PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI

PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI Ω est un ensemble ﬁni non vide On note P(Ω) l’ensemble des parties de Ω • Vocabulaire 1 Ω est l’univers ou univers des possibles 2 Toute partie A de Ω est appel´ee ´ev´enement 3 Pour tout ´el´ement ω de Ω, {ω} est appel´e ´ev´enement ´el´ementaire 4

Probabilités sur un ensemble fini - Tunisia Study

Un jeton est marqué du chiffre 1 sur une face et du chiffre 2 sur l'autre face Un dé cubique est marqué du chiffre 1 sur trois faces , du chiffre 2 sur deux faces et du chiffre 3 sur une face On lance simultanément le jeton et le dé et on lit les chiffres qui apparaissent sur chaque face supérieure ( a pour le jeton et b pour le dé )

Probabilités sur un fini

I) Probabilité sur un ensemble fini 1) Vocabulaire des événements Dans une expérience aléatoire, l'univers est l'ensemble de tous les résultats possibles *Un événement est une partie de l'univers *Un événement élémentaire est un événement possédant un seul élément

PROBABILITÉS SUR UN ENSEMBLE FINI - Free

Une loi de probabilité sur Ω est une fonction p dont le domaine de définition est ΩΩΩΩ Pour l’élément x 1, son image p(x 1) est plutôt notée p 1 et est appelée probabilité de x 1 (et de même pour les autres éléments de Ω) Comme Ω est fini, cette fonction p (ou loi de probabilité p) est entièrement définie par son

Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble fini

1/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble fini Objectifs a) Déterminer la probabilité dans des situations d’équiprobabilité b) Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées c) P(A U B)+P(A B)= P(A)+P(B) Activité d'approche n°1

Dénombrement Probabilité uniforme sur un ensemble fini

D’où : Un ensemble à n éléments a 2n sous ensembles 4) 0 = (-1 + 1)n = Σ p=0 p=n Cnp (-1)p Un ensemble fini a autant de sous ensembles de cardinal pair que de sous ensembles de cardinal impair C’est tout aussi rigolo, mais sûrement moins utile II Application : Probabilité uniforme sur un ensemble fini

Probabilités sur un univers fini

Soit Ω un univers fini L’ensemble de tous les événements est l’ensembleP(Ω) qu’on notera T (comme « tribu » des événements, spoiler du cours de spé) Le couple (Ω,T) est qualifié d’espace probabilisable fini Définition 17 Soit (Ω,T) un espace probabilisable fini (oùT = P(Ω)) On appelle probabilité sur (Ω,T)

Chapitre 9 : probabilités sur un univers fini

Chapitre 9 : probabilités sur un univers fini I Introduction Dans ce chapitre, les probabilités sont introduites uniquement dans le cas où l’univers Ω est un ensemble ﬁni, cadre largement exploré l’année dernière Dans un certain sens, il y a assez peu de nouveauté

Probabilités - Meilleur en Maths

Loi de probabilité sur un ensemble fini p2 2 Probabilité d’un événement p6 Loi de probabilités sur un ensemble fini 1 1 Jeu de pile ou face

PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI

Ω est un ensemble fini non vide. On noteP(Ω) l"ensemble des parties de Ω. •Vocabulaire1. Ω est l"univers ou univers des possibles.

2. Toute partieAde Ω est appel´ee ´ev´enement.

3. Pour tout ´el´ementωde Ω,{ω}est appel´e ´ev´enement ´el´ementaire.

4. L"´ev`enementA?Bse lit "AouB", l"´ev`enementA∩Bse lit "AetB".

5.∅est l"´ev´enement impossible, et Ω est l"´ev´enement certain.

6. PourAetBdeP(Ω), siA∩B=∅, ils sont dits ´ev´enements incompatibles.

7. PourA? P(Ω), son compl´ementaireAest l"´ev´enement contraire.

•Probabilit´eUne probabilit´ePest une applicationP:P(Ω)→[0,1] satisfaisant :P(Ω) = 1 (normalisation)

et siAetBsont deux ´ev´enements incompatibles,P(A?B) =P(A) +P(B) (additivit´e). →Le triplet (Ω,P(Ω),P) est ce qu"on appelle un espace probabilis´e. •Propri´et´es1.P(∅) = 0.

