[PDF] Représentation des nombres flottants

Représentation des nombres - Polytechnique Montréal

Représentation des nombres réels Définition Soitx,unnombreréel Onnote (x) sareprésentationennotation flottanteàn chiffresdéfiniepar (x) = 0;d 1 d 2 d 3:::d n b‘ Remarques : Laconditionsurd 1 permetd’assurerl’unicitédelareprésentation Lamantissesatisfait 1 b m

Représentation des nombres - HEIG-VD

Représentation des données ARO1 - 2017 - APE & CPN & RMQ 'RQQpHV &DUDFWqUH1XPpULTXH (QWLHUV 5pHOV 1RQ VLJQpV 6LJQpV Représentation des nombres entiers Les instructions des ordinateurs traitent des nombres de taille fixe : 4, 8, 16, 32 ou 64 bits Avec un nombre composé de n bits, on ne peut représenter que 2n valeurs entières différentes

Représentation des nombres entiers

Représentation des nombres entiers signés •Le choix entre des conventions •Le constructeur de la machine •Éventuellement par le programmeur •Langage C • i n t – 2 octets, complément à 2 • u n s i g n e d s h o r t – 8 bits, non signé

Représentation des nombres

2 Représentation des réels 2 1 Principe 2 1 1 Le type oat En Python, ' oat' ou ' oat64' (double-précision) : les nombres sont représen-tés sur 64 bits ( 8 octets ) ; attention, byte ’ octet - 1 bit pour le signe "- 11 pour l'exposant e - 52 pour la mantisse m, 1 m < 2 x = ":m:2e m = 1+ X52 k=1 a k 2k On constate que si x > 0, e = blog 2

AIII Représentation des nombres en informatique

Après avoir vu les limites de la représentation des entiers naturels et une possibilité de représenter des entiers relatifs, nous aborderons donc la représentation associée à la norme IEEE 754 des nombres à virgule flottante pour représenter les réels en binaire A III 2 a Nombres entiers naturels

Représentation des nombres - Exo7

Représentation des nombres Vidéo — partie 1 Représentation des nombres entiers en base 2 Vidéo — partie 2 Le binaire en Python Vidéo — partie 3 Les bases 8 et 16 Objectifs • Savoir ce que sont les représentations de nombres entiers en base 2, 8 et 16 • Savoir convertir un nombre entier dans l’une de ces bases

3 Representer des entiers en binaire - Université Laval

Nombres entiers signés • Premier essai: représentation « signe et magnitude » • Le premier bit (à gauche) est le signe: 0 = positif, 1 = négatif • Le reste est la magnitude • Exemple (4 bits): 1101b = (-1) x (4 + 1) = -5 • Combien de nombres peut-on représenter? Entiers signés 39

Exercice 1 Représentation des nombres

DS 2 d’informatique - MPSI - 14/12/2020 L’usage de la calculatrice est interdit Exercice 1 Représentation des nombres Soitn 2J 2 63;2 1K

Représentation des nombres flottants

IFT2880 Organisation des ordinateurs et systèmes Calcul en virgule flottante: Addition •Nombres doivent être alignés : avoir les mêmes exposants (le plus élevé pour protéger la précision) •Additionner mantisses Si overflow, ajuster l’exposant •Ex 0 51 99718 (e = 1) et 0 49 67000 (e = -1) •Aligner les nombres: 0 51 99718 0 51

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Représentation des nombres

flottants

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Notation exponentielle

Le point décimal "flotte"

(ajustement approprié de l'exposant). •Représentations équivalentes dans la base 10 de 1,234

123 ,40 0.0 x 10

-2

12 ,34 0.0 x 10

-1

1,2 34. 0 x 1 0

0

12 3.4 x 10

1

1 2.3 4 x 10

2

1.2 34 x 10

3

0.1 234 x 10

4

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Éléments de la notation

exponentielle -0. 987 6 x 1 0 -3

Signe de

la mantisse

Position du

point décimal

Mantisse

Exposant

Signe de

l'exposant Base

Base de système du nombre!

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Représentation normalisée

•Un nombre représenté en virgule flottante est normalisé s'il est sous la forme: •± 0,M * X ±c •M - un nombre dont le premier chiffre est non nul •Exemple: •+ 59,4151 * 10 -5

Normalisé: +0,594151 * 10

-3

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Représentation de l'exposant et de

son signe •L'exposant est translatée de manière à toujours coder en interne une valeur positive •Avec 2 digits réservés au codage de l'exposant •Les valeurs positives: [+0, +99] •En appliquant une translation k=50: •Les exposants représentables => [-50,49] •La constante k est appelée constante d'excentrement

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Représentation en virgule flottante

•Avec 2 digits réservés au codage de l'exposant avec un excentrement égal à 50 10 et 5 digits pour la mantisse on peut représenter • de .00001 x 10 -50

à .99999 x 10

49

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Overflows / Underflows

•De.00001 x 10 -50

à .99999 x 10

49

1 x 10

-55

à .99999 x 10

49

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Format typique

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Organisation des ordinateurs et systèmes

La norme IEEE 754

•Un format standardisé •Format simple précision: 32 bits •Bit du signe (1 bit) •Exposant (8 bits) •Mantisse (23 bits) •Format double précision: 64 bits •Bit du signe (1 bit) •Exposant (11 bits) •Mantisse (52 bits)

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Format simple précision

32 bits

Mantisse (23 bits)

Exposant (8 bits)

Signe de la mantisse (1 bit)

CSM en base 2, avec un bit caché à 1

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Format Double Précision

64 bits

Mantisse (52 bits)

Exposant (11 bits)

Signe de la mantisse (1 bit)

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Normalisation dans le format IEEE

