+3z}|{2x(x2+3)2

3-6Formefg

PROPRIÉTÉSifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleI(oùg(x)ne s"annule pas) alors la fonctionfg

est aussi dérivable surI et fg 0 =f0gfg0g 2.1 reSérie Technologique - Dérivationc

P.Brachet -www .xm1math.net3

Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =7x2x+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede7xz}|{

(7)(2x+3)(7x)d

´eriv´eede2x+3z}|{

(2)(2x+3)2=14x+2114x(2x+3)2=21(2x+3)2

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x23x+1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2z}|{

(2x)(3x+1)(x2)d

´eriv´eede3x+1z}|{

4Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :FonctionFonction dérivée

f+gf

0+g0kf(k2R)kf

0fgf

0g+fg0f

22f0f1

f f0f 2f gf

0gfg0g

25Exemples de dérivation nécessitant l"utilisation de plusieurs formes :

La première chose à faire avant de dériver une fonction est de déterminer sa structure (somme, produit, quotient ...) afin de déter-

miner quelles sont les formes à utiliser.

Exemples :

1)Dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x3+5x2+7x5 :

La fonction se présente d"abord comme une somme de termes, on utilise donc la formef+g(de dérivéef0+g0) et pour

dériver 2x3et 5x2on utilise la formekf. Ce qui donne : f

0(x) =2(3x2)|{z}

´eriv´eedex3+5(2x)|{z}

´eriv´eedex2+ (7)|{z}

´eriv´eede7x5=6x2+10x+7

2)Dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (8x2+5)px:

La fonction se présente sous la forme d"un produit, on utilise donc la formefg(de dérivéef0g+fg0). La dérivée de 8x2

(formekf) est égale à 8(dérivée dex2) =8(2x) =16x. La dérivée de 5 est elle égale à 0. Donc la dérivée de 8x2+5

est égale à 16x.

D"où le résultat final :

0(x) =16x|{z}

´eriv´eede8x2+5px+(8x2+5)12

px |{z} d

´eriv´eedepx

=16xpx+8x2+52 px 4 c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Technologique - Dérivation

3)Dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =147x2:

La fonction se présente sous la forme d"un inverse, on va donc utiliser la forme 1f (de dérivéef0f

2). On aura donc besoin

de la dérivée de 47x2:

La dérivée de7x2(formekf) est égale à7(dérivée dex2) =7(2x) =14x. La dérivée de 4 étant nulle, la

dérivée de 47x2sera donc égale à14x.

D"où le résultat final :

0(x) =d

´eriv´eede47x2z}|{

(14x)(47x2)2=14x(47x2)2

6Calcul d"une équation de la tangente à une courbe en un point :

PROPRIÉTÉSifest une fonction définie et dérivable sur un intervalleIcontenant le réela, alors la tangente à la courbe defau point

d"abscisseaest la droite passant par le pointA(a;f(a))et dont le coefficient directeur est égal àf0(a).

Une équation de la tangente à la courbe représentative defau point d"abscisseaest alors : y=f(a)+f0(a)(xa).Exemples :

1)SoitTla tangente à la courbe représentative de la fonctionfdéfinie parf(x) =x23x+1 au point d"abscisse 2 .

Une équation deTest :y=f(2)+f0(2)(x2)

- on calcule d"abordf(2):f(2) =2232+1=46+1=1. - on dérivef:f0(x) =2x3. - on en déduit la valeur def0(2):f0(2) =223=1.

Une équation deTest donc :y=1+1(x2),y=x3

2)SoitTla tangente à la courbe représentative de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x1x+3au point d"abscisse1 .

Une équation deTest :y=f(1)+f0(1)(x(1)),y=f(1)+f0(1)(x+1)) - on calcule d"abordf(1):f(1) =2(1)11+3=32 - on dérivef:f0(x) =2(x+3)(2x1)1(x+3)2=2x+62x+1(x+3)2=7(x+3)2. - on en déduit la valeur def0(1):f0(1) =7(1+3)2=74

Une équation deTest donc :y=32

+74
(x+1),y=64 +74
x+74 ,y=74 x+14 x1 reSérie Technologique - Dérivationc

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quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

[PDF] Dérivation : Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé

1Nombre dérivé - Fonction dérivée :

0, qui à toutadeIassocief0(a), le nombre dérivé defena.Exemple :Soitfdéfinie surRparf(x) =x2.

Pour touta,f(a+h)f(a)h

2Dérivées des fonctions usuelles :FonctionFonction dérivéepour toutxdeExemples

0(x) =0Rf(x) =3)f0(x) =0f(x) =ax+bf

0(x) =aRf(x) =x)f0(x) =1

0(x) =nxn1Rf(x) =x2)f0(x) =2x

0(x) =1x

0(x) =nx

2)f0(x) =2x

3)f0(x) =3x

4f(x) =pxf

0(x) =12

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3Étude forme par forme des opérations sur les fonctions dérivables :

3-1Formef+g

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2+xest définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2+1|{z}

´eriv´eedex

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4xest définie par :

0(x) =3x2|{z}

´eriv´eedex3+4|{z}

´eriv´eede4x

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =px+1x

0(x) =12

´eriv´eedepx

´eriv´eede1x

3-2Formekf(kréel)

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =3x2est définie par :

0(x) =32x|{z}

´eriv´eedex2=6x

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =5x3est définie par :

0(x) =53x2|{z}

´eriv´eedex3=15x2

3)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =2x

0(x) =2(1)x

´eriv´eede1x

3-3Formefg

Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =xpxest définie par :

0(x) =1|{z}

´eriv´eedexpx+x12

´eriv´eedepx

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x2(3+px)est définie par :

0(x) =2x|{z}

´eriv´eedex2(3+px)+x212

´eriv´eede3+px

3-4Formef2

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) = (3x+1)2est définie par :

0(x) =23|{z}

´eriv´eede3x+1(3x+1) =6(3x+1)

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x3+4x2est définie par :

0(x) =2(3x2+4)|{z}

´eriv´eedex3+4x(x3+4x)

3-5Forme1f

2.Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =15x1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede5x1z}|{5(5x1)2

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =1x

2+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2+3z}|{2x(x2+3)2

3-6Formefg

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Exemples de fonctionnement de cette formule :

1)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =7x2x+3est définie par :

0(x) =d

´eriv´eede7xz}|{

´eriv´eede2x+3z}|{

2)La dérivée de la fonctionfdéfinie parf(x) =x23x+1est définie par :

0(x) =d

´eriv´eedex2z}|{

´eriv´eede3x+1z}|{

4Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :FonctionFonction dérivée

0+g0kf(k2R)kf

0g+fg0f

22f0f1