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Polynésie - 9 septembre 2015

[Corrigé du baccalauréat S (spécialité) Polynésie \ A P M E P 9 septembre 2015 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 7 points Partie A 1 Soit u le nombrecomplexe 1−i





Centrale 2015 - PSI 2 un corrig e 1 R esultats pr eliminaires

Ainsi (un polyn^ome d’une variable est nul quand ses coe cients le sont) 8k2[0;d]; 8y2J; Q k(y) = 0 De la m^eme fa˘con, Q k est le polyn^ome nul et tous les coe cients k;l le sont P est donc le polyn^ome nul IA 2 P : (x;y) 7x2 + y2 1 est nul sur le cercle unit e, qui poss ede une in nit e d’ el ements, mais n’est pas le polyn^ome nul



Corrig e du devoir surveill e n

polyn^omes, donc d e nies et continues sur R Elles admettent donc des limites egales a leurs evaluations en tout point Par quotient de limites ne s’annulant pas, on a donc lim x1 f(x) = lim x1 x+ 1 x = 1 + 1 1 = 2 On peut donc prolonger par continuit e la fonction fen 1 avec f(1) = 2



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M1CP3021 Maths alg ebre II 2015-2016 TD2 - Rappel d’alg ebre lin eaire - Corrig e Exo 7 1) Il s’agit d’un simple calcul matriciel On ecrit



MATHEMATIQUES CONCOURS COMMUN

Mardi 3 Mars 2015 Dur ee : 4 heures MATHEMATIQUES CONCOURS COMMUN Le polyn^ome L n est la d eriv ee n-i eme du polyn^ome P n 1 Calculer L 0, L 1, L 2 2 D



Diagonalisation et trigonalisation

1 Valeurs propres, vecteurs propres et polyn^ome caract eristique Ed esigne un espace vectoriel de dimension nie n, le corps est K = R ou C Si u2L(E) on notera en g en eral A= Mat B(u) la matrice de udans la base canonique De nition 1 1 Soit u2L(E) On dit que 2K est valeur propre de usi 9x2E, x6= 0 , t q u(x) = x



Mathem atiques - École Normale Supérieure

Licence de Physique, L3 - Universit e Paris Diderot 7 2014-2015 Mathem atiques examen nal du lundi 5 janvier 2015 Les di er ents probleme s sont inde pendants Duree de l'examen : 3h Des re ponses concises mais preci ses sont demandee s 1 Question de cours 1 Expliciter le the oreme de Cauchy 2 Contours circulaires Calculer : 1 R z (z 2 +1

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TD2 - Rappel d'algebre lineaire - Corrige

Exo 7

1) Il s'agit d'un simple calcul matriciel. On ecrit

0 @1 1 1 123

2122231

A 0 @0 1 0 0 0 1 c0c1c21 A0 123

2122233132331

A =CtV ou l'on a utilise les trois formules3i=c0c1ic22iaveci2 f1;2;3g. On a : 0 10 0 020 0 031 A 0 @1 1 1 123

2122231

A0 123

2122233132331

A =tV

2) Pour calculer det(V), on va eectuer des operations sur les lignes : on remplace la

ligne L2 par L2-L1, et de m^eme L3 par L3-L1. Cela donne det(V) =

112112221323

112102122210312321

1121021(21)(2+1)

031(31)(3+1)

On remarque que les nouvelles lignes L2 et L3 se factorisent respectivement par21 et31. Cela donne det(V) = (21)(31)

11210 12+1

0 13+1

On peut alors developper par rapport a la premiere colonne pour obtenir det(V) = (21)(31)12+1 13+1 = (21)(31)(32): Cette forme factorisee met en evidence que det(V)6= 0 si et seulement si les trois nombres1;2et3sont distincts deux a deux. 1

3) Dans le cas ou les trois nombresisont distincts deux a deux, la matriceVest

inversible (car det(V)6= 0). D'apres la question a), on a det(CtV) = det(tV). Or, on a det(CtV) = det(C)det(tV) = det(C)det(V) (on a utilise la multiplica- tivite du determinant et l'invariance par transposition du determinant). De m^eme, on a det( tV) = det(tV)det() = det(V)123. En combinant cesegalites avec det(V)6= 0, on obtient det(C) =123. Il nous reste a exprimer123en fonction de (c0;c1;c2). Pour cela on rappelle que

1;2et3sont racines du polyn^omeX3+c2X2+c1X+c0= (X1)(X2)(X3).

Le coecient constant est exactementc0=123.

Finalement, det(C) =c0(on aurait pu obtenir ce calcul directement en developpant det(C) par rapport a sa premiere colonne!). 2/2quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5