[PDF] PROBABILITÉS CONDITIONNELLES - maths et tiques

Chapitre 2 : Probabilités conditionnelles

b Calculer la probabilité qu'on ait choisi une femme sachant que le vacancier choisi pratique le ski II – Utiliser un arbre pondéré et la formule des probabilités totales 1- Règles de calcul dans un arbre pondéré : Propriété 3 : Dans un arbre pondéré : * La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1

PROBABILITÉ - Cours Galilée – Cours particuliers et

Un arbre pondéré, ou arbre de probabilité, est un schéma mettant en jeu des probabilités conditionnelles et permettant de calculer rapide-ment des probabilités Sur ce dernier: • La somme des probabilités des branches issues d’un nœud est égale à 1 • La probabilité de l’événement à l’extrémité d’un chemin est égale

Probabilités (I) : Conditionnement et indépendance

II Arbre pondéré et probabilités totales Introduction : Activité 2 p 294 Traduire un énoncé en terme de probabilités Calculer des probabilités A et B sont deux événements d'un univers Ω tel que p(B) ≠0 Chaque branche est affectée d'une probabilité d'où le nom d'arbre pondéré

Probabilités - lecluseoscenari-communityorg

Représentation par un arbre pondéré 14 Construire et utiliser un arbre pondéré 16 A Exercice : Activité préparatoire On considère la figure suivante composée de 100 figures carrées ou triangulaires de couleur rouge ou bleue On choisit au hasard par une main innocente une figure On s'intéresse à différents cas de figure Exercice

Probabilités conditionnelles et indépendance

A et B sont indépendant si et seulement si p(A∩B)=p(A)∗p(B) II 3 Arbres pondérés et calculs de probabilités Le tracé d’un arbre pondéré est très utile dans la résolution de problèmes de probabilités, il permet de regrouper les données de manière plus lisible Un arbre de probabilité répond à deux règles :

probabilités 3eme cours

On dit que la probabilité d’obtenir la couleur jaune est égale à 3 8 On peut également réaliser un arbre des possibles pondérés par les probabilités : La probabilité d’un événement est un nombre toujours compris entre 0 et 1 qui exprime la « chance » qu’a cet événement de se réaliser L’événement « obtenir un chiffre

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES - maths et tiques

1) Construire un arbre pondéré traduisant les données de l’énoncé 2) Un animal est choisi au hasard Quelle est la probabilité que son test soit positif ? 3) Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu’il soit malade ? D'après BAC S (et oui ), Antilles-Guyanne 2010 1)

Probabilites conditionnelles TSTMG - Free

a) Modélise cette situation à l’aide d’un arbre pondéré b) Calcule la probabilité P(W) de gagner c) Calcule la probabilité P(L) de perdre de 2 manières différentes a) b) La probabilité de gagner est la probabilité de tirer une première boule blanche, puis une seconde D’après l’arbre pondéré, on a : P(W) = 10 9 14 13 P

EXERCICES corrigés de PROBABILITES

la probabilité de l’événement A défini par : « le pixel défectueux se trouve sur la partie principale de l’écran » 1 Dessine l’arbre des possibles par les probabilités données sous forme fractionnaire et décimale 2 Calcule la probabilité de l’événement A : « obtenir au moins 2 points » 4 5 cm 3 6 c m 48 cm 60 cm

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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1PROBABILITÉS CONDITIONNELLES I. Exemple d'introduction Un laboratoire pharmaceutique a réalisé des tests sur 800 patients atteints d'une maladie. Certains sont traités avec le médicament A, d'autres avec le médicament B. Le tableau présente les résultats de l'étude : Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674 Non guéri 72 54 126 Total 455 345 800 1) On choisit au hasard un patient et on considère les évènements suivants : A : " Le patient a pris le médicament A. » G : " Le patient est guéri. » On a alors : La probabilité qu'un patient soit traité avec le médicament A est égale à PA

455
800
≈0,57=57% . La probabilité qu'un patient soit guéri est égale à PG 674
800
≈0,84=84%

. La probabilité qu'un patient soit guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à PG∩A

383
800
≈0,48=48%

. La probabilité qu'un patient ne soit pas guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à PG∩A

72
800
=0,09=9%

. 2) On choisit maintenant au hasard un patient guéri. Médicament A Médicament B Total Guéri 383 291 674 Non guéri 72 54 126 Total 455 345 800 La probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri se note P

G A et est égale à P G A 383
674
≈0,57=57% . La probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a pris le médicament B se note P B G et est égale à P B G 291
345
≈0,84=84%

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2Définition : On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. On la note :

P A (B)

II. Arbre pondéré Vidéo https://youtu.be/Pc5kJBkPDbo 1) Règles de calcul Un sac contient 50 boules, dont : - 20 boules rouges, - 30 boules noires, où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu". - Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné. - Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné. On tire au hasard une boule dans le sac. Soit R l'événement "On tire une boule rouge". Soit G l'événement "On tire une boule marquée Gagné" Soit

R∩G

est l'événement "On tire une boule rouge marquée Gagné". L'expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré (ou arbre de probabilité) :

P(R)= 20 50
2 5 =0,4

Règle 1 : À partir d'un même noeud, la somme des probabilités est égale à 1. À partir du noeud "On tire une boule", on a :

0,4+P(R)=1

Donc

P(R)=1-0,4=0,6

. b) La probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est rouge est : P R (G)= 15 20 =0,75

. Règle 2 : Pour calculer la probabilité d'un chemin, on multiplie les probabilités des branches de ce chemin. On considère le chemin menant à

R∩G

. On a :

P(R∩G)=0,4×0,75=0,3

c) La probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est noire est : P R (G)= 9 30
=0,3 . Et donc

P(R∩G)=0,6×0,3=0,18

d) L'événement "On tire une boule marquée Gagné" est associé aux chemins menant à

R∩G

et

R∩G

. Donc

. Règle 3 (Formule des probabilités totales) : La probabilité d'un événement associé à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités de chacun de ces chemins. 2) Utilisation d'un arbre pondéré Méthode : Calculer des probabilités conditionnelles à l'aide d'un arbre Vidéo https://youtu.be/qTpTBoZA7zY Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 2 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : - sachant qu'un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; - sachant qu'un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On note les événements :

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4M : " Être porteur de la maladie » T : " Avoir un test positif ». 1) Construire un arbre pondéré traduisant les données de l'énoncé. 2) Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif ? 3) Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu'il soit malade ? D'après BAC S (et oui !), Antilles-Guyanne 2010 1) 2) La probabilité que le test soit positif est associée aux événements :

M∩T

et

M∩T

PM∩T

=0,02 x 0,85 = 0,017 (règle 2)

PM∩T

=0,98 x 0,05 = 0,049

P(T)=P(M∩T)+P(M∩T)

(règle 3) = 0,017 + 0,049 = 0,066. La probabilité que le test soit positif est égale à 6,6%. 3) Propriété :

P A (B)=

P(A∩B)

P(A) T M

PT∩M

PT

0,02×0,85

0,066 ≈0,26

. La probabilité que le bovin soit malade sachant que le test est positif est d'environ 26%. Le test n'est pas fiable ! Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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