I- Nombre dérivé de f en a
I- Nombre dérivé de f en a Définition 1: Soit f une fonction définie sur un intervalle I , a ∈I et h ∈ℝ* tel que a+h ∈I f est dérivable en a ∈I, si, et seulement si, ( ) h f a h f a h + − →0 lim existe et est finie Cette limite est le nombre dérivé de f en a et est notée f '(a) Donc : f est dérivable en a
NOMBRE DERIVÉ - maths et tiques
égal à la limite de f(a+h)−f(a) h lorsque h tend vers 0 Ce coefficient directeur s'appelle le nombre dérivé de f en a Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que : lim h→0 f(a+h)−f(a) h =L L est appelé le nombre dérivé de f en a
1 Nombre dérivé et tangente à une courbe
1 2 Nombre dérivé d’une fonction en un point Définition 2 • Dire que la fonction f est dérivable en a signifie que le taux de variation de f entre a et a +h a pour limite un nombre réel lorsque h tend vers 0 • Ce nombre réel, lorsqu’il existe est appelé nombre dérivé de f en a et il est noté f′(a) Remarque 1
Dérivation : Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé
vers un réel, appelé alors nombre dérivé de f en a et noté f0(a), lorsque h tend vers 0 Si f est dérivable pour tous les éléments de I, on dit que f est dérivable sur I et on appelle dérivée de f la fonction, notée f0, qui à tout a de I associe f0(a), le nombre dérivé de f en a Exemple : Soit f définie sur R par f(x)=x2 Pour
FONCTION DERIVÉE
Pour tout nombre a, on associe le nombre dérivé de la fonction f égal à 2a On a donc défini sur une fonction, notée f ' dont l'expression est f '( x )=2 x Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de f
Nombre dérivé Fonction dérivée Applications
1 Dérivabilité en un point, nombre dérivé THÉORÈME 1 1 Soit fune fonction définie sur un intervalle I Soit x 0 un élément de I Les deux assertions suivantes sont équivalentes : 1 Il existe un réel ‘tel que l’accroissement moyen ait pour limite ‘: lim h0 f(x 0 + h) f(x 0) h = ‘:
Chapitre 5 Nombre dérivé et fonction dérivée
Chapitre 5 - Nombre dérivé et fonction dérivée 3 1 Nombre dérivé d'une fonction en un point Dans toute la suite de ce chapitre, f: I R désigne une fonction où Iest un intervalle et a2I
Dérivation INombredérivéettangente Dérivation
de C d’abscisse a 1) Nombre dérivé de f en a Soit h un réel non nul tel quea+h appartient à I et soit M le point de C d’abscisse a +h Le coefficient directeur de la droite (AM)est: Ce rapport est appelétaux d’accroissement de f entre a et a+h 0 x y a a +h f(a) f(a +h) A M C Lorsque h =0,cerapportn’existepas,maisons
1 Nombre dérivé, interprétations géométrique et cinématique
Le réel est l’approximation affine tangente de f en a Le nombre dérivé en a de f est la limite finie, si elle existe, du taux d’accroissement de f en a Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente T A en A à la courbe La tangente T A a pour équation : 1 fx()– fa() xa–-----x → a lim f ′ a = fa h()+ – fa()
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1
ère
SChapitre6:Dérivation2 013 -20 14
Dérivation
INombredérivéettangente
Soitfunefo nctiondéfiniesurunintervall eI,Csar eprésentationgraphiquedansunrepèredupla netAlepo int
deCd'abscissea.1)N ombredérivédefena
Soithunré elnonnultelque a+happartientàIetso itMlepo int deCd'abscissea+h.Leco efficientdirecteur deladroite(AM)est:
Cera pportestappelétauxd'acc roissementdefentreaeta+h. 0 x y a a+h f(a) f(a+h) A M C Lorsqueh=0,cerapportn'existepas,maisons'intéresseàcequ'ildevientquandhser approchede0.Définition1
Sil erappor t
f(a+h)-f(a) h tendversu nnombreréelq uandhtendvers0 ,onditquefestdérivableena.Cen ombreestappelélenombredérivédefena.
Ile stnotéf
(a).Onécrit:f (a)=lim h→0 f(a+h)-f(a) hExemple1
•Soitftellequef(x)=3x 2 ;oncherchesifestdéri vableen2.Onca lculef(2+h)-f(2)=.. ... .........................................................................
