CHAPITRE III PROBABILITES - LMRL
c’est un « tirage avec ordre », sinon on parle d’un « tirage sans ordre » o La répétition si on remet chaque boule tirée dans l’urne avant de tirer la suivante, on peut tirer plusieurs fois la même boule : on parle alors d’un tirage avec répétition ou avec remise
Modèles des tirages 31 Introduction : Probabilités, modèles
1) Dans un tirage de nbilles sans remise, la probabilité d’avoir exactement kbilles blanches est donnée par la formule P[X= k] = N 1 k × N−N 1 n−k N n La loi de la variable Xest appelée loi hypergéométrique de paramètres N, N 1 et net sera notée H(N;N 1;n) 2) La moyenne, la variance et l’écart type de la variable Xsont m(X
Les trois sortes de tirages
2 Tirages successifs sans remise 2 1 Exemple 1 À la course du tiercé, il y a vingt chevaux au départ À l’arrivée, il n’y a pas d’ex-æquo On mise sur trois numéros 1) Calculer la probabilité de gagner le tiercé dans l’ordre (Il s’agit d’avoir les numéros des trois premiers chevaux dans l’ordre d’arrivée )
Exercices PROBABILITES - bagbouton
b) si le tirage se fait sans remise 2) On tire successivement p boules de l’urne En utilisant les événements Ak: «la p ème boule tirée porte le numéro k », calculer la probabilité pour que la p–ième boule tirée ait un numéro supérieur ou égal aux numéros des (p-1) premières boules tirées ? a) si le tirage se fait avec remise
3- LES TIRAGES PROBABILISTES DECHANTILLONS
Cette fonction est la loi de probabilité de la composition d'un n-échantillon (sans ordre spécifé) lorsqu'il y a 2 catégories dans la population Elle s'appelle: la loi binomiale Remarque : - Cette loi de probabilité ne dépend pas de la taille de la population N mais seulement de la taille de l'échantillon n et de la proportion p des
Dénombrement 1 Tirages successifs avec remise : listes
A chaque tirage, le nombre d’issues possibles est n et, puisqu’on effectue p tirages successifs, le nombre de listes à p éléments est : np 2 Tirages successifs sans remise : arrangements 2 1 Définition Soit n et p deux entiers non nuls Dans une population d’effectifs n, on extrait, successivement et sans remise p individus
Probabilité
Etablir la loi de probabilité du dé pipé Un dé pipé est un dé non équilibré La loi de probabilité est alors établie par des données statistiques Sans avoir de certitude sur les probabilités exacte, vu le grand nombre de lancés (1000), on peut suposer que le nombre d’apparition d’une face détermine sa probabilité
Théorie des probabilités - HEC UNIL
0 500 1000 1500 0 10 0 15 0 20 tirages FREQ FREQUENCE DU NUMERO 4 fréquence théorique fréquence empirique
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Dénombrement
1 Tirages successifs avec remise : listes
1.1 Définition
Soitnetpdeux entiers non nuls. Dans une population d"effectifn, on effectue l"expérience aléa-toire qui consiste à extraire successivement, avec remise,pindividus. Il en résulte que le même individu
peut être choisi plusieurs fois et que l"on peut avoirp > n. Les résultats de ces tirages successifs, rangés
dans l"ordre de leur obtention, constituent une liste àpéléments également appeléep-liste.
1.2 Exemple
Une urne contient 8 boules numérotées de 1 à 8. On en tire successivement 5, en notant après
chaque tirage le numéro obtenu puis en remettant la boule tirée dans l"urne avant le tirage suivant. Le
résultat obtenu, par exemple 27244, est une 5-liste. L"ordre intervient et les éléments sont distincts ou
non.1.3 Dénombrement
A chaque tirage, le nombre d"issues possibles estnet, puisqu"on effectueptirages successifs, le nombre de listes àpéléments est :np.2 Tirages successifs sans remise : arrangements
2.1 Définition
Soitnetpdeux entiers non nuls. Dans une population d"effectifsn, on extrait, successivement etsans remisepindividus. Il en résulte que le même individu ne peut pas être choisi plusieurs fois et que
pn. Ces tirages successifs sans remise sont dits tirages exhaustifs.Les résultats, rangés dans l"ordre de leur obtention, constituent un arrangement depéléments
distincts choisis parmin. On dit aussi arrangement denélémentspàp.2.2 Exemple
L"urne est celle du § 1.2., un exemple d"arrangement de 5 éléments choisis parmi 8 est 25347.
L"ordre intervient et tous les éléments sont distincts.2.3 Dénombrement
Le nombre d"issues possibles pour le premier tirage estn. Il n"est plus que den1pour ledeuxième,n2pour le troisième et ainsi de suite jusqu"aup-ième tirage où le nombre de possibilités
estn(p1). Le nombre d"arrangements depéléments choisis parminest notéApnet on a donc : A pn=n(n1)(n2):::[n(p1)]. 12.4 Notion de factorielle
Soitnun élément de[2;n].
On appelle " factoriellen" le nombre entier notén!tel quen! =n(n1):::21.Par convention, on pose0! = 1et1! = 1.
En utilisant cette notation, le nombre d"arrangements depéléments choisis parmins"écrit A pn=n!(np)!.2.5 Permutations
Si on considère les arrangements denéléments choisis parmin, on obtient des suites de tous les
éléments de l"ensemble initial appelées permutations. Leur nombre est égal àAnn=n!, ce qui justifie
la convention0! = 1.3 Tirages simultanés : combinaisons
3.1 Définition
Soitnetpdeux entiers non nuls. Dans une population d"effectifn, on extrait simultanément, doncsans remise,pindividus. Il en résulte que le même individu ne peut être choisi plusieurs fois et que
pn. Le résultat de ce tirage simultané est une combinaison depéléments choisis parmin. La notion
d"ordre n"intervient plus et une telle combinaison est un ensemble depéléments distincts.3.2 Exemple
L"urne est celle du § 1.2., un exemple de combinaison de 5 éléments choisis parmi 8 est : 2, 3, 4,
7, 8. On peut obtenir 5! permutations des éléments de cette combinaison et par suite 5! arrangements
de 5 éléments choisis parmi 8.3.3 Dénombrement
La remarque ci-dessus permet de déterminer le nombre de combinaisons depéléments choisisparmin. En effet, chaque combinaison àpéléments engendrep!arrangements àpéléments donc le
nombre de combinaisons àpéléments choisis parminest :1p!Apn. Ce nombre est notén p , (ancienne notation :Cpn) et on a donc :n p =n!p!(np)!.Dans un ensemble ànéléments, il existe une seule partie à 0 élément (la partie vide) et une seule
partie ànéléments (E lui-même). Donc :n 0 = 1etn n = 1, ce qui justifie à nouveau la convention