754
•La mantisse est normalisé sous la forme •±1,M*2 ±c •Pseudo mantisse •Le 1 précédant la virgule n'est pas codé en machine et est appelé bit caché •Exemple: •Mantisse: •Représentation:

10100000000000000000000

1.1 01

2 = 1.6 25 10

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Organisation des ordinateurs et systèmes

IEEE 754, Représentation de

l'exposent •Constante k d'excentrement appliquée à l'exposant •Simple précision: +127 10 •Double précision: +1023 10 •L'exposant c codé en interne •±c + 127 10 •±c + 1023 10 •Ex., - k = 127 10 •Exposant: •Représentation:

10000111

2 135
10 - 12 7 10 = 8 10 (v ale ur)

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Représentation de l'exposant et de

son signe - Exemple -

Représentez l'exposant 14

10 avec un excentrement 127: 127
10 = + 01111111 2 14 10 = + 00001110 2

Représentation= 10001101

2

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Représentez l'exposant -8

10 avec un excentrement 127: 127
10 = + 01111111 2 - 8 10 = - 00001000 2

Représentation= 01110111

2

Représentation de l'exposant et de son

signe - Exemple -

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Exemple

•Simple précision

0 1 000 001 0 1 100 000 00 000 000 000 000 00

1.11 2 = 1.75 10

130 - 127 = 3

0 = mantisse positive

+1.75 × 2 3 = 14.0

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Exercice - Conversion en virgule

flottante IEEE 754 •Quelle est la valeur décimale des représentations internes suivantes? •Réponse:

1 1 000 001 0

11110110000000000000000

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Exercice - Conversion en virgule

flottante IEEE 754 •Quelle est la valeur décimale des représentations internes suivantes? •Réponse: -15.6875

1 1 000 001 0

11110110000000000000000

Réponse

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Organisation des ordinateurs et systèmes

1 1 000 001 0

11110110000000000000000

Solution

En décimal

130 - 127 = 31.11110110000000000000000000

1 + .5 + .25 + .125 + .0625 + 0 + .015625 +

.0078125

1.9609375

2 3 = 15.6875 - 15.6875 ( negatif )

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Organisation des ordinateurs et systèmes

1 1 000 001 0

11110110000000000000000

Solution : Méthode Alternative

En décimal

130 - 127 = 31.11110110000000000000000000

1111.10110000000000000000000

- 15.6875 ( negatif )

Décalez

"Point"

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Exercice - Conversion en virgule

flottante IEEE 754 •Quelle est la représentation interne du nombre 3.14 10 •Remarque: utiliser seulement les 10 chiffres significatifs pour la mantisse •Réponse:

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Exercice - Conversion en virgule

flottante IEEE 754 •Quelle est la représentation interne du nombre 3.14 10 •Remarque: utiliser seulement les 10 chiffres significatifs pour la mantisse •Réponse:

Réponse

0 1 000 000 0

10010001111000000000000

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Solution : 3.14 en IEEE Simple Précision

3.14 En Binaire (approx):

11.001000111101

•Normalisez (2 1 •Enlevez le bit caché

1001000111101

Exposant = 127 + 1

10000000

Valeur est positive: Bit de signe = 0

0 10000000 10010001111010000000000

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Organisation des ordinateurs et systèmes

IEEE 754 Simple Précision

Format (Résumé)

•Signe - 1 bit (0 - "+"; 1 - "-") •Exposant - 8 bits (excentrement-127) •Mantisse - 23 bits •Format binaire •Normalisation : 1.MMMM... •Bit caché sк M 1 M 2 ... M 23
signeexposentMantisse

189310

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Représentation du zéro, des infinis,

représentations dénormalisées •Le norme IEEE admet des codages spéciaux pour la représentation •0 •Représentations dénormalisées

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Représentation du zéro, des infinis,

représentations dénormalisées

Conditions

spéciales

Non 0±128

±∞±0±128

±2 E+127 * 1.MTout-126 - +127 ±2 -126 * 0.MNon 00

0±00

ValeurMantisseExposant

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Addition et soustraction de deux

nombres décimales en virgule flottante

Opérandes AlignementNormaliser et arrondir

6.144 ´10

2

0.06144 ´10

4

1.003644 ´10

5 +9.975 ´10 4 +9.975 ´10 4 + .0005 ´10 5

10.03644 ´10

4

1.004 ´10

5 Opérandes Alignement Normaliser et arrondir

1.076 ´10

-7

1.076 ´10

-7

7.7300 ´10

-9 -9.987 ´10 -8 -0.9987 ´10 -7 + .0005 ´10 -9

0.0773 ´10

-7

7.730 ´10

-9

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Calcul en virgule flottante: Addition

•Nombres doivent être alignés : avoir les mêmes exposants (le plus élevé pour protéger la précision) •Additionner mantisses. Si overflow, ajuster l'exposant •Ex. 0 51 99718 (e = 1) et 0 49 67000 (e = -1) •Aligner les nombres:0 51 99718

0 51 00670

•Additionner:99718 +00670

100388A Overflow

•Arrondir le nombre et ajuster l'exposant: 0 52 10039

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Calcul en virgule flottante: Multiplication

•(a * 10 e ) * (b * 10 f ) = a * b * 10 e+f •Règle: multiplier les mantisses; additionner les exposants But:Codage en excédent, (n + e) + (n + f) = 2 * n + e + f

8 Besoin soustraire constante d'excentrement n

a partir du résultat •Ex. 0 51 99718 (e = 1) and 0 49 67000 (e = -1)

Mantisses:.99718 * .67000 = 0.6681106

Exposants:51 + 49 = 100 and 100 - 50 = 50

Normaliser:.6681106  .66811

Résultat:.66811 * 10

0 (50 signifie e = 0)quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41