Dénombrement Probabilité uniforme sur un ensemble fini

PROBABILITE SUR UN ENSEMBLE FINI Ω est un ensemble ﬁni non vide On note P(Ω) l’ensemble des parties de Ω • Vocabulaire 1 Ω est l’univers ou univers des possibles 2 Toute partie A de Ω est appel´ee ´ev´enement 3 Pour tout ´el´ement ω de Ω, {ω} est appel´e ´ev´enement ´el´ementaire 4

Probabilités sur un ensemble fini - Tunisia Study

Un jeton est marqué du chiffre 1 sur une face et du chiffre 2 sur l'autre face Un dé cubique est marqué du chiffre 1 sur trois faces , du chiffre 2 sur deux faces et du chiffre 3 sur une face On lance simultanément le jeton et le dé et on lit les chiffres qui apparaissent sur chaque face supérieure ( a pour le jeton et b pour le dé )

Probabilités sur un fini

I) Probabilité sur un ensemble fini 1) Vocabulaire des événements Dans une expérience aléatoire, l'univers est l'ensemble de tous les résultats possibles *Un événement est une partie de l'univers *Un événement élémentaire est un événement possédant un seul élément

PROBABILITÉS SUR UN ENSEMBLE FINI - Free

Une loi de probabilité sur Ω est une fonction p dont le domaine de définition est ΩΩΩΩ Pour l’élément x 1, son image p(x 1) est plutôt notée p 1 et est appelée probabilité de x 1 (et de même pour les autres éléments de Ω) Comme Ω est fini, cette fonction p (ou loi de probabilité p) est entièrement définie par son

Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble fini

1/16 - Chapitre n°10 : Probabilité sur un ensemble fini Chapitre n°10 : Probabilités sur un ensemble fini Objectifs a) Déterminer la probabilité dans des situations d’équiprobabilité b) Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées c) P(A U B)+P(A B)= P(A)+P(B) Activité d'approche n°1

Dénombrement Probabilité uniforme sur un ensemble fini

D’où : Un ensemble à n éléments a 2n sous ensembles 4) 0 = (-1 + 1)n = Σ p=0 p=n Cnp (-1)p Un ensemble fini a autant de sous ensembles de cardinal pair que de sous ensembles de cardinal impair C’est tout aussi rigolo, mais sûrement moins utile II Application : Probabilité uniforme sur un ensemble fini

Probabilités sur un univers fini

Soit Ω un univers fini L’ensemble de tous les événements est l’ensembleP(Ω) qu’on notera T (comme « tribu » des événements, spoiler du cours de spé) Le couple (Ω,T) est qualifié d’espace probabilisable fini Définition 17 Soit (Ω,T) un espace probabilisable fini (oùT = P(Ω)) On appelle probabilité sur (Ω,T)

Chapitre 9 : probabilités sur un univers fini

Chapitre 9 : probabilités sur un univers fini I Introduction Dans ce chapitre, les probabilités sont introduites uniquement dans le cas où l’univers Ω est un ensemble ﬁni, cadre largement exploré l’année dernière Dans un certain sens, il y a assez peu de nouveauté

Probabilités - Meilleur en Maths

Loi de probabilité sur un ensemble fini p2 2 Probabilité d’un événement p6 Loi de probabilités sur un ensemble fini 1 1 Jeu de pile ou face

UPV - MathsL1S1 1 II Dénombrement

Dénombrement

Probabilité uniforme sur un ensemble fini

I Dénombrement

1) Factorielles :

Pour n entier

1, il y a :n! = n.(n - 1). (n - 2) ... 2.1

façons d'aligner n objets distincts (ou de les ranger dans n cases, à raison d'un objet par case) :

n choix possibles pour la première case. A chacun de ces n choix correspondent (n -1) choix

possibles pour la seconde case ... Et ainsi de suite, jusqu'à la dernière case pour laquelle il ne

reste qu'un objet. Par convention 0! = 1 et n! = 0 pour n < 0, ce qui est d'ailleurs naturel : il n'y a qu'une façon d'aligner 0 objet ("

Voilà. C'est fait

»), et comment en aligner -3 ?

