[PDF] E3A 2015 - PC - Math ematiques 1 Exercice 1



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polyn^omes, donc d e nies et continues sur R Elles admettent donc des limites egales a leurs evaluations en tout point Par quotient de limites ne s’annulant pas, on a donc lim x1 f(x) = lim x1 x+ 1 x = 1 + 1 1 = 2 On peut donc prolonger par continuit e la fonction fen 1 avec f(1) = 2



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E3A 2015 - PC - Mathematiques 1

Exercice 1

1. (a) On aA2=0 1

1 0 Son polyn^ome caracteristique estX21 = (X1)(X+ 1). DoncA2admet deux valeurs propres distinctes, alors qu'elle possedeegalement deux colonnes doncA2est diagonalisable. Et comme 0 n'est pas valeur propre deA2,A2est inversible. (b) On aA3=0 @0 1 0 2 0 2

0 1 01

A Son polyn^ome caracteristique estX34X=X(X2)(X+ 2). DoncA3admet trois valeurs propres distinctes, alors qu'elle possede egalement trois colonnes doncA3est diagonalisable. Et comme 0 est valeur propre deA3,A3n'est pas inversible.

2. (a) Les resultats numeriques donnentA2=0

B

B@3 0 2 0

0 7 0 6

6 0 7 0

0 2 0 31

C

CAetQ(A) = (A2I4)(A49I4) = 0 (matrice nulle).

Notons qu'il est n'est pas connu ociellement

qu'il faut remplacerles nombresadeQ paraI4dansQ(A)... (b)Il semblerait qu'il soit attendu l'usage du theoreme concernant un polyn^ome annulateur scinde a racines simples... On va donc faire autrement en calculant le polyn^ome caracteristique deA.

Pour tout2R,

A() = det(I4A) = det0

B

B@1 0 0

32 0
023
0 011 C CA On fait un developpement par rapport a la premiere ligne :

A() =det0

@2 0 23
011 A (1)det0 @32 0 03 011 A =(37)3(23)

A() =4102+ 9 = (21)(29) = (1)(+ 1)(3)(+ 3) =Q()

Aest scinde a racines simples doncAest diagonalisable. (c) AvecA, nous pouvons armer que les valeurs propres deAsont 1;1;3;3. La matriceDrecherchee (veriant les conditions d'inegalite demandees) est doncD=diag(3;1;1;3). Pour obtenir une matrice , il sut de chercher des colonnes propres associees aAet d'^etre attentif a l'ordre d'ecriture dans .

Or les calculs donnent :

E

3(A) = vect0

B @1 3 3 11 C

AE1(A) = vect0

B @1 1 1 11 C

AE1(A) = vect0

B @1 1 1 11 C

AE3(A) = vect0

B @1 3 3 11 C A

On peut donc choisir =

0 B

B@1 1 1 1

3 113 311 3

11 111

C CA (d) est bien une application deM4(R), a valeurs dansM4(R).

8M;N2 M4(R) et2R,

(M+N) = (M+N)1=M1+ N1=(M) + (N), par linearite du produit matriciel.

Enn, en notant :N7!1N, on a pour toutM2 M4(R),

((M)) = (1M)1=Met ((M)) = 1(M1) =M Donc est un endomorphisme deM4(R), bijectif de reciproque . (e) SoitN=0 B @a b c d e f g h i j k l m n o p1 C A,

ND=DN()0

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