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Représentation des nombres réels Page 2 Eduardo Sanchez Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Représentation des nombres réels Un nombre réel est représenté en décimal sous la forme: d md m-1 d 1d 0 d-1d-2 d-n où la valeur du nombre est: Par exemple, 12 34 10 représente le nombre: 1x101+2x100+3x10-1+4x10-2 = 12 34/100 En
INFO 6 Représentation informatique des nombres réels
INFO 6 Représentation informatique des nombres réels Nous avons vu que Python manipule les entiers relatifs avec une précision infinie (mais limitée par la mémoire) à partir de représentations binaires de ces nombres Il n’en est plus de même avec les réels qui ne sont pas tous représentables en ma-chine
Représentation des réels
En effet, les nombres théoriques et leur représentation binaire sont congrus modulo 2n De plus, l’oubli De plus, l’oubli des retenues portant sur les bits non représentés (au delà du n e ) n’affecte par le résultat modulo 2 n
Représentation des nombres
des réels ) Par exemple : - les nombres trop grands : 2 0**(1024) - les nombres trop proches de zéro : 2**(-1100) - tous ceux qui n'ont pas une écriture nie en base 2 - tous ceux qui ont une écriture nie mais trop longue en base 2 On essaie de les représenter par le oat le plus proche 4
Codage et représetation de linformation
Représentation des nombres réels Un nombre réel Un nombre réel est constitué de deux partie يرشعدو حيحص :نيمسق نم نوكم يقيقحلا
Introduction - الموقع الأول للدراسة في
•Nous avons un débordement si la somme de deux nombres positifs donne un nombre négatif •Ou la somme de deux nombres négatifs donne un Nombre positif •Il y a jamais un débordement si les deux nombres sont de signes différents 1 Négatif Positif 0 1 0 2 La représentation des nombres réels
AIII Représentation des nombres en informatique
A III Représentation des nombres en informatique Comprendre comment sont représentés les nombres en informatique vous permettra peut-être un jou d’évite de po te la esponsabilité de l’explosion d’une fusée comme Aiane 5, dont l’explosion
PROBLÈMES D’ANALYSE I Nombres réels, suites et séries
sitaire Le choix et l’arrangement des thèmes et exercices étudiés permettent aux étudiants de travailler par eux-mêmes, mais les enseignants pourront le trouver utile pour organiser des travaux dirigés Ce volume couvre trois sujets : les nombres réels, les suites et les séries nu-mériques
Les nombres complexes - Partie I
Néanmoins, des équations très simples comme n'ont toujours pas de solutions dans cet ensemble des nombres réels qu'on croit si complet Nous allons donc dans ce chapitre résoudre cette équation en inventant un nouveau nombre imaginaire et construire ainsi un nouvel ensemble de nombres : l'ensemble des nombres complexes : 7
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Représentation des
nombres réelsPage 2
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Représentation des nombres réels
Un nombre réel est représenté en décimal sous la forme: d m d m-1 ...d 1 d 0 .d -1 d -2 ...d -n où la valeur du nombre est:Par exemple, 12.34
10 représente le nombre: 1x10 1 +2x10 0 +3x10 -1 +4x10 -2 = 12 34/100 En conséquence, en décimal on ne peut représenter exactement que des nombres fractionnaires de la forme X/10 k m niii dd10Page 3
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En binaire, nous avons:
b m b m-1 ...b 1 b 0 .b -1 b -2 ...b -n où la valeur du nombre est:Par exemple, 101.11
2 représente le nombre: 1x2 2 +0x2 1 +1x2 0 +1x2 -1 +1x2 -2 = 5 3/4 En conséquence, en binaire on ne peut représenter exactement que des nombres fractionnaires de la forme X/2 kExemples:
1/3 = 0.0101010101[01]
21/10 = 0001100110011[0011]
2 b=2 i b i i=nmPage 4
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Passage à binaire d"un nombre réel en base 10:0.375 = ?
0.375x2 = 0.75
0.75x2 = 1.5
0.5x2 = 1.0
0.375 = 0.011
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0.3 = ?
0.3x2 = 0.6
0.6x2 = 1.2
0.2x2 = 0.4
0.4x2 = 0.8
0.8x2 = 1.6
0.6x2 = 1.2
0.3 = 0.01001[1001]
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Codage binaire des nombres réels
Le codage sur un nombre n de bits, ?xe, implique un nombre ?ni de valeurs:les calculs sont nécessairement arrondis
il y a des erreurs d"arrondi et de précision On ne peut plus faire les opérations de façon transparente -34.9803 = -0.349803x10 2 signe mantisse exposantPage 7
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Un même nombre réel peut être écrit de di?érentes façons. Par exemple:0.110x2
5 = 110x2 2 = 0.0110x2 6 Pour éviter des représentations di?érentes du même nombre, la mantisse est normalisée. Dans la convention la plus courante, un nombre binaire normalisé di?érent de zéro a la forme:±1.bbb...bx2
±e Comme, sous cette forme, le bit le plus signi?ant est toujours égal à 1, il n"est pas nécessaire de le coder: il est implicitePage 8
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Exemple:
supposons la représentation suivante: signe exposant mantisse00111011
+1101.1 = +1.1011x23
10010010
-10.0101 = -1.00101x2 1Page 9
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Problème: sous cette forme, il est impossible de coder le nombre zéro Solution: le nombre zéro est représenté avec tous les bits à 0. Avec la représentation de l"exemple précédent, nous avons: 0.0 =0 000 0000
Par extension, tous les nombres avec exposant égal à 0 sont dits non normalisés: le bit à gauche du point décimal est égal à 0 et non pas à 1, comme c"est le cas pour les autres nombres, normalisés Nous reviendrons plus tard sur les nombres non normalisésPage 10
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Problème: comment représenter le nombre 1.0? Problème: comment représenter les exposants négatifs? Comme un exposant est un nombre entier signé, une solution serait de le représenter en complément à 2. Ce n"est toutefois pas la solution choisie... En général, l"exposant est représenté de façon biaisée: une constante, le biais, doit être soustrait de la valeur dans le champ pour obtenir la vraie valeur de l"exposant: champ exposant = exposant + biaisTypiquement, la valeur du biais est 2
k-1 -1, où k est le nombre de bits du champ de l"exposant Toutefois, les deux valeurs extrêmes du champ exposant sont réservées pour des cas particuliers: 00...00: pour les nombres non normalisés (0X<1) 11..11: pour in?ni (positif et négatif) et NaN (not a number)Page 11
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Exemple:
si k=4, la valeur du biais sera 7, l"exposant pourra avoir une valeur entre -2 3 +1 et 2 3 , et la valeur représentée dans le champ exposant sera exposant+biais où les valeurs -7 et 8 de l"exposant sont réservées pour les cas spéciaux (nombres non normalisés et in?ni, respectivement) Cette représentation facilite la comparaison entre deux nombres et permet la représentation des nombres 0.0 et 1.0 champ exposant exposant champ exposant exposant0000 non normalisé 1000 1
0001 -6 1001 2
0010 -5 1010 3
0011 -4 1011 4
0100 -3 1100 5
0101 -2 1101 6
0110 -1 1110 7
0111 0 1111 in?ni
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Exemple:
supposons la représentation suivante: signe exposant mantisse01101011
6-3=3 +1.1011x2 3 +1101.1 = 13.510quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41