Probabilités conditionnelles et indépendance

dans un bouchon sur l'autoroute A6 et 63 sur l'autoroute A7 Soit A l'événement "On tombe dans un bouchon sur l'autoroute A6 " Soit B l'événement "On tombe dans un bouchon sur l'autoroute A7 " On suppose que les événements A et B sont indépendants Alors les événements #̅ et B sont également indépendants et on a :

Probabilités conditionnelles et indépendance

Deux événements A et B sont dits incompatibles lorsque leur intersection est nulle (c’est à dire qu’aucune issue de A n’est aussi une issue de B) Cours de 1° spé Mathématiques_Probabilités 1 : Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilités conditionnelles et indépendance

III - Indépendance Déﬁnition : Soient A et B deux événements de probabilités non nulles, on dit que A et B sontindépendants lorsque p(A\B) ˘p(A)£p(B) Propriété : Soient A et B deux événements de probabilités non nulles, A et B sont indépendants si et seulement si pA(B) ˘p(B) Preuve:Procédons par équivalences :

Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilités conditionnelles et indépendance www mathGM Les savoir-faire Conditionnement par un évènement Formule des probabilités totales Indépendance Succession de deux épreuves indépendantes Déﬁnition et propriété Déﬁnition : indépendance de deux événements On dit que deux événements A et B sont indépendants

Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilités conditionnelles et indépendance Les savoir-faire 410 Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement 411 Distinguer P A(B) et P B(A) 412 Construire et utiliser un arbre pondéré ou un tableau en lien avec une situation donnée 413 Utiliser la formule des probabilités totales 414

Probabilités conditionnelles - Indépendance

Probabilités conditionnelles Probabilités conditionnelles - Indépendance 4) Evénements indépendants On dit que A et B sont des événements indépendants si et seulement si P(A ∩B)=P(A) P(B) Evénements indépendants: On considère le tirage au hasard d’une carte d’un jeu de32 cartes A = "Tirer un as", B = "Tirer un coeur" et C

Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilité conditionnelle et indépendance Probabilités conditionnelles et indépendance IProbabilité conditionnelle Exemples Exercice 1 On lance une fois un dé parfait On sait que le résultat est un nombre inférieur ou égale à 5 Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égale à 3? Correction exercice 1

Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilités conditionnelles et indépendance I) Conditionnement par un événement 1) Probabilité de B sachant A a) Définition On considère un univers U d‱une expérience aléatoire et ???? une loi de probabilité associée Soit un événement de probabilité ????( ) non nulle et un événement

1 Probabilités conditionnelles

Chapitre 4 : Probabilités conditionnelles et indépendance 1re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 1 Probabilités conditionnelles La notion de probabilité conditionnelle intervient quand pendant le déroulement d’une expérience aléatoire, une information est fournie modiﬁant ainsi la probabilité d’un évènement

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Chapitre 5

Probabilités conditionnelles et

indépendance

Les savoir-faire

410.Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.

411.DistinguerPA(B) etPB(A).

412.Construire et utiliser un arbre pondéré ou un tableau en lienavec une situation donnée.

413.Utiliser la formule des probabilités totales.

414.Démontrer et utiliser l"indépendance de deux événements.

415.Représenter et utiliser une répétition de deux épreuves indépendantes par un arbre ou un tableau.

I. Conditionnement par un évènement

1. Probabilité conditionnelle

On considère un univers Ω etAun événement de Ω tel queP(A)?= 0.

On définit sur Ω une nouvelle probabilité, notéePA, et pour tout événementB, on appelleprobabilité deB

sachantAet on notePA(B), le quotient : P

A(B) =P(A∩B)

P(A)

Définition : probabilité conditionnelle

Exemple :

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.

A: " le résultat est un pique ».

B: " le résultat est un roi ».

CalculerPA(B) etPB(A).

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2. Arbre pondéré

Une expérience aléatoire peut être schématisée par un arbrepondéré dont chaque branche est affecté d"un poids

qui est une probabilité. A p(A) ?B p(A∩B) =p(A)×pA(B)pA(B) ?B p(A∩B) =p(A)×pA(B)pA(B) AP(A) ?B p(A∩B) =p(A)×pA(B)pA(B) ?B p(A∩B) =p(A)×pA(B)PA(B) La somme des probabilités affectées aux branches issues d"unmême noeud est égale à 1; 1

La probabilité d"une intersection est le produit des probabilités affectées aux branches qui mènent à sa feuille.

Exemple :

Un sac contient 50 boules : 20 rouges et 30 noires.

15 boules rouges sont marquées

GAGNE!

9 boules noires sont marquéesGAGNE!

On tire au hasard une boule dans le sac.

Construire un arbre de probabilité.

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II. Formule des probabilités totales

1. Cas de deux événements

Si A est un évènement de Ω tel queP(A)?= 0 etP(A)?= 1, alors pour tout évènement B de Ω

P(B) =P(A∩B) +P(

A∩B) =PA(B)×P(A) +PA(B)×P(A).

