[PDF] Diagonalisation et trigonalisation



Previous PDF Next PDF









Polynésie - 9 septembre 2015

[Corrigé du baccalauréat S (spécialité) Polynésie \ A P M E P 9 septembre 2015 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 7 points Partie A 1 Soit u le nombrecomplexe 1−i





Centrale 2015 - PSI 2 un corrig e 1 R esultats pr eliminaires

Ainsi (un polyn^ome d’une variable est nul quand ses coe cients le sont) 8k2[0;d]; 8y2J; Q k(y) = 0 De la m^eme fa˘con, Q k est le polyn^ome nul et tous les coe cients k;l le sont P est donc le polyn^ome nul IA 2 P : (x;y) 7x2 + y2 1 est nul sur le cercle unit e, qui poss ede une in nit e d’ el ements, mais n’est pas le polyn^ome nul



Corrig e du devoir surveill e n

polyn^omes, donc d e nies et continues sur R Elles admettent donc des limites egales a leurs evaluations en tout point Par quotient de limites ne s’annulant pas, on a donc lim x1 f(x) = lim x1 x+ 1 x = 1 + 1 1 = 2 On peut donc prolonger par continuit e la fonction fen 1 avec f(1) = 2



M1CP3021 Maths alg ebre II 2015-2016

M1CP3021 Maths alg ebre II 2015-2016 TD2 - Rappel d’alg ebre lin eaire - Corrig e Exo 7 1) Il s’agit d’un simple calcul matriciel On ecrit



MATHEMATIQUES CONCOURS COMMUN

Mardi 3 Mars 2015 Dur ee : 4 heures MATHEMATIQUES CONCOURS COMMUN Le polyn^ome L n est la d eriv ee n-i eme du polyn^ome P n 1 Calculer L 0, L 1, L 2 2 D



Diagonalisation et trigonalisation

1 Valeurs propres, vecteurs propres et polyn^ome caract eristique Ed esigne un espace vectoriel de dimension nie n, le corps est K = R ou C Si u2L(E) on notera en g en eral A= Mat B(u) la matrice de udans la base canonique De nition 1 1 Soit u2L(E) On dit que 2K est valeur propre de usi 9x2E, x6= 0 , t q u(x) = x



Mathem atiques - École Normale Supérieure

Licence de Physique, L3 - Universit e Paris Diderot 7 2014-2015 Mathem atiques examen nal du lundi 5 janvier 2015 Les di er ents probleme s sont inde pendants Duree de l'examen : 3h Des re ponses concises mais preci ses sont demandee s 1 Question de cours 1 Expliciter le the oreme de Cauchy 2 Contours circulaires Calculer : 1 R z (z 2 +1

[PDF] pondichery 2015 maths

[PDF] correction bac maths 2015

[PDF] bac s amerique du sud 2016 physique

[PDF] bac amerique du sud 2016 maths

[PDF] pompage optique

[PDF] spé physique adoucissement et dessalement correction

[PDF] labolycee lidar

[PDF] que faire après un bac s si

[PDF] sujet bac s histoire 2011

[PDF] sujet bac s histoire 2012 epreuves anticipees

[PDF] sujet bac histoire 2007 s

[PDF] sujet bac histoire 2012 1ere s

[PDF] bac s histoire 2012 metropole

[PDF] sujet bac histoire 2009

[PDF] liban 2016 maths

Diagonalisation et trigonalisation

Algebre et analyse fondamentales - Paris 7 - O. Bokanowski - Septembre 2015 Pour ce cours il est important de conna^tre le theoreme donnant les divers criteres de diago- nalisation des endomorphismes, (savoir calculer les sous-espaces propres d'un endomorphisme), le theoreme de Caylay-Hamilton, le theoreme de trigonalisation, et de savoir les pratiquer sur des exemples de taille 2, 3, eventuellement 4. On ne demande pas de conna^tre les demonstrations de ces theoremes, mais par contre de savoir les appliquer (diagonaliser ou trigonaliser sur des exemples simples de taille4). En complement (hors programme) : le theoreme de Jordan en rapport avec la trigonalisation.

1 Valeurs propres, vecteurs propres et polyn^ome caracteristique

Edesigne un espace vectoriel de dimension nien, le corps estK=RouC. Siu2 L(E) on notera en generalA=MatB(u) la matrice deudans la base canonique. Denition. 1.1.Soitu2 L(E). On dit que2Kest valeur propre deusi9x2E,x6= 0, t.q. u(x) =x. On note(u)l'ensemble des valeurs propres deu. Denition. 1.2.Pour2(u), on noteEle sous espace propre correspondant E x2E; u(x) =x

Ker(uId)

On note queEest un sous-espace vectoriel stable paru:u(E)E. (Pour =2(u) on auraitE=f0g.) Denition. 1.3.1) On appelle polyn^ome caracteristique de la matriceAle polyn^ome P

A(x) =det(AxI):

2) On notera aussi ce polyn^omePu(x).

La denition dePu(x) ne depend pas du choix de la base : siA=PBP1alorsPA(x) = P B(x). Premieres proprietes :PA(x)2Kn[x],coef(xn) = (1)n,coef(xn1) = (1)n1Tr(A), coef(1) =det(A).

Proposition. 1.4.valeur propre deA,PA() = 0

Proposition. 1.5.Les sous espaces propresEisont en somme directe : pour tout(1;:::;r) distincts dans(u), E

1++Ep=E1 Ep:

Exemple 1:A=aIaveca2K:PA(x) = (ax)n.

Exemple 2: SoitRmatrice de la rotation d'angle:

R =cos()sin() sin() cos() 1 On calculjRxIj= (xcos())2+sin()2. Pour sin()6= 0, il n'y a pas de valeur propre dansR. par contre on trouve dansCles valeurs propresei, et les sous espace propres correspondants E ei=C1 i Exemple 3: Soiturepresente dans la base canonique par la matrice suivante : S =cos() sin() sin()cos()

On trouve deux valeurs propres1. Soitv1=cos(=2)

sin(=2) , etv2=sin(=2) cos(=2) . On constate queE1=V ect(v1) etlE1=V ect(v2). Dans la baseF= (v1;v2),MatF(u) =1 0 01 . On constate de plus que la baseFest orthonormee. Cette matrice est la symetrie orthogonale par rapport a la droite vectorielle d'angle=2. Denition. 1.6(Sous-espaces stables).SoitFun sev deE. On dit queFest stable parusi u(F)F. On note alorsv=ujF2 L(F)l'endomorphisme deFt.q.v(x) =u(x)8x2F.

Proposition. 1.7.Siu(F)FalorsPujF(x)divisePu(x).

Preuve :Siu(F)F, on peut choisir une base (f1;:::;fp) deFet la completer par f p+1;:::;fnpour obtenir une base deE. On constate alors que la matrice deudansFest triangulaire superieure par blocs : Mat

F(u) =B11B12

0B22 ouB112Mp(K),B222Mnp(K). Le blocB11est la representation matricielle de l'operateur v=ujFdans la base (f1;:::;fp). En particulier,9P2GLn(K),

A=PB11B12

0B22 P 1 Dans ce cas on voit quePA(x) =PB11(x)PB22(x), etPB11(x)divisePA(x).2 DansF=E, de dimension dim(E), on constate quev=ujF=IdsurF, et donc que P v(x) = (x)dim(E). Corollaire. 1.8.Pour tout2(u),1dim(E)(), ou()est la multiplicite de dansPu(x). Denition. 1.9(Sous espace monogene).Pourx6= 0dansE, on note hxi=V ect(x;u(x);:::;uk(x);:::):quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5