Chapitre 2 Probabilités conditionnelles et indépendance d

II 2 Indépendance de deux événements Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un de ces événements n’influe pas sur la réalisation de l’autre, c’est à dire si pA(B)=p(B) par exemple A et B sont indépendant si et seulement si p(A∩B)=p(A)∗p(B) II 3 Arbres pondérés et calculs de probabilités

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE

Définition : Soit A et B deux événements avec (#)≠0 On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A , la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé

Probabilité conditionnelle; indépendance de deux événements

Remarque 3 4 Indépendance et incompatibilité sont deux choses di érentes, en e et si deux événements Aet Bde probabilité non nulle sont incompatibles alors P(A\B) = 0 6= P(A)P(B) L'indépendance dans leur ensemble de Névénements implique l'indépendance deux à deux (faire k= 2 dans la dé nition) mais la ciprérqueo est fausse

Chapitre 2 Probabilités conditionnelles et indépendance d

2 4 1 Indépendance de deux événements La dé nition intuitive de l'indépendance est la suivante : deux événements sont in-dépendants lorsque le résultat de l'un n'in uence pas le résultat de l'autre Autrement dit si E et F sont ces deux événements, le fait de supposer que F est réalisé ne change pas la probabilité de réalisation

Probabilités (I) : Conditionnement et indépendance

III Indépendance de deux événements Activité 4 p 295 : intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation ou non de l'un des événements n'a pas d'incidence sur la probabilité de réalisation de l'autre événement Définition : Deux événements A et B de probabilité non nulle sont dits indépendants si, et

Chapitre 2 : Probabilités conditionnelles

III Indépendance de deux événements 1 Deux événements indépendants On dit que deux événements sont indépendants lo s ue la p o ailité de l’un n’est pas influen ée pa la réalisation (ou non) de l’aut e Définition Deux événements A et , de p o a ilité non nulle, sont indépendants si, et seulement si, l’une des

1 Probabilités conditionnelles

3 Événements indépendants 3 1 Indépendance de deux événements Intuitivement, deux événements sont indépendants si la donnée de la réalisation de l’un des deux événe-ments n’a pas d’incidence sur la probabilité de la réalisation de l’autre Déﬁnition 3 Soit Aet B sont deux événements de probabilités non nulles

Probabilités conditionnelles et indépendance

Indépendance Succession de deux épreuves indépendantes Cas de deux événements Propriété : probabilité totale avec deux événements Si A est un évènement de Ω tel que P(A) 6= 0 et P(A) 6= 1, alors pour tout évènement B de Ω P(B) = P(A∩B)+P(A∩B) = PA(B)×P(A)+PA(B)×P(A) Les évènements A ∩ B et A ∩ B sont incompatibles et

Probabilités conditionnelles et indépendance

On lance un dé cubique truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6 On note pi la probabilité de l’événement Ei: « le résultat du lancer est i », où 1 ď i ď 6 1 Calculer p1, p2, , p6 sachant que : p2 = p4, p4 = p6, p1 = p3, p3 = p5, p6 = 2p5 2 Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : (a) « obtenir

P(C) =P(A\B) =P(BjA)P(A):

731
? ?????P(BjA) =731

P(C) =P(BjA)P(A) =731

832
=7124 ??????? ?????0??1?

P(B2) =P(B2\B1) +P(B2\Bc1):

P(B2\Bc1)? ?? ??? ????? ?

P(B2) =P(B2jB1)P(B1) +P(B2jBc1)P(Bc1):

36
=12 ? ????? ?? ? ?????? ???P(B2jB1) =12 ??????? ?????P(B2jBc1) =26 =13 ????P(Bc1) = 1P(B1) =23

P(B2) =12

13 +13 23
=718

P(Ec) =P(EcjA)P(A) +P(EcjB)P(B) +P(EcjC)P(C):

??? ????P(A) =P(B) =P(C) =13 ? ????P(Ec) = 0:9813 +0:9613 +0:9513 = 0:963: ?? ????P(A) = 0:5?P(B) = 0:3??P(C) = 0:2? ????P(Ec) = 0:980:5 + 0:960:3 +

0:950:2 = 0:968? ??P(E) = 0:032?

P(B1jB2) =P(B1\B2)P(B2)=P(B2jB1)P(B1)P(B2):

P(B1jB2) =12

13 7 18 =37 ??P(Fc)??? ????? ?????P(FjE) =P(EjF)P(F)P(EjF)P(F) +P(EjFc)P(Fc)? ? ????P(E)?P(F)??P(Fi)??? ???? ???? ???? i? ?????P(FjE) =P(EjF)P(F)P(EjF1)P(F1) +P(EjF2)P(F2) ++P(EjFn)P(Fn)?

P(EjF) =P(E)??P(FjE) =P(F):

P(E\F) =P(E)P(F):

12 =14

P(A) =P(B) =12

?P(C) =23 ? ?? ?? ????? ??????P(A) =P(B\C) =13 12 6=

P(B\D) =13

P(E\F) =P(E)P(F);

P(E\G) =P(E)P(G);

P(F\G) =P(F)P(G);

P(E\F\G) =P(E)P(F)P(G):

A=??? ??????? ?? ????? ??? ?? ?????? ??????

? ??????? ???? ?? ???? ??????? ???A??? ??????? 12 ? ?????P(CjA) =P(C) =12

P(A\B) =P(A)P(B);

P(A\C) =P(A)P(C);

P(B\C) =P(B)P(C):

P(Ei1\Ei2\ \Eip) =P(Ei1)P(Ei2) P(Eip);

???? ???? ??????? ???? ???1i1< i2<< ip?

P(A\B\C)?

12 12 =124

0? ?????

P(E[FjG) =P(EjG) +P(FjG)P(E\FjG):

P(EjF\G) =P(E\FjG)P(FjG):

P(EjF\G) =P(E\F\G)P(F\G)=P(E\FjG)P(G)P(FjG)P(G)=P(E\FjG)P(FjG): ????P(F\G)6= 0? ?????

P(EjG) =P(EjF\G)P(FjG) +P(EjFc\G))P(FcjG):

P(E\FjG) =P(EjG)P(FjG):

P(AjM) =P(BjM) = 0:7;??P(AjMc) =P(BjMc) = 0:2:

P(A\BjM) =P(AjM)P(BjM):

P(A\BjMc) =P(AjMc)P(BjMc):

=P(AjM)P(BjM)P(M) +P(AjMc)P(BjMc)P(Mc); = 0:70:70:6 + 0:20:20:4 =31100 P(A) =P(AjM)P(M) +P(AjMc)P(Mc) = 0:70:6 + 0:20:4 =12 ?? ?? ????P(B) =12 ? ?????P(A)P(B) =14

6=P(A\B)?A??B?? ???? ???? ???

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[PDF] Chapitre 2 Probabilités conditionnelles et indépendance d