2.P(A) +P(A) = 1.

3.P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B).

4. Si Ω ={ω1,...,ωn}est de cardinaln?N?, alors l"additivit´e donne :

- siPest une probabilit´e, elle est d´etermin´ee par la donn´ee des nombrespk:=P({ωk}).

- r´eciproquement, avecnnombres r´eels positifsp1,...,pnde somme 1, on d´efinit une prob- abilit´ePen posantP({ωk}) =pk.

•Equiprobabilit´eIl y a´equiprobabilit´e quand la probabilit´e est uniforme, c"est `a dire quandp1=p2=...=pn=1n

Dans ce cas on aP(A) =Card(A)Card(Ω)

="nombre de cas favorables""nombre de cas possibles".

•Ind´ependanceDeux ´ev´enementsAetBsont dits ind´ependants siP(A∩B) =P(A).P(B).

•Probabilit´e conditionnelleSoientAetBdeux ´ev´enements tel queP(A)?= 0. Alors la probabilit´e deBsachantAest

P(B|A) =P(A∩B)P(A).

→PAd´efinie parPA(B) =P(B|A) est une probabilit´e sur (Ω,P(Ω). →SiAetBsont deux ´ev´enements de probabilit´e non nulle, alors :

AetBind´ependants??P(B|A) =P(B)??P(A|B) =P(A)

•FormulesSoit (A1,...,Am) une partition de Ω telle que pour touti,P(Ai)?= 0 etB? P(Ω). →Formule des probabilit´es totales :P(B) =n? i=1P(B|Ai).P(Ai). →Formule de Bayes1: SiP(B)?= 0, alorsP(Aj|B) =P(B|Aj).P(Aj)? n i=1P(B|Ai).P(Ai).1 Il s"agit juste d"´ecrireP(A∩B) de deux mani`eres diff´erentes. 1

VARIABLE ALEATOIRE SUR UN ENSEMBLE FINI

Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilis´e fini, Card(Ω) =net Ω ={ω1,...,ωn}. •Variable al´eatoireUne variable al´eatoire sur Ω est une applicationX: Ω→R. →Pour toutE?R,X-1(E) est un ´ev´enement not´eX?E. →L"ensemble des v.a. forme une alg`ebre commutative surR.

•Fonction de r´epartitionSoitXune v.a., la fonction de r´epartition deXest l"applicationF:R→[0,1] d´efinie2pour

→C"est une fonction continue `a droite et croissante surR.

→Dans le cas pr´esent, c"est une fonction en escalier telle que pour toutx et pour toutx≥supX(Ω),F(x) = 1. •Loi de probabilit´eLa loi deXest l"applicationJ →[0,1] I?→P(X-1(I)) , o`uJest l"ensemble des intervalles deR. →Dans le cas pr´esent, il suffit juste de connaˆıtre lesP(X=xi).

→La loi de probabilit´e est une probabilit´e surX(Ω). (En fait c"est une probabilit´e surR.)

•Esp´erance math´ematique(moyenne) L"esp´erance d"une v.a.Xest le nombre r´eelE(X) =?

ω?ΩX(ω).P({ω}) =n?

i=1X(ωi).P({ωi}). →L"esp´erance math´ematique est une forme lin´eaire sur leR-espace vectoriel des v.a. →On a ´egalement la formule3suivanteE(X) =? x?X(Ω)x.P(X=x) =m? j=1x j.P(X=xj). →SiXest une v.a. constante, i.e.X(Ω) ={a}, alorsE(X) =a. •VarianceLa Variance d"une v.a.X, est le nombre r´eel positifV(X) =E? [X-E(X)]2? →La variance est une forme quadratique positive sur leR-espace vectoriel des v.a., de cˆone isotrope le sous-espace des v.a. constantes, et satisfaisant :?a?R,?b?R, V(aX+b) =a2V(X). →σ(X) :=?V(X) est l"´ecart-type deX. →On calcule souventV(X) par le Th´eor`eme de Koenig :V(X) =E(X2)-[E(X)]2. •MomentsSoitXune variable al´eatoire, etk?N?.

