[PDF] Nombres complexes – Fiche de cours

Math´ematique en Terminale S Les nombres complexes

Les nombres complexes Terminale S 4 4 Quotient de nombres complexes Soit z1 = x1 +iy1 et z2 = x2 +iy2 deux nombres complexes Alors : z1 z2 = z1 × 1 z2 = (x1 +iy1)(x2 − iy2) x22 +y22 = (x1 × x2 − y1 ×y2)+ i(x1 ×y2 + x2 ×y1) x22 +y22 Quotient En pratique, on utilise la r`egle suivante :on multiplie num´erateur et d´enominateur par le

Chapitre 4 Nombres complexes, fonctions et formules trigonom

Nombres complexes, fonctions et formules trigonom´etriques 4 1 Nombres complexes L’ensemble C des nombres complexes est C = {z = a+ib : a, b ∈ R} o`u i2 = −1 R ⊂ C D´efinition 4 1 1 On dit que l’´ecriture z = a+ib o`u a et b ∈ R, est la forme alg´ebrique de z Cette ´ecriture est unique

Les nombres complexes - MATHEMATIQUES

Egalité de deux nombres complexes sous forme algébrique Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et mêmes parties imaginaires Pour tous RÉELS a et b, a+ib = 0 ⇔ a = b = 0 Pour tous RÉELS a, a′, b et b ′, a+ib = a +ib′ ⇔ a = a′ et b = b′ Opérations dans C On calcule dans Ccomme

Nombres complexes – Fiche de cours

13 Nombres complexes et géométrie Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;u⃗;⃗v) Soient A, B, C et D des points du plan d’affixes zA, zB, zC et zD 3/4 Nombres complexes – Fiche de cours Mathématiques Expertes Terminale Générale - Année scolaire 2020/2021 https://physique-et-maths

Chapitre 5 : Nombres complexes - David Caffin

Chapitre 5 : Nombres complexes I – L’ensemble C 1 Définition 2 Rappels de Terminale 3 Compléments a Inégalité triangulaire b Disques ouverts et fermés c Colinéarité et orthogonalité de deux vecteurs 4 Transformations du plan a Généralités b Ecriture complexe II – Groupe des nombres complexes de module 1 1 Le groupe U 2

NOMBRES COMPLEXES - atoutmathsxyz

1) Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle : a) 1 z =−2i b) z 2 =−5 2) Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme algébrique : a) z 3 =e i 6 b) z 4 =4e i 4 Attention • Inversement, toute expression du type z = z = r eiθ où r est un réel n'est reconnue comme écriture

Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S

Certains passages vont au-delà des objectifs exigibles du programme de terminale S Le 7 Nombres complexes 54 1 Formules trigonométriques 148

Terminale D - dpfc-cinet

MATHEMATIQUES - TERMINALE D COMPETENCE 1 Traiter une situation relative aux calculs algébriques et aux fonctions THEME 1 : CALCULS ALGEBRIQUES Leçon 1 1 : Nombres complexes Exemple de situation Des élèves d'une classe de terminale s'interroge sur ce qu’ils viennent de découvrir à l'exposition

Nombres complexes -Exercices - Free

Nombres complexes -Exercices TaleS V´erifier que les formules usuelles du second degr´e, z 1 = terminale, S, complexes, nombres complexes

Mathématiques terminale S

Chapitre 1 Rappels sur les suites 1 Définition On peut définir une suite (un):• De façon explicite : un = f(n) • De façon récurrente : – à un terme : u0 et un+1 = f(un)

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Nombres complexes - Fiche de cours

1. L 'idée des nombres complexes

Résoudre des équations polynomiales de degré n ≥1 Exemple : obtenir 3 solutions pour l'équationx3+x+1=02. Ensemble des nombres complexes