Pour n pas trop grand, on peut représenter ceci à l'aide d'un arbre.

Exemple : 4 objets {a, b, c, d}.

Du tronc partent 4 branches : les 4 choix possibles pour la première case, aboutissant aux "noeuds" a, b, c et d. De chacun de ces noeuds partent 3 branches : les trois choix restant pour la seconde case (du noeud a partent les branches aboutissant à b, c et d, etc...). De chacun des 12 noeuds partent 2 branches : les choix possibles pour la troisième case. De chacun des 24 noeuds part une seule branche : le "choix" du dernier objet.. n! a une croissance extrêmement rapide. Expérimentez sur votre calculatrice. Par exemple 10! = 3.628.800, 20! = 2.432.902.008.176.640.000 et 50! =

(Exercice : Vérifier à la main ce dernier résultat, et dessiner l'arbre sur une très grande feuille

de papier.)

2) Arrangements :

Pour p et n entiers, 1

p n, il y a :A n p = n.(n - 1) ... (n - p + 1)

façons d'aligner p objets choisis parmi n objets distincts (ou de les ranger dans p cases, à raison

d'un objet par case) : • n choix possibles pour la première case

UPV - MathsL1S1 2 II Dénombrement

• à chacun de ces n choix correspondent (n -1) choix possibles pour la seconde case • et ainsi de suite, jusqu'à la p.

ème

pour laquelle il reste (n - (p - 1)) choix.

De manière naturelle (?) A

n 0 = 1 (une seule façon de ranger 0 objet pris parmi n dans n cases!), et par convention A n p = 0 pour p < 0 ou p > n. Dans les calculs on utilise la formule ci-dessus (ou, bien mieux sa calculatrice). Dans les formules on écrit, plus élégamment : A n p = n! / (n - p)!

3) Combinaisons :

Pour 0

p n, il y a :C n p = A n p / p! = n! / p!(n - p)! façons de choisir p objets parmi n objets distincts. Autrement dit : un ensemble à n éléments a C n p sous ensembles à p éléments. En effet pour ranger p objets choisis parmi n objets distincts dans p cases, on peut : (1) Choisir p objets parmi les n : il y a C n p façons de le faire. (2) Une fois les objets choisis, les ranger dans les p cases : il y a p! façons de le faire.

A chacun des C

n p choix d'objets correspondent les p! façons de les ranger. Donc A n p = p! C n p

4) Propriétés des combinaisons :

De la formule : C

n p = n! / p!(n - p)! résulte immédiatement : 1) C n p = C n n-p . (On peut aussi remarquer qu'un ensemble a n éléments a autant de sous ensembles à p éléments que de sous ensembles à (n - p) éléments : à chaque sous ensemble à p éléments correspond son complémentaire qui a (n - p) éléments). 2) C n p = C n-1 p-1 + C n-1 p

(On le démontrera de deux façons en TD.) Cette formule permet de démontrer par récurrence :

3) Formule du binôme : (a + b)

n p=0 p=n C n p a p b n-p

5) Triangle arithmétique de Pascal :

La formule 2) ci-dessus permet de calculer les C

n p (les coefficients du binôme) de manière beaucoup plus commode que la formule de départ : c'est l'algorithme du triangle arithmétique de Pascal : La première colonne ne contient que des 1 (les C n 0 La première ligne est complétée par une infinité de 0 (les C 0 p pour p > 0).

On obtient alors ligne par ligne tous les C

n p en utilisant la formule 2). Naturellement on n'écrit

qu'un nombre fini de lignes, et on s'épargne d'écrire les 0 (qui sont d'ailleurs en nombre infini!)