Le moment d"ordrekdeXestE(Xk).

Le moment centr´e d"ordrekdeXestE?

[X-E(X)]k? →L"esp´erance est le moment d"ordre 1 et la variance est le moment centr´e d"ordre 2.2 Il sagit de la d´efinition au programme, mais on rencontre aussi la d´efinitionF(x) =P(X < x).

3Double avantage : il y a moins de termes `a sommer, et il n"y a pas besoin d"expliciter Ω.

PROBABILITES DISCRETES

On veut d´efinir la notion de probabilit´e sur un univers discret Ω, ainsi que celle de variable

al´eatoire discr`ete, i.e.X(Ω) est discret. Les cas d"un univers fini et des v.a. ayant un nom-

bre fini de valeurs ayant ´et´e trait´es, cette page sera exclusivement consacr´ee au cas d´enombrable.

•Probabilit´e sur un univers d´enombrableSoit Ω ={ωn;n?N}un univers d´enombrable.

Tout marche de la mˆeme fa¸con que dans le cas fini en prenant (Ω,P(Ω),P) comme espace proba-

bilis´e. La probabilit´ePest d´efinie sur les ´ev´enements ´el´ementaires parP({ωn}) =pn, o`u la

suite (pn)n?Nest une suite quelconque satisfaisantpn≥0 et∞? n=0p n= 1. →La probabilit´e d"un ´ev´enementA? P(Ω) est le nombre4P(A) =? a?AP({a}).

•Remarques1- Pour garder la coh´erence de la th´eorie, il faut ajouter une nouvelle condition `a la d´efinition

d"une probabilit´e. C"est ce qu"on appelle laσ-additivit´e : si (An)n?Nsont des ´ev´enements deux `a deux incompatibles alorsP?? n?NA n? n=0P(An).

2- L"´equiprobabilit´e n"a plus aucun sens.

3- En revanche, tout ce qui concerne l"ind´ependance, la notion de probabilit´e conditionnelle,

ainsi que les formules des probabilit´es totales et de Bayes reste valable.

•Variable al´eatoire r´eelle discr`eteUne variable al´eatoire r´eelle discr`ete est une applicationX: Ω→Rtelle que :

1- Ω est un univers muni d"une probabilit´e.

2- L"ensemble imageX(Ω) est fini ou d´enombrable5.

3- Pour toutx?X(Ω),X-1({x}) est un ´ev´enement not´e (X=x).

•MomentsLe moment d"ordre k est, s"il y a convergence absolue,E(Xk) =? x?X(Ω)x kP(X=x). →Esp´erance(si la s´erie converge absolument) :E(X) =? x?X(Ω)xP(X=x). →Variance(si la s´erie converge) :V(X) =E(X2)-[E(X)]2=? x?X(Ω)? x-E(X)?

2P(X=x).

•Fonction g´en´eratriceOn appelle fonction g´en´eratrice d"une v.a.X`a valeurs dansNla s´erie enti`ere d´efinie au moins

pours?[-1,1] par ΦX(s) :=E(sX) =∞? n=0P(X=n)sn.

→Si cela a un sens, on a les moments en d´erivant:E(X) = Φ?X(1),E(X2) = Φ??X(1) + Φ?X(1).

→SiXetYsont `a valeurs dansNet ind´ependantes : ΦX+Y= ΦX.ΦY.4

La notationP(A) a un sens car il s"agit soit d"une somme finie soit d"une s´erie convergente `a termes positifs.

5Ce qui est le cas si Ω est fini ou d´enombrable.

PROBABILITES : LE CAS GENERAL

•Tribu ouσ-alg`ebreOn appelle tribuTsur Ω un sous ensemble deP(Ω) satisfaisant :

1. Ω et∅sont dansT.

