[PDF] AIII Représentation des nombres en informatique

Représentation des nombres - Polytechnique Montréal

Représentation des nombres réels Définition Soitx,unnombreréel Onnote (x) sareprésentationennotation flottanteàn chiffresdéfiniepar (x) = 0;d 1 d 2 d 3:::d n b‘ Remarques : Laconditionsurd 1 permetd’assurerl’unicitédelareprésentation Lamantissesatisfait 1 b m

Représentation des nombres - HEIG-VD

Représentation des données ARO1 - 2017 - APE & CPN & RMQ 'RQQpHV &DUDFWqUH1XPpULTXH (QWLHUV 5pHOV 1RQ VLJQpV 6LJQpV Représentation des nombres entiers Les instructions des ordinateurs traitent des nombres de taille fixe : 4, 8, 16, 32 ou 64 bits Avec un nombre composé de n bits, on ne peut représenter que 2n valeurs entières différentes

Représentation des nombres entiers

Représentation des nombres entiers signés •Le choix entre des conventions •Le constructeur de la machine •Éventuellement par le programmeur •Langage C • i n t – 2 octets, complément à 2 • u n s i g n e d s h o r t – 8 bits, non signé

Représentation des nombres

2 Représentation des réels 2 1 Principe 2 1 1 Le type oat En Python, ' oat' ou ' oat64' (double-précision) : les nombres sont représen-tés sur 64 bits ( 8 octets ) ; attention, byte ’ octet - 1 bit pour le signe "- 11 pour l'exposant e - 52 pour la mantisse m, 1 m < 2 x = ":m:2e m = 1+ X52 k=1 a k 2k On constate que si x > 0, e = blog 2

AIII Représentation des nombres en informatique

Après avoir vu les limites de la représentation des entiers naturels et une possibilité de représenter des entiers relatifs, nous aborderons donc la représentation associée à la norme IEEE 754 des nombres à virgule flottante pour représenter les réels en binaire A III 2 a Nombres entiers naturels

Représentation des nombres - Exo7

Représentation des nombres Vidéo — partie 1 Représentation des nombres entiers en base 2 Vidéo — partie 2 Le binaire en Python Vidéo — partie 3 Les bases 8 et 16 Objectifs • Savoir ce que sont les représentations de nombres entiers en base 2, 8 et 16 • Savoir convertir un nombre entier dans l’une de ces bases

3 Representer des entiers en binaire - Université Laval

Nombres entiers signés • Premier essai: représentation « signe et magnitude » • Le premier bit (à gauche) est le signe: 0 = positif, 1 = négatif • Le reste est la magnitude • Exemple (4 bits): 1101b = (-1) x (4 + 1) = -5 • Combien de nombres peut-on représenter? Entiers signés 39

Exercice 1 Représentation des nombres

DS 2 d’informatique - MPSI - 14/12/2020 L’usage de la calculatrice est interdit Exercice 1 Représentation des nombres Soitn 2J 2 63;2 1K

Représentation des nombres flottants

IFT2880 Organisation des ordinateurs et systèmes Calcul en virgule flottante: Addition •Nombres doivent être alignés : avoir les mêmes exposants (le plus élevé pour protéger la précision) •Additionner mantisses Si overflow, ajuster l’exposant •Ex 0 51 99718 (e = 1) et 0 49 67000 (e = -1) •Aligner les nombres: 0 51 99718 0 51

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A.III. Représentation des nombres en informatique Comprendre comment sont représentés les nombres en informatique vous permettra peut-être un faire et ne pas faire avec les nombres. Prenons un exemple simple. Calculons avec python :

ĞƌĠƐƵůƚĂƚĞƐƚƚƌğƐƐŝŵƉůĞ͕Ŷ͛ĞƐƚ-ce pas ?