Il existe un ensemble noté ℂ

tel que : ℝ⊂ℂ(avec perte de la comparaison)- i∈ℂtel que i2=-1

3. Nombre complexe

a. Définition

Un nombre complexe est défini par :

z=x+iys'appelle la forme algébrique du nombre complexe x : partie réelle notée

Re(z)y : partie imaginaire notée Im(z)

b. Egalité de nombres complexes z1∈ℂz2∈ℂ z1=z2⇔ {Re(z1)=Re(z2) Im(z1)=Im(z2)4. Opérations sur les nombres complexes

On considère les nombres complexes :

z=x+iy et z'=x'+iy' a. La somme La somme complexe de z et z' est définie de ℂ×ℂ→ℂpar : z+z'=x+x'+i(y+y')b. Le produit Le produit complexe de z et z' est défini de ℂ×ℂ→ℂpar : z⋅z'=xx'-yy'+i⋅(x'y+xy')c. Inverse d'un nombre complexe L'inverse d'un nombre complexe z est défini de ℂ*→ℂ*par : 1 z d. Conjugué d'un nombre complexe Le conjugué d'un nombre complexe z est défini de ℂ→ℂpar :

¯z=x-iyPropriétés pour

¯¯z=z- z⋅z=x2+y2-

z+z'=z+z'- z⋅z'=z⋅z'- zn=¯zn- (1 z')=1

¯z'avecz'≠0

- (z z')=¯z

¯z'avecz'≠0

e. Formule du binôme Soient 2 nombres complexes a et b alors pour tout n entier naturel : (a+b)n=∑k=0n(n k)an-k⋅bk 1/4

Nombres complexes - Fiche de coursMathématiques Expertes Terminale Générale - Année scolaire 2020/2021

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5. Equations du second degré∀a∈ℝ* ∀b∈ℝ ∀c∈ℝon définit (E) az2+bz+c=0

Considérons

Δ=b2-4ac- si

Δ>0l'équation (E) admet 2 racines réelles : z1=-b+

2aet z2=-b-√Δ

2a - si Δ=0l'équation (E) admet une racine double réelle : z0=-b

2a- si

Δ<0l'équation (E) admet 2 racines complexes et conjuguées : z1=-b+i

2aet z2=¯z1=-b-i√-Δ

2a

6. Equations polynomiales

Soit le polynôme

P(z)=∑k=0

k=n ak⋅zk- on appelle équation polynomiale de degré n P(z)=0 - un polynôme de degré n admet au plus n racines complexes - P(a)=0⇔P(z)=(z-a)⋅Q(z)Deg(P)=net

Deg(Q)=n-1- zn-an=(z-a)∑k=0n-1

ak⋅zn-k-1

7. Représentation graphique des nombres complexes

Le plan est muni d'un repère orthonormal

(O;⃗u;⃗v)A tout nombre complexe z=x+iyon associe le point M(x;y)Propriétés : - M s'appelle l'image de z - z s'appelle l'affixe de M - soit I le milieu du segment AB ; I pour affixe zI=(zA+zB)

28. Forme trigonométrique des nombres complexes

a. Module et argument d'un nombre complexe

Soit le nombre complexe

z=x+iyayant pour image M dans le repère orthonormal (O;⃗u;⃗v)On définit le module de z par |z|=r=√x2+y2avec r>0Ou bien |(z)|=√Re2(z)+Im2(z)

On définit un argument de z par

θ=arg(z)=(⃗u;⃗OM)+2kπ k∈ℤ La forme trigonométrique est définie par :z= |z|(cosθ+i⋅sinθ) b. Propriétés des modules et arguments - Modules 2/4

Nombres complexes - Fiche de coursMathématiques Expertes Terminale Générale - Année scolaire 2020/2021

https://physique-et-maths.fr - Arguments c. Propriétés du conjugué - |¯z|=|z|- arg(¯z)=-arg(z)[2 z⋅¯z=|z|2d. Forme algébrique vers forme trigonométrique

Soit le nombre complexe

z=x+iy=|z|(cosθ+isinθ)- on calcule |z|cosθ=x |z|=Re(z) |z|sinθ=y|z|=Im(z)|z|- on place un point M(cos

θ;sinθ)sur le cercle trigonométrique

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