2. SiA? T, alors son compl´ementaireA? T.

3. SiA? TetB? T, alorsA?B? T.

4. Si (An)n?Nest une collection d´enombrable d"´el´ements deT, alors?

n?NA n? T. →Les ´el´ements deTsont appel´es´ev´enements. →Le couple (Ω,T) est un espace probabilisable.

→Par compl´ementarit´e, toute intersection finie ou d´enombrable d"´el´ements deTest dansT.

•Exemples :1.P(Ω) et{∅,Ω}sont respectivement la plus grande et la plus petite tribu sur Ω.

2. La tribu Bor´elienne deR: c"est la plus petite tribu deRcontenant l"ensemble,

not´eJ, des intervalles deR. On la noteraB.(H.P.) •Probabilit´eUne probabilit´ePest une applicationP:T →[0,1] satisfaisant

1.P(Ω) = 1 (normalisation).

2. Soit (An)n?Ndes ´ev´enements 2 `a 2 disjoints :P??

n?NA n? n=0P(An) (σ-additivit´e). →Le triplet (Ω,T,P) est un espace probabilis´e. •Propri´et´es: 1.P(∅) = 0.

2.P(A) +P(A) = 1.

3. SiAetBsont incompatibles alorsP(A?B) =P(A) +P(B). (additivit´e)

4.P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B). (formule du crible)

5. Soitn´ev´enementsA1,A2, ...An, la g´en´eralisation de la formule du crible -

dite ´egalement de Poincar´e - est

P(A1?A2?...?An) =n-1?

k=1(-1)k+1? {i1,...,ik} ?[1,n]

Card({i1,...,ik}) =kP(Ai1∩...∩Aik)

6.P?? n?NA n? n=0P(An). (In´egalit´e de Boole)

7. Si (An)n?Nest une suite croissante d"´ev´enementsP??

n?NA n? = limn→∞P(An). •Remarques1. Si Ω est discret, on peut prendreT=P(Ω) comme tribu.

2. Si Ω n"est pas discret, on ne peut plus caract´eriser une probabilit´e quelconque par les

´ev´enements ´el´ementaires ; on ne prend plus la tribuP(Ω).

3. Rien ne change en ce qui concerne l"ind´ependance, les probabilit´es conditionnelles ainsi

que les formules des probabilit´es totales et de Bayes.

4. SiA? Ttel queA?= Ω etP(A) = 1 (resp.A?=∅etP(A) = 0), on dit queAest un

´ev´enement presque sˆur ou presque certain (resp.Aest un ´ev´enement presque impossible

ou n´egligeable). 4

VARIABLE ALEATOIRE REELLE A DENSITE

Soit (Ω,T,P) un espace probabilis´e.

•Variable al´eatoire r´eelle(v.a.r.) Une v.a.r. est une applicationX: Ω→Rtelle que pour tout intervalleIdeR,X-1(I)? T. →La loi deXest la probabilit´ePXsur (R,B) caract´eris´ee par :PX(I) =P(X?I) pour tout intervalleIdeR. →SiXetYsont deux v.a.r. sur (Ω,T,P), alorsX+YetX.Ysont des v.a.r.(Admis)

•Fonction de r´epartitionLa fonction de r´epartition d"une v.a.r.Xest l"applicationF:R→Rd´efinie pour toutxr´eel

→La fonction de r´epartition est une application croissante, continue `a droite et ayant une limite

`a gauche en tout point deR(c"est une fonction cadlag).

→La fonction de r´epartition de la v.a.r.Xcaract´erise compl`etement la loi deX. Exemples :

→La fonction de r´epartition de la v.a.r.Xv´erifie limx→-∞F(x) = 0 et limx→+∞F(x) = 1.

→x0est un point de discontinuit´e deFsi et seulement siP(X=x0)?= 0. →SiFest continue, on dit queXest une v.a.r. continue. •Densit´eUne applicationf:R→R+est appel´ee densit´e si :

1-fest positive 2-fest continue par morceaux surR3-?

f(t)dt= 1

•Variable al´eatoire `a densit´eUne v.a.r. est dite `a densit´e, s"il existe une application de densit´ef:R→R+telle que la

x f(t)dt. →la v.a.r.Xposs`ede une loi de densit´efsi et seulement siP(X?I) =? I f(t)dtpour tout intervalleI. →Xest une v.a.r. `a densit´e si et seulement siFestcontinueetC1par morceaux surR. Dans ce cas, la densit´efest alors d´etermin´ee parf(x) =F?(x) pour toutxo`uFest d´erivable.