Voyons de résultat sous Python :

Ou encore :

A.III.1 Code binaire

A.III.1.a Introduction

ŶŽƌĚŝŶĂƚĞƵƌŵĂŶŝƉƵůĞĚĞƐŝŶĨŽƌŵĂƚŝŽŶƐďŝŶĂŝƌĞƐ͕Đ͛ĞƐƚ-à-dire à deux états : 0 ou 1

Il est donc nécessaire de traduire un nombre du système en base 10 en un nombre binaire afin de

permettre à un système informatique de le manipuler.

Par exemple, le 10 de notre système en base 10 est représenté par le " nombre » 1010 en binaire.

On écrira :

Le principe est très simple. En base 10, on ajoute un nouveau chiffre ăĐŚĂƋƵĞĨŽŝƐƋƵĞů͛ŽŶĚĠƉĂƐƐĞůĂ

valeur 9͕ϵϵ͕ϵϵϵĞƚĐ͘ƉƵŝƐŽŶů͛ŝŶĐƌĠŵĞŶƚĞ͘ŶďŝŶĂŝƌĞ͕ŽŶĂũŽƵƚĞĐĞƚƚĞƌĞƚĞŶƵĞĚğƐƋƵĞů͛ŽŶĚĠƉĂƐƐĞůĂ

valeur 1. OUPS

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Ainsi, pour les 5 premiers entiers :

Base 10 Base 2

On appelle chaque information valant 1 ou 0 un " bit ». Un " mot » est une suite de " bits ». Un octet

est un mot de 8 bits.

Un nombre entier naturel codé sur ݊ bits permettra de représenter ʹ௡ valeurs différentes et pourra

donc au maximum correspondre à la valeur en base 10 de ʹ௡െͳ, le Ͳ étant inclus. Par exemple, un

nombre entier codé sur 8 bits donnera ʹͷ͸ valeurs différentes et ne pourra excéder ʹ଼െͳൌʹͷͷ. Ce

A.III.1.b ǯǯentier dans les bases 2 et 10

Prenons un exemple dans la base 10 :

Chaque chiffres (digit) 3, 5 et 2 correspond à une puissance de 10. En binaire, on respecte le même principe mais avec des puissances de 2 :

A.III.1.c Transcodage Entier ўBinaire

Soient :

- Un nombre en base 10 de digits ݀௜ ƚĞůƋƵ͛ŝůƐ͛ĠĐƌŝǀĞሺ݀௡݀௡ିଵǥ݀ଵ݀଴ሻଵ଴

- Un nombre binaire de digits ܾ௜ tel ƋƵ͛ŝůƐ͛ĠĐƌŝǀĞሺܾ௠ܾ௠ିଵǥܾଵܾ

Ecrivons :

Le transcodage Ě͛ƵŶĞŶƚŝĞƌ - Binaire/Base 10 consiste à trouver les digits ݀௜ connaissant les digits ܾ - Base 10/binaire consiste à trouver les digits ܾ

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A.III.1.c.i Binaire їEntier

Rien de plus simple, connaissant le nombre en binaire, il suffit de procéder à la somme de chacun de

ses digits pris de droite à gauche en multipliant par des puissances de 2 croissantes. Exemple :ͳͳͳͳͳͲͳͲͲͲሺଶሻ

A.III.1.c.ii Entier їBinaire

Par définition, les digits ܾ

Divisons ce nombre par 2 :

On a donc :

On trouve donc le dernier digit ܾ଴ comme reste de la division euclidienne de ܰ

De même, on a :

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Avec ݍ௠ൌͲ, il reste alors ܾ

Récapitulons :

Exemple : ͳͲͲͲሺଵ଴ሻ

1000 2

݊଴ൌ 0 500 2

݊ଵൌ 0 250 2

݊ଶൌ 0 125 2

݊ଷൌ 1 62 2

݊ସൌ 0 31 2

݊ହൌ 1 15 2

݊଺ൌ 1 7 2

݊଻ൌ 1 3 2

଼݊ൌ 1 1 2

݊ଽൌ 1 ૙

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A.III.1.d Transcodage Réel base 10 ўRéel base 2 En base 10, lorsque nous manipulons des nombres à virgule : - Les chiffres avant la virgule sont des puissances de 10 - Les chiffres après la virgule sont des puissances de 1/10

