Représentation des nombres - Polytechnique Montréal
Représentation des nombres réels Définition Soitx,unnombreréel Onnote (x) sareprésentationennotation flottanteàn chiffresdéfiniepar (x) = 0;d 1 d 2 d 3:::d n b‘ Remarques : Laconditionsurd 1 permetd’assurerl’unicitédelareprésentation Lamantissesatisfait 1 b m
Représentation des nombres - HEIG-VD
Représentation des données ARO1 - 2017 - APE & CPN & RMQ 'RQQpHV &DUDFWqUH1XPpULTXH (QWLHUV 5pHOV 1RQ VLJQpV 6LJQpV Représentation des nombres entiers Les instructions des ordinateurs traitent des nombres de taille fixe : 4, 8, 16, 32 ou 64 bits Avec un nombre composé de n bits, on ne peut représenter que 2n valeurs entières différentes
Représentation des nombres entiers
Représentation des nombres entiers signés •Le choix entre des conventions •Le constructeur de la machine •Éventuellement par le programmeur •Langage C • i n t – 2 octets, complément à 2 • u n s i g n e d s h o r t – 8 bits, non signé
Représentation des nombres
2 Représentation des réels 2 1 Principe 2 1 1 Le type oat En Python, ' oat' ou ' oat64' (double-précision) : les nombres sont représen-tés sur 64 bits ( 8 octets ) ; attention, byte ’ octet - 1 bit pour le signe "- 11 pour l'exposant e - 52 pour la mantisse m, 1 m < 2 x = ":m:2e m = 1+ X52 k=1 a k 2k On constate que si x > 0, e = blog 2
AIII Représentation des nombres en informatique
Après avoir vu les limites de la représentation des entiers naturels et une possibilité de représenter des entiers relatifs, nous aborderons donc la représentation associée à la norme IEEE 754 des nombres à virgule flottante pour représenter les réels en binaire A III 2 a Nombres entiers naturels
Représentation des nombres - Exo7
Représentation des nombres Vidéo — partie 1 Représentation des nombres entiers en base 2 Vidéo — partie 2 Le binaire en Python Vidéo — partie 3 Les bases 8 et 16 Objectifs • Savoir ce que sont les représentations de nombres entiers en base 2, 8 et 16 • Savoir convertir un nombre entier dans l’une de ces bases
3 Representer des entiers en binaire - Université Laval
Nombres entiers signés • Premier essai: représentation « signe et magnitude » • Le premier bit (à gauche) est le signe: 0 = positif, 1 = négatif • Le reste est la magnitude • Exemple (4 bits): 1101b = (-1) x (4 + 1) = -5 • Combien de nombres peut-on représenter? Entiers signés 39
Exercice 1 Représentation des nombres
DS 2 d’informatique - MPSI - 14/12/2020 L’usage de la calculatrice est interdit Exercice 1 Représentation des nombres Soitn 2J 2 63;2 1K
Représentation des nombres flottants
IFT2880 Organisation des ordinateurs et systèmes Calcul en virgule flottante: Addition •Nombres doivent être alignés : avoir les mêmes exposants (le plus élevé pour protéger la précision) •Additionner mantisses Si overflow, ajuster l’exposant •Ex 0 51 99718 (e = 1) et 0 49 67000 (e = -1) •Aligner les nombres: 0 51 99718 0 51
[PDF] mantisse exposant binaire
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IFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Représentation des nombres entiers
1 34197652993002
477666
11011011011011
A99ACF
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Introduction aux systèmes informatiques
Représentation des données
Données
Non Numériques
Numériques
Nombres entiersNombres flottants
Valeur signée
Complément à 2
Codage DCB (Décimal Codé Binaire)
Norme IEEE 754
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Introduction aux systèmes informatiques
Représentation des données
•Toutes les données sont stockées sous forme binaire de tailles différentes •Ces données peuvent être interprétées pour représenter des données de différents types et formats via un langage de programmation •float, char, bool, int, etc.IFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Représentation des nombres
•L'arithmétique utilisée par les ordinateurs •Précision finie (et fixe) •Limitations •Une notation binaire •Représentation s'effectue selon une chaîne binaire d'une longueur fixée à n bits •Sur 8 bits, 16 bits ...IFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Entier
•Pas de partie fractionnaireExemples: -2022
-213 0 1 66654323434565434
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Introduction aux systèmes informatiques
Représentation des nombres entiers
signés •Conventions •Valeur signée •Codage DCB (Décimal Codé Binaire) •Complément à 1 •Complément à 2IFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Représentation des nombres entiers
signés •Le choix entre des conventions •Le constructeur de la machine •Éventuellement par le programmeur •Langage C •int - 2 octets, complément à 2 •uns ign ed sh ort - 8 bits, non signéIFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Entiers positifs
•Représentation des entiers positifs •Un approche évident •Codage en binaire •8 bits => 256 valeurs •32 bits =>4294967296 valeurs
Bits les plus
significatifs (31-24)Bits 23-16
Bits 15-8
Bits les mois
significatifs (7-0)Donnée suivante
Mémoire
M M+1 M+2 M+3 M+41 octet
bit bit31 24 23 16 15 8 7 0
Mot de données de 32 bits
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Introduction aux systèmes informatiques
En Général (binaire)
2 n - 1MaxMin
0 nBinaire
Nombre de bits
Important !!
