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Math´ematique en Terminale S Les nombres complexes

Les nombres complexes Terminale S 4 4 Quotient de nombres complexes Soit z1 = x1 +iy1 et z2 = x2 +iy2 deux nombres complexes Alors : z1 z2 = z1 × 1 z2 = (x1 +iy1)(x2 − iy2) x22 +y22 = (x1 × x2 − y1 ×y2)+ i(x1 ×y2 + x2 ×y1) x22 +y22 Quotient En pratique, on utilise la r`egle suivante :on multiplie num´erateur et d´enominateur par le

Chapitre 4 Nombres complexes, fonctions et formules trigonom

Nombres complexes, fonctions et formules trigonom´etriques 4 1 Nombres complexes L’ensemble C des nombres complexes est C = {z = a+ib : a, b ∈ R} o`u i2 = −1 R ⊂ C D´efinition 4 1 1 On dit que l’´ecriture z = a+ib o`u a et b ∈ R, est la forme alg´ebrique de z Cette ´ecriture est unique

Les nombres complexes - MATHEMATIQUES

Egalité de deux nombres complexes sous forme algébrique Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et mêmes parties imaginaires Pour tous RÉELS a et b, a+ib = 0 ⇔ a = b = 0 Pour tous RÉELS a, a′, b et b ′, a+ib = a +ib′ ⇔ a = a′ et b = b′ Opérations dans C On calcule dans Ccomme

Nombres complexes – Fiche de cours

13 Nombres complexes et géométrie Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;u⃗;⃗v) Soient A, B, C et D des points du plan d’affixes zA, zB, zC et zD 3/4 Nombres complexes – Fiche de cours Mathématiques Expertes Terminale Générale - Année scolaire 2020/2021 https://physique-et-maths

Chapitre 5 : Nombres complexes - David Caffin

Chapitre 5 : Nombres complexes I – L’ensemble C 1 Définition 2 Rappels de Terminale 3 Compléments a Inégalité triangulaire b Disques ouverts et fermés c Colinéarité et orthogonalité de deux vecteurs 4 Transformations du plan a Généralités b Ecriture complexe II – Groupe des nombres complexes de module 1 1 Le groupe U 2

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1) Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle : a) 1 z =−2i b) z 2 =−5 2) Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme algébrique : a) z 3 =e i 6 b) z 4 =4e i 4 Attention • Inversement, toute expression du type z = z = r eiθ où r est un réel n'est reconnue comme écriture

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Chapitre 1 Rappels sur les suites 1 Définition On peut définir une suite (un):• De façon explicite : un = f(n) • De façon récurrente : – à un terme : u0 et un+1 = f(un)

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Mathématiques

Terminale S

Tout ce qu"il faut savoir

Paul Milan

Table des matières

1 Rappels sur les suites4

1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Visualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Raisonnement par récurrence. Limite d"une suite 6

1 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 6

2 Limite d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

4 Convergence d"une suite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Étude d"une fonction (chap. 3 à 6)10

1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Fonctions exponentielle et logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 14

7 Les fonctions sinus et cosinus18

1 Équation trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Signe des fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18

3 Propriétés des fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 18

4 Dérivées et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19

5 Variations et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19

6 Fonctions sin(ax+b) et cos(ax+b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 19

7 Application aux ondes progressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20

8 Intégrales et primitives22

1 Aire sous une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Propriétés de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 24

9 Les nombres complexes26

1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Vecteur, alignement et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 27

2

TABLE DES MATIÈRES

10 Probabilités conditionnelles. Loi binomiale28

1 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 29

3 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30

4 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

11 Lois à densité. Loi normale32

1 Lois à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

12 Statistiques36

1 Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Prise de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

3 Estimation - Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 36

13 Géométrie dans l"espace. Vecteurs et produit scalaire. 38

1 Relations entre droites et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 38

2 Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

3 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Vecteurs dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

5 Coplanarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6 Dans un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Représentation paramétrique d"une droite et d"un plan . . . . . . . . . .. . . 40

8 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

9 Équation cartésienne d"un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

10 Section d"un cube par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

11 Volume d"une pyramide et d"une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 42

3

Chapitre 1

Rappels sur les suites

1 Définition

On peut définir une suite(un):

•De façon explicite :un=f(n).

•De façon récurrente :- à un terme :u0etun+1=f(un) - à deux termes :u0etu1etun+2=f(un+1,un)

•Par une somme de termes :un=n∑

k=0T n

2 Variation

Pour connaître les variations d"une suite(un), on étudie :

•Le signe de :un+1-un

•Si les termes sont strictement positifs positifs, on peut comparerde rapport :un+1unà 1.

•Si la suite est définie de façon explicite, on peut aussi étudier le signe de la dérivée de la

fonction associée.