UPV - MathsL1S1 3 II Dénombrement

Par exemple les six premières lignes (coefficients de (a + b) n pour n allant de 0 à 5) sont : 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Conséquences : 1) Vous n'avez plus le droit d'hésiter plus de 5 secondes sur les développements de (a + b) 3 ou (a + b) 4

2) Si vous avez à calculer (a + b)

10 vous avez maintenant le choix entre

deux méthodes : développer la formule, c'est long, pénible, et il y a avec beaucoup de risques

d'erreurs ou écrire les 11 premières lignes du triangle de Pascal, c'est rapide, élégant et les

risques d'erreurs sont minimes. 3) 2 n = (1 + 1) n p=0 p=n C n p

D'où

: Un ensemble à n éléments a 2 n sous ensembles. 4) 0 = (-1 + 1) n p=0 p=n C n p (-1) p Un ensemble fini a autant de sous ensembles de cardinal pair que de sous ensembles de cardinal impair. C'est tout aussi rigolo, mais sûrement moins utile. II Application : Probabilité uniforme sur un ensemble fini Le résultat d'une épreuve dépend du hasard. On suppose que l'ensemble Ω des résultats possibles, ou événements élémentaires, est fini. L'ensemble PP(Ω) des parties (ou sous-ensembles) de Ω est associé à l'ensemble des

événements.

Exemples : 1) On lance une pièce : Ω ={p, f} (pile et face).

2) On lance une pièce deux fois de suite : Ω ={pp, pf, fp, ff}.

3) On lance un dé deux fois de suite :

={ (1, 1) , (1, 2) , ... , (1, 6) , (2, 1) , (2, 2) , ... , (2, 6) , ... , (6, 1) , (6, 2) , ... , (6, 6) }.

Si Ω a n éléments, PP(Ω) a 2

n éléments. Dans le premier exemple PP(Ω) a donc 4 éléments :

PP(Ω) = {Ø, {p}, {f}, Ω}

Dans le second exemple PP(Ω) a déjà 16 éléments.

Dans le dernier, il a 2

36
= 68.719.476.736 éléments. (Evidemment ! Néanmoins vous voyez qu'il ne serait pas habile de s'embarquer dans la description de tous les événements possibles, bien qu'il ne s'agisse que d'un pauvre dé, que l'on lance deux fois de suite

UPV - MathsL1S1 4 II Dénombrement

L'application P : PP(Ω) ---> R

définie par

P(A) = card(A) / card(Ω).

(où card(A) = nombre d'éléments de A) est la probabilité uniforme sur Ω . En particulier si

Ω a n éléments, chacun des événement élémentaires a la même probabilité : 1/n.

On verra en TD que P est un cas particulier de probabilité sur Ω , c'est à dire une application :

P : PP(Ω) ---> R

vérifiant : (i) P(Ω) = 1. (ii) Si A ∩ B = Ø, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). ce dont découle :

P est à valeurs dans [0, 1]

P(Ø) = 0

P(A c ) = 1 - P(A), A c désignant le complémentaire de A dans Ω

Dans les trois exemples ci-dessus, Ω est muni d'une probabilité uniforme si la pièce ou le dé

sont équilibrés.

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TD Dénombrement

I Dénombrement

Exercice 1 :Démontrer la formule C

n p = C n-1 p-1quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] Dénombrement Probabilité uniforme sur un ensemble fini

Dénombrement

Probabilité uniforme sur un ensemble fini

I Dénombrement

1) Factorielles :

Pour n entier

1, il y a :n! = n.(n - 1). (n - 2) ... 2.1

Voilà. C'est fait

»), et comment en aligner -3 ?

Exemple : 4 objets {a, b, c, d}.

2) Arrangements :

Pour p et n entiers, 1

ème

De manière naturelle (?) A

3) Combinaisons :

Pour 0

A chacun des C

4) Propriétés des combinaisons :

De la formule : C

3) Formule du binôme : (a + b)

5) Triangle arithmétique de Pascal :

La formule 2) ci-dessus permet de calculer les C

On obtient alors ligne par ligne tous les C

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

2) Si vous avez à calculer (a + b)

D'où

événements.

2) On lance une pièce deux fois de suite : Ω ={pp, pf, fp, ff}.

3) On lance un dé deux fois de suite :

Si Ω a n éléments, PP(Ω) a 2

PP(Ω) = {Ø, {p}, {f}, Ω}

Dans le dernier, il a 2

L'application P : PP(Ω) ---> R

P(A) = card(A) / card(Ω).

P : PP(Ω) ---> R

P est à valeurs dans [0, 1]

P(Ø) = 0

TD Dénombrement

I Dénombrement

Exercice 1 :Démontrer la formule C