Exemple :

On peut exprimer ce nombre réel comme la somme de sa partie entière et de sa partie décimale :

En binaire, on va appliquer le même principe. Ainsi, le nombre ͳͲͳǡͲͳͳ représente le nombre :

Là aussi, on peut exprimer ce nombre comme somme de sa partie entière et sa partie décimale :

ŶƉŽƵƌƌĂƌĞŵĂƌƋƵĞƌƋƵ͛ŝůLJĂĐŽŶĐŽƌĚĂŶĐĞĞŶƚƌĞpartie entière et partie décimale entre les deux

écritures :

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A.III.1.d.i Réel base 2 їRéel Base 10

Pour transcoder un nombre binaire réel en nombre réel en base 10͕Đ͛ĞƐƚƚrès simple maintenant que

ů͛ŽŶĂĐŽŵƉƌŝƐůĞƉƌŝŶĐŝƉĞĚĞů͛ĠĐƌŝƚƵƌĞĚ͛ƵŶŶŽŵďƌĞďŝŶĂŝƌĞ réel.

Ecrivons un nombre binaire réel sous la forme :

Avec ܾ௜ et ܿ

On a alors :

A.III.1.d.ii Réel base 10 ї Réel base 2

Soit un nombre réel en base 10 de la forme : ݔൌሺ݁௡ǥ݁଴ǡ݂ଵǥ݂௠ሻଵ଴

Séparons partie entière et partie décimale : ܧ݊ݐൌ݁௡ǥ݁଴Ǣܦ݁ܿ

Partie entière binaire

Pour trouver la partie entière du nombre binaire associé, il suffit de transcrire le nombre entier ܧ

en binaire.

Partie décimale binaire

Concernant sa partie décimale, prenons un exemple pour comprendre :

Pour obtenir le chiffre des dixièmes, on prend la partie entière de ͳͲݔ, soit la partie entière de ͵ǡ͹ͷ.

On obtient le chiffre 3 et on définit un nouveau nombre correspondant à la partie décimale de ͵ǡ͹ͷ,

soit Ͳǡ͹ͷ͘ŶƌĠƉğƚĞĂůŽƌƐů͛ŽƉĠƌĂƚŝŽŶũƵƐƋƵ͛ăĐĞƋƵĞůĂƉĂƌƚie décimale soit nulle.

On va en binaire procéder de même mais en multipliant par 2. Ainsi :

Principe Présentation améliorée

Remarque ͗ŽŶǀĞƌƌĂĚĂŶƐƵŶĞƌĞŵĂƌƋƵĞĚĂŶƐůĂƐƵŝƚĞƋƵ͛ĞŶƉĂƐƐĂŶƚƉar une écriture scientifique

binaire, ce transcodage est aussi possible. Calculez ͲǡͲͳͳൌሺͳͳሻଶǤʹିଷ

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A.III.2 Représentation des nombres en machine

ĞƉƌŽŐƌĂŵŵĞĚ͛ůŝŵŝƚĞĐĞĐŚĂƉŝƚƌĞăůĂƌĞƉƌĠƐĞŶƚĂƚŝŽŶĚĞƐŶŽŵďƌĞƐréels en virgule flottante

normalisée sans traiter de cas particuliers. Après avoir vu les limites de la représentation des entiers

naturels et une possibilité de représenter des entiers relatifs, nous aborderons donc la représentation

associée à la norme IEEE 754 des nombres à virgule flottante pour représenter les réels en binaire.

A.III.2.a Nombres entiers naturels

ŽŵŵĞŶŽƵƐů͛ĂǀŽŶƐǀƵ͕ƵŶĞŶƚŝĞƌnaturel codé sur ݊ bits peut avoir une valeur décimale comprise

entre 0 et ʹ௡െͳ.