3 Visualisation

Pour visualiser une suite définie par récurrence, on trace, la fonctionfet la droitey=xqui permet de reporter les termes sur l"axe des abscisses. 0.5 0.5

Ou0u1u2u3u

4u 1u 2u 3u 4 y=x Cf

4 Programmation

Deux petits programmes pour programmer un terme particulier ou la liste des premiers termes d"une suite définie par récurrence : (on rentre la fonctionfà part,A=u0) 4

CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES SUITES

Variables

A,N,I,U,f(fonction)

Algorithme

LireA,N

A→U

PourIvariant de 1 àN

f(U)→U

FinPour

AfficherU

Variables

A,N,I,U,L1(liste),f(fonction)

Algorithme

LireA,N

A→U

ListeL1remis à 0

U→L1(1)

PourIvariant de 1 àN

f(U)→U

U→L1(I+1)

FinPour

AfficherL1

5 Suites arithmétiques

Définition :un+1=un+ret un premier terme.rest la raison

Propriété :un+1-un=Cte?n?N

Terme général :un=u0+nrouun=up+ (n-p)r

Somme des termes :1+2+3+···+n=n(n+1)

2 S n=u0+u1+···+un= (n+1)×u0+un

2=Nbre de termes×Σtermes extrèmes2

6 Suites géométriques

Définition :un+1=q×unet un premier terme.qest la raison

Propriété :

un+1 un=Cte?n?N

Terme général :un=u0×qnouun=up×qn-p

Somme des termes :1+q+q2+···+qn=1-qn+1

1-q S n=u0+u1+···+un=u0×1-qn+1

1-q=1erterme×1-qNbre termes1-q

5

Chapitre 2

Raisonnement par récurrence.

Limite d"une suite

1 Raisonnement par récurrence

1.1 Axiome de récurrence

Définition 1 :Soit une propriétéPdéfinie surN. Si : •la propriété estinitialiséeà partir d"un certain rangn0

•la propriété esthéréditaireà partir d"un certain rangn0(c"est à dire que pour toutn?n0

alorsP(n)? P(n+1) Alors : la propriété est vraie à partir du rangn0

1.2 Exemple

Démontrer que, pour tout entier naturel, la suite(un)est définie par : u

0=1 etun+1=⎷

2+unest telle que 0 Initialisation: on au0=1 donc 0La fonctionfdéfinie parf(x) =⎷

x+2 est croissante car composée de deux fonctions croissantes

0

2

La propositionP(n)est héréditaire.

Conclusion :par initialisation et hérédité, la propositionP(n)est vraie pour toutn.

2 Limite d"une suite

Définition 2 :On dit que la suite(un)a pour limite?si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant?contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang.

On note alors : lim

n→+∞un=?et l"on dit que la suiteconvergevers? On dit que la suite(un)a pour limite+∞(resp.-∞) si, et seulement si, tout intervalle ]A;+∞[(resp.]-∞;B[) contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang.

On note alors : lim

n→+∞un= +∞resp. limn→+∞un=-∞ On dit que la suitedivergevers+∞(resp.-∞) 6 CHAPITRE 2. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. LIMITE D"UNE SUITE Soit trois suites(un),(vn)et(wn). Si à partir d"un certain rang, on a :

Théorème d"encadrement ou "des gendarmes"

v n?un?wnet si limn→+∞vn=limn→+∞wn=?alors limn→+∞un=?

Théorème de comparaison

•un?vnet si limn→+∞vn= +∞alors limn→+∞un= +∞ •un?wnet si limn→+∞wn=-∞alors limn→+∞un=-∞ Suites géométrique :soitqun réel. On a les limites suivantes :

•Siq>1 alors limn→+∞qn= +∞

•Siq=1 alors limn→+∞qn=1

•Si-1

•Siq?-1 alors limn→+∞qnn"existe pas

3 Opérations sur les limites

3.1 Limite d"une somme

Si(un)a pour limite???+∞-∞+∞

Si(vn)a pour limite??+∞-∞+∞-∞-∞ alors(un+vn)a pour limite?+??+∞-∞+∞-∞F. Ind.

3.2 Limite d"un produit

Si(un)a pour limite???=00∞

Si(vn)a pour limite??∞∞∞

alors(un×vn)a pour limite?×??∞F. ind.∞

3.3 Limite d"un quotient

Si(un)a pour limite???=00?∞∞

Si(vn)a pour limite???=000∞??∞

alors?unvn? a pour limite ??∞F. ind.0∞F. ind. 7 CHAPITRE 2. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. LIMITE D"UNE SUITE

4 Convergence d"une suite monotone

Définition 3 :On dit que la suite(un)estmajoréesi, et seulement si, il existe un réelM tel que :?n?Nun?M On dit que la suite(un)estminoréesi, et seulement si, il existe un réelmtel que : ?n?Nun?m Si(un)est majorée et minorée, on dit que la suite estbornée.

Divergence

•Si une suite(un)estcroissante et non majoréealors la suite(un)diverge vers+∞. •Si une suite(un)estdécroissante et non minoréealors la suite(un)diverge vers-∞.

Convergence

•Si une suite(un)estcroissante et majoréealors la suite(un)converge. •Si une suite(un)estdécroissante et minoréealors la suite(un)converge.

Théorème du point fixe

Soit une suite(un)définie paru0etun+1=f(un)convergente vers?. f(x) =x.

Exemple

Calculer la limite de la suite(un)définie paru0=1 etun+1=⎷ 2+un. On peut montrer par récurrence que la suite (un)est croissante et que pour toutn, 0? u n?2 La suite(un)est alors croissante et majorée par 2, elle est donc convergente vers une limite

La fonctionftelle que :f(x) =⎷

2+xest définie et continue sur]-2;+∞[. Comme la

suite(un)est convergente vers?, d"après le théorème du point fixe,?verifie l"équation?=⎷

2+?. En élevant au carré, on trouve :?2-?-2=0 qui admet deux solutions-1 et 2. Comme la suite(un)est positive, elle converge donc vers 2. 8 CHAPITRE 2. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. LIMITE D"UNE SUITE 9

Chapitre 3

Étude d"une fonction (chap. 3 à 6)

1 Limites

1.1 Somme

Sifa pour limite???+∞-∞+∞

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