Leta uxd'acroisseme ntest
f(2+h)-f(2) h lim h→0 festdon cdérivableen2et lenombredérivédefen2es t. .....: f (2)=......2)Ta ngenteàunecourbe
Graphiquement,lorsquehtendvers0 ,lepointMdeCsera pprochedeA.Direque
f(a+h)-f(a) h apourlimitef (a)quandhtendvers0 revientdoncà dir equelecoefficientdirecteu r del adroite (AM)tendversf (a)quandMser approchedeAsurC.Définition2
Sifestdéri vableena,onappelletangenteenAàlacourbeClad roitequipassepar Aetd ecoefficient directeurlenombredérivéf (a). Uneéquatio ndecettetangentepeut s'écri rey=f (a)x+poù pestunr éelquel' ondéterm ineenécrivan tquelescoordo nnéesdeA(a;f(a))v érifientcetteéquation.
Lata ngenteàlacourbeaupointd 'ab scisseaétanttracée,lal ec- turegraphi queducoefficientdirecteu rdecettetangenteTdonnele nombredérivéen a,f (a). 0 x y a f(a) A T C 1 1ère
SChapitre6:Dérivation2 013 -20 14
Dérivation
INombredérivéettangente
Soitfunefo nctiondéfiniesurunintervall eI,Csar eprésentationgraphiquedansunrepèredupla netAlepo int
deCd'abscissea.1)N ombredérivédefena
Soithunré elnonnultelque a+happartientàIetso itMlepo int deCd'abscissea+h.Lec oefficientdirecteur deladroite(AM)est:
Cera pportestappelétauxd'acc roissementdefentreaeta+h. 0 x y a a+h f(a) f(a+h) A M C Lorsqueh=0,cerapportn'existepas,maisons'intéresseàcequ'ildevientquandhser approchede0.Définition1
Sil erappor t
f(a+h)-f(a) h tendversu nnombreréelq uandhtendvers0 ,onditquefestdérivableena.Cen ombreestappelélenombredérivédefena.
Ile stnotéf
(a).Onécrit:f (a)=lim h→0 f(a+h)-f(a) hExemple1
•Soitftellequef(x)=3x 2 ;oncherchesifestdéri vableen2.Onca lculef(2+ h)-f(2)=.. ... .........................................................................
Leta uxd'acroisseme ntest
f(2+h)-f(2) h lim h→0 festdon cdérivableen2et lenombredérivédefen2es t. .....: f (2)=......2)Ta ngenteàunecourbe
Graphiquement,lorsquehtendvers0 ,lepointMdeCsera pprochedeA.Direque
f(a+h)-f(a) h apourlimitef (a)quandhtendvers0 revientdoncà dir equelecoefficientdirecteu r del adroite (AM)tendversf (a)quandMser approchedeAsurC.Définition2
Sifestdéri vableena,onappelletangenteenAàlacourbeClad roitequipassepar Aetd ecoefficient directeurlenombredérivéf (a). Uneéquatio ndecettetangentepeut s'écri rey=f (a)x+poù pestunr éelquel' ondéterm ineenécrivan tquelescoordo nnéesdeA(a;f(a))v érifientcetteéquation.
Lata ngenteàlacourbeaupointd 'ab scisseaétanttracée,lal ec- turegraphi queducoefficientdirecteu rdecettetangenteTdonnele nombredérivéen a,f (a). 0 x y a f(a) A T C 1Définition
Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A à la courbe C la droite qui passe par A et de coefficient directeur le nombre dérivé f'(a).Propriété
La tangente T a pour équation ...............................................................Démonstration
Remarque : Si f'(a)=0, la tangente en A est parallèle à l'axe des ................. On dit que f admet une tangente horizontale au point d'abscisse A.Exemples
Dans chaque cas, donner l'équation de la tangente à la représentation graphique C de la fonction f au point d'abscisse 2,
puis la tracer. f(x)=3x 2 La tangente à la courbe C au point d'abscisse 2 a pouréquation
y=f'(2)(x-2)+f(2) f(x)= 1 x .Exemples de fonctions non dérivables en certains pointsLa fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 : la tangente à la courbe existe mais elle n'admet pas de coefficient
directeur. La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 : on ne peut pas définir de tangente à la courbe au point
d'abscisse 0. 0 1 1 x y A 2 12 1