Propriété : probabilité totale avec deux événements Les évènements A∩B etA∩B sont incompatibles et

B = (A∩B)??

A∩B?d"où :

P(B) =p(A∩B) +P(

A∩B)

A A

B∩AB∩A

2. Partition

névénements A1, A2, ...,Anforment une partition de Ω lorsque :

ils sont tous de probabilité non nulle;

ils sont incompatibles deux à deux : pour toutietjde{1;...;n}, Ai∩Aj=∅;

leur réunion est Ω : A1?A2?...?An= Ω

Propriété : partition

Remarques :

- Un évènement A de probabilité non nulle et son évènement contraire

A forment une partition de Ω.

- Si les évènements A

1,A2,···,Anforment une partition de Ω alors :n?

i=1P(Ai) =P(A1) +P(A2) +···+P(An) = 1

3. Formule des probabilités totales

Soitnun entier supérieur ou égal à 2.

Si{A1,A2, ...,An}est une partition de Ω alors pour tout évènement B de Ω : P(B) =P(A1∩B) +P(A2∩B) +...+P(An∩B) =P(A1)×PA1(B) +P(A2)×PA2(B) +...+P(An)×PAn(B) Théorème : formule des probabilités totales 2 Exemple :On effectue un test sur des bovins dont 2 % sont porteurs d"une maladie. Si un animal est malade, le test est positif dans 85 % des cas. Si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas.

M: " le bovin est malade ».

T: " le test est positif ».

Un animal est choisi au hasard.

CalculerP(T) etPT(M).

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III. Indépendance

On dit que deux événements A et B sontindépendantslorsque :P(A∩B) =P(A)×P(B) Définition : indépendance de deux événements

Lorsque deux événements A et B (de probabilités non nulles) sontindépendants, la réalisation (ou non) de

l"un n"a pas d"influence sur la probabilité de réalisation del"autre.

On a alors :PB(A) =P(A) etPA(B) =P(B).

Si A et B sont deux évènements indépendants alorsA et B le sont également.

Propriété

Exemple :

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.

R: " on tire un roi ».T: " on tire un trèfle ».

Les événementsRetTsont-ils indépendants?

Même question si on ajoute deux jokers dans le jeu.

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IV. Succession de deux épreuves indépendantes

Dans le cas où une expérience est constituée de deux épreuvesindépendantes, on peut déterminer la probabilité

des différentes issues à l"aide d"un arbre ou d"un tableau.

Comme les deux épreuves sont indépendantes, sur l"arbre pondéré, les branches du second niveau ne dépendent

pas du résultat des branches du premier niveau.

Exemple :

On tire au hasard et avec remise une boule de l"urne deux fois de suite. Dans celle-ci, il y a 3 boules noires et 2

boules rouges.

Déterminer la probabilité d"obtenir :

a.2 boules noires. b.1 boule noire et une boule rouge.

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3quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

[PDF] Probabilités conditionnelles et indépendance

Chapitre 5

Probabilités conditionnelles et

Les savoir-faire

410.Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.

411.DistinguerPA(B) etPB(A).

412.Construire et utiliser un arbre pondéré ou un tableau en lienavec une situation donnée.

413.Utiliser la formule des probabilités totales.

414.Démontrer et utiliser l"indépendance de deux événements.

415.Représenter et utiliser une répétition de deux épreuves indépendantes par un arbre ou un tableau.

I. Conditionnement par un évènement

1. Probabilité conditionnelle

A(B) =P(A∩B)

Définition : probabilité conditionnelle

Exemple :

A: " le résultat est un pique ».

B: " le résultat est un roi ».

CalculerPA(B) etPB(A).

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2. Arbre pondéré

Exemple :

15 boules rouges sont marquées

GAGNE!

9 boules noires sont marquéesGAGNE!

On tire au hasard une boule dans le sac.

Construire un arbre de probabilité.

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II. Formule des probabilités totales

1. Cas de deux événements

P(B) =P(A∩B) +P(

A∩B) =PA(B)×P(A) +PA(B)×P(A).

B = (A∩B)??

A∩B?d"où :

P(B) =p(A∩B) +P(

A∩B)

B∩AB∩A

2. Partition

ils sont tous de probabilité non nulle;

leur réunion est Ω : A1?A2?...?An= Ω

Propriété : partition

Remarques :

A forment une partition de Ω.

1,A2,···,Anforment une partition de Ω alors :n?

3. Formule des probabilités totales

Soitnun entier supérieur ou égal à 2.

M: " le bovin est malade ».

T: " le test est positif ».

Un animal est choisi au hasard.

CalculerP(T) etPT(M).

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III. Indépendance

On a alors :PB(A) =P(A) etPA(B) =P(B).

Propriété

Exemple :

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.

Les événementsRetTsont-ils indépendants?

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Exemple :

Déterminer la probabilité d"obtenir :

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ils sont tous de probabilité non nulle;

leur réunion est Ω : A1?A2?...?An= Ω