•Moments des v.a.r. `a densit´eLe moment d"ordrekdeXest, s"il y a convergence absolue,E(Xk) =?

tkf(t)dt. →Esp´erance (si l"int´egrale converge absolument) :E(X) =? tf(t)dt. →Variance (si l"int´egrale converge) :V(X) =E(X2)-[E(X)]2=? t-E(X)?

2f(t)dt.

→Soitg:R→Rcontinue par morceaux. Si l"int´egrale converge absolument,g(X) est une v.a.r. admettant pour esp´erance

E(g(X)) =?

g(t)f(t)dt 5

INDEPENDANCE - VECTEURS ALEATOIRES

Toutes les v.a.r. seront suppos´ees d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e (Ω,T,P).

•Variables al´eatoires ind´ependantesDeux v.a.r.XetYsont dites ind´ependantes, si pour tout intervalleIetJdeR, les ´ev´enements

(X?I) et (Y?J) sont ind´ependants.

→Dans le cas o`uX(Ω) etY(Ω) sont discrets, il suffit de regarder l"ind´ependance des ´ev´enements

(X=x) et (Y=y) pourx?X(Ω) ety?Y(Ω).

•Ind´ependance mutuellenv.a.r.X1, ...,Xnsont dites ind´ependantes si pour toutI1, ...,In, des intervalles deR, lesn

´ev´enements (X1?I1), ..., (Xn?In) sont mutuellement ind´ependants.

→Dans le cas o`u lesXisont des v.a.r. discr`etes, il suffit de regarder l"ind´ependance mutuelle

des ´ev´enements (Xi=xi) o`u lesxid´ecriventXi(Ω) pour touti. →SoitX1, ...,Xndes v.a.r. ind´ependantes et deux applications continuesf:Rp→Ret g:Rn-p→R, alors les v.a.r.f(X1,...,Xp) etg(Xp+1,...,Xn) sont ind´ependantes.(Admis)

•Vecteurs al´eatoiresV= (X1,...,Xn) est un vecteur al´eatoire deRnsiX1, ...,Xn, sesncomposantes, sont des

variables al´eatoires r´eelles.

•Vecteurs al´eatoires discretsV= (X1,...,Xn) est un vecteur al´eatoire discret deRnsi ses composantes sont des v.a.r.

discr`etes. La loi deVest la donn´ee des valeursP(V= (x1,...,xn)) o`u (x1,...,xn) d´ecrit les valeurs deV.

•Vecteurs al´eatoires `a densit´eSoitf:Rn→R+une densit´e, c"est-`a-dire le produit d"une fonction continue positive surRn

par la fonction indicatrice d"un ensemble "g´eom´etriquement simple" (on peut prendre toutRn) et telle que? R nf(x)dx1...dxn= 1. Un vecteur al´eatoireV=(X1,...,Xn) deRnest de densit´efsi pour tous intervallesIideRon aP(V?I1×...×In) =P((X1?I1)∩...∩(Xn?In)) =? I 1...? I nf(x)dx. →dans ce cas, on a par exemple queX1est de densit´ex1?→? R n-1f(x1,y2,...,yn)dy2...dyn. Si?:Rn→Rest le produit d"une fonction continue positive surRnpar la fonction indica-

trice d"un ensemble "g´eom´etriquement simple" et si?fest int´egrable surRnalors?◦Vest une

v.a.r. dont l"esp´erance estE(?◦V) =? R n?(x)f(x)dx.

•Ind´ependance de v.a.r. `a densit´elesnv.a.r. qui forment les composantes du vecteur al´eatoireV=(X1,...,Xn) de densit´efsont

ind´ependantes si et seulement si il existendensit´esf1,...,fntelles que ?x1,...,xn, f(x1,...,xn) =f1(x1)...fn(xn). 6

•Covariance de deux variables al´eatoiresSoitXetYdeux v.a.r., la covariance deXetYest le r´eel

Cov(X,Y) :=E?