Les systèmes 32 bits présentent ʹଷଶെͳൌͶʹͻͶͻ͸͹ʹͻͷ valeurs entières différentes.

Les systèmes 64 bits présentent ʹ଺ସെͳൌͳǡͺͶͶ͸͹ͶͶͲͲ͹͵͹ͳכ

Comment manipuler des entiers plus grands ? Négatifs ? Ou encore des nombres réels ? A.III.2.b Nombres entiers relatifs Ȃ Codage par excès

par excès car il va nous servir pour le codage des nombres à virgule flottante abordé ensuite.

Le principe consiste à utiliser un entier ܰ

entiers relatifs ܼ

positifs (il est ŝŵƉŽƐƐŝďůĞĚ͛ĞŶĂǀŽŝƌĂƵƚĂŶƚde chaque côté car après avoir enlevé 0, il reste ʹ௡െͳ

termes à répartir, ce qui est une quantité impaire de chiffres).

Exemple sur 3 bits des deux solutions possibles :

On aura donc environ ଶ೙

ଶൌʹ௡ିଵ termes négatifs et ʹ௡ିଵ positifs. Il suffit donc de décaler le nombre entier naturel ܰ

soustraira ʹ௡ିଵെͳ͕ĐĞƋƵĞů͛ŽŶĂƉƉĞůůĞůĞͨ biais » du codage par excès :

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Exemple : Soit un entier naturel ܰ codé sur 8 bits devant coder des entiers relatifs. ܰ

les entiers naturels de 0 à ʹ଼െͳൌʹͷ͸െͳൌʹͷͷ. En décalant chaque valeur du biais valant ʹ௡ିଵെ

Entier naturel ܰ Entier relatif ܼ

0 -127

255 128

Il est ainsi possible de coder sur 8 bits des entiers relatifs associés à des entiers relatifs positifs et

ŶĠŐĂƚŝĨƐĐŽĚĠƐƐƵƌϳďŝƚƐ͕ĞƚĚ͛ƵŶĞŵĂŶŝğƌĞƉůƵƐŐĠŶĠƌĂůĞƐƵƌ݊ bits des entiers relatifs associés à des

entiers positifs et négatifs codés sur ݊െͳ bits.

A.III.2.c Nombres à virgule flottante

A.III.2.c.i Principe

Le principe de la norme IEEE 754 qui permet de représenter en binaire des nombres à virgule flottante

(on parle de flottants) est basé sur une représentation similaire à notre représentation scientifique.

En effet, en base 10, nous avons appris à représenter les nombres ainsi :

Pour stocker le moins Ě͛ŝŶĨŽƌŵĂƚŝŽŶƐƉŽƐƐŝďůĞĚĞĐĞŶŽŵďƌĞ͕ŽŶĠĐƌŝƚ :

Signe Caractéristique Mantisse Puissance

Partie significative

Remarques :

- Le signe vaut 0 ou 1

- La caractéristique est un chiffre de 1 à 9, elle ne peut pas être nulle car dans ce cas, la notation

En binaire, on va utiliser le même principe mais avec des puissances de 2 au lieu de puissance de 10.

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A.III.2.c.ii Ecriture " scientifique binaire »

ŽƵƐĂĚŵĞƚƚƌŽŶƐƋƵĞů͛on peut transformer un nombre binaire sous forme scientifique, par exemple :

Prenons deux exemples pour montrer que cela fonctionne :

Rappelons que : ሺͳǡͳሻଶൌͳǤʹ଴൅ͳǤʹିଵൌͳ൅ଵ

Remarque : Un pourra remarquer que la transcription de binaire à virgule à scientifique binaire peut

précédent : ሺͲǡͲͳͳሻଶൌሺͳͳሻଶǤʹିଷൌ͵ǤʹିଷൌሺͲǡ͵͹ͷሻଵ଴

A.III.2.c.iii Ecriture binaire du codage à virgule flottante

Signe Caractéristique Mantisse Puissance

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