de 0 à (2 n - 1) => 2 n valeurs différentes !IFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Convention du codage DCB
•Décimal Codé Binaire •Chaque chiffre du nombre N 10 est codé par sonéquivalent binaire
•10 valeurs différentes •4 bits •Le codage du signe peut suivre différentes conventions •+ : 1011 2 •- : 1101 2IFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Convention du codage DCB
•Exemple +7710 : 1011 0111 0111 2 -77 10 : 1101 0111 0111 2 •Préféré pour certaines applications (affaires) où il est nécessaire d'avoir une représentation exacte du nombre décimal •Conversion DCBcaractère est facile + 7 7
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Introduction aux systèmes informatiques
Intervalles de formats de données
Etc.0 - 9990 - 9999990 - 16,777,21524
0 - 990 - 99990 - 65,53516
0 - 5119
0 - 90 - 990 - 2558
0 - 1277
0 - 636
0 - 315
0 - 90 - 154
0 - 73
0 - 32
0 - 11
ASCIIBCDBinaireNb. de bits
Le nombre de valeurs codées en DCB est moins important qu'en binaireIFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Convention du codage DCB
•Inconvénients •Codage ne se prête pas directement aux opérations arithmétiques •Résultat - un code binaire sans signification •L'arithmétique en DCB est plus difficile qu'en binaire et plus lente76 0111 0110
bcd convertir les sommes partielles x 7 0111 bcd42 101010
bin 0100 0010 bcd49 110001
bin +0100 1001 bcd 4 132 0100 1101 0010
13Aajuster la retenue convertir 13 +0001 0011
en DCB532 0101 0011 0010
= 532 en DCBIFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Convention de la valeur signée
•Réserver un bit pour le signe (le bit le plusà gauche); les autres bits codent la valeur
absolue du nombre •0 = " + » et1 = " - » •Représentation de +5 et -5 en valeur signée sur 6 bits +5:0 0 0 1 0 1 +5 -5: 1 0 0 1 0 1 -5IFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Convention de la valeur signée
•Difficultés: Deux représentations de la valeur zéro •Représentation en valeur signée sur 6 bits •0: 000 000 => +0 •0: 100 000 => -0 •La réalisation d'une opération de type soustraction nécessite un circuit particulier différent de celui permettant la réalisation des additions •Le système doit tester à la fin de chaque calcul pour assurer qu'il n'y a qu'un seul zéroIFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Intervalles des nombres
Intervalle en base 10
Etc.31-316306
15-153105
7-71504
3-3703
1-1302
101MaxMaxMinMin
Valeur signéeNon signé
Longueur de la
chaîne de bits La moitié des codes est affectée au nombres positifs et l'autre moitié au nombres négatifsIFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Convention de la valeur signée
2 n-1 - 1MaxMin
-(2 n-1 - 1) nValeur signée
Nombre de bits
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Introduction aux systèmes informatiques
Convention du complément
•Complément: soustraire une valeur de la valeur base •Complément à 1(restreint ou logique) •Complément à 9 •Complément à 2 (vrai) •Complément à 10IFT1215
Introduction aux systèmes informatiques
Complément logique
•En base 10 •Supposons •3 digits décimaux •Diviser l'intervalle de représentation •5xx, 6xx, 7xx, 8xx, 9xx - nombres négatifs •Complément 999-Nombre500 999 0 499
-499 10 -0 10 0 10 49910
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Introduction aux systèmes informatiques
Complément logique
•Complément à 9 •Représenter -467 10 en complément à 9 (3 digits)? 999-467 -467 10 532 532
•Représenter -467 10 en complément à 9 (4 digits)? 9999
- 467 -467 10 9532 9532
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Introduction aux systèmes informatiques
Complément logique
•Complément à 9 •Quelles sont la valeur du signe et la magnitude de 9990 lorsque celui-ci est une représentation en complément à 9 sur 4 digits? •Le premier digit est supérieur à 4, donc signe négative 9999-9990 0009 Donc, 9990 en complément à 9 sur 4 digits représente: -9
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Introduction aux systèmes informatiques
Add / Sub en complément à 9
500 999 0 499
-499 10 -0 10 0 10 4510 103
10 499
10 +58