[X-E(X)].[Y-E(Y)]? On la calcule souvent par la formule de Koenig : Cov(X,Y) =E(X.Y)-E(X).E(Y). Dans le cas o`uXetYsont des v.a.r. discr`etes, la covariance existe toujours. Dans le cas o`u ce sont des v.a.r. `a densit´e, la covariance existe sous l"hypoth`ese queXetYont une variancequotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI - univ-tlnfr

PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI

2. Toute partieAde Ω est appel´ee ´ev´enement.

3. Pour tout ´el´ementωde Ω,{ω}est appel´e ´ev´enement ´el´ementaire.

4. L"´ev`enementA?Bse lit "AouB", l"´ev`enementA∩Bse lit "AetB".

5.∅est l"´ev´enement impossible, et Ω est l"´ev´enement certain.

6. PourAetBdeP(Ω), siA∩B=∅, ils sont dits ´ev´enements incompatibles.

7. PourA? P(Ω), son compl´ementaireAest l"´ev´enement contraire.

2.P(A) +P(A) = 1.

3.P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B).

4. Si Ω ={ω1,...,ωn}est de cardinaln?N?, alors l"additivit´e donne :

Dans ce cas on aP(A) =Card(A)Card(Ω)

P(B|A) =P(A∩B)P(A).

AetBind´ependants??P(B|A) =P(B)??P(A|B) =P(A)

VARIABLE ALEATOIRE SUR UN ENSEMBLE FINI

ω?ΩX(ω).P({ω}) =n?

Le moment d"ordrekdeXestE(Xk).

Le moment centr´e d"ordrekdeXestE?

3Double avantage : il y a moins de termes `a sommer, et il n"y a pas besoin d"expliciter Ω.

PROBABILITES DISCRETES

2- L"´equiprobabilit´e n"a plus aucun sens.

3- En revanche, tout ce qui concerne l"ind´ependance, la notion de probabilit´e conditionnelle,

1- Ω est un univers muni d"une probabilit´e.

2- L"ensemble imageX(Ω) est fini ou d´enombrable5.

3- Pour toutx?X(Ω),X-1({x}) est un ´ev´enement not´e (X=x).

2P(X=x).

5Ce qui est le cas si Ω est fini ou d´enombrable.

PROBABILITES : LE CAS GENERAL

1. Ω et∅sont dansT.

2. SiA? T, alors son compl´ementaireA? T.

3. SiA? TetB? T, alorsA?B? T.

4. Si (An)n?Nest une collection d´enombrable d"´el´ements deT, alors?

2. La tribu Bor´elienne deR: c"est la plus petite tribu deRcontenant l"ensemble,

1.P(Ω) = 1 (normalisation).

2. Soit (An)n?Ndes ´ev´enements 2 `a 2 disjoints :P??

2.P(A) +P(A) = 1.

3. SiAetBsont incompatibles alorsP(A?B) =P(A) +P(B). (additivit´e)

4.P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B). (formule du crible)

5. Soitn´ev´enementsA1,A2, ...An, la g´en´eralisation de la formule du crible -

P(A1?A2?...?An) =n-1?

Card({i1,...,ik}) =kP(Ai1∩...∩Aik)

7. Si (An)n?Nest une suite croissante d"´ev´enementsP??

2. Si Ω n"est pas discret, on ne peut plus caract´eriser une probabilit´e quelconque par les

3. Rien ne change en ce qui concerne l"ind´ependance, les probabilit´es conditionnelles ainsi

4. SiA? Ttel queA?= Ω etP(A) = 1 (resp.A?=∅etP(A) = 0), on dit queAest un

VARIABLE ALEATOIRE REELLE A DENSITE

Soit (Ω,T,P) un espace probabilis´e.

1-fest positive 2-fest continue par morceaux surR3-?

2f(t)dt.

E(g(X)) =?

INDEPENDANCE - VECTEURS ALEATOIRES

Cov(X,Y) :=E?