Polynésie - 9 septembre 2015
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Centrale 2015 - PSI 2 un corrig e 1 R esultats pr eliminaires
Ainsi (un polyn^ome d’une variable est nul quand ses coe cients le sont) 8k2[0;d]; 8y2J; Q k(y) = 0 De la m^eme fa˘con, Q k est le polyn^ome nul et tous les coe cients k;l le sont P est donc le polyn^ome nul IA 2 P : (x;y) 7x2 + y2 1 est nul sur le cercle unit e, qui poss ede une in nit e d’ el ements, mais n’est pas le polyn^ome nul
Corrig e du devoir surveill e n
polyn^omes, donc d e nies et continues sur R Elles admettent donc des limites egales a leurs evaluations en tout point Par quotient de limites ne s’annulant pas, on a donc lim x1 f(x) = lim x1 x+ 1 x = 1 + 1 1 = 2 On peut donc prolonger par continuit e la fonction fen 1 avec f(1) = 2
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E3A 2015 - PC - Mathematiques 1
Exercice 1
1. (a) On aA2=0 1
1 0 Son polyn^ome caracteristique estX21 = (X1)(X+ 1). DoncA2admet deux valeurs propres distinctes, alors qu'elle possedeegalement deux colonnes doncA2est diagonalisable. Et comme 0 n'est pas valeur propre deA2,A2est inversible. (b) On aA3=0 @0 1 0 2 0 20 1 01
A Son polyn^ome caracteristique estX34X=X(X2)(X+ 2). DoncA3admet trois valeurs propres distinctes, alors qu'elle possede egalement trois colonnes doncA3est diagonalisable. Et comme 0 est valeur propre deA3,A3n'est pas inversible.2. (a) Les resultats numeriques donnentA2=0
BB@3 0 2 0
0 7 0 6
6 0 7 0
0 2 0 31
CCAetQ(A) = (A2I4)(A49I4) = 0 (matrice nulle).
Notons qu'il est n'est pas connu ociellement
qu'il faut remplacerles nombresadeQ paraI4dansQ(A)... (b)Il semblerait qu'il soit attendu l'usage du theoreme concernant un polyn^ome annulateur scinde a racines simples... On va donc faire autrement en calculant le polyn^ome caracteristique deA.Pour tout2R,
A() = det(I4A) = det0
BB@1 0 0
32 0023
0 011 C CA On fait un developpement par rapport a la premiere ligne :
A() =det0
@2 0 23011 A (1)det0 @32 0 03 011 A =(37)3(23)