PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE
dans un bouchon sur l'autoroute A6 et 63 sur l'autoroute A7 Soit A l'événement "On tombe dans un bouchon sur l'autoroute A6 " Soit B l'événement "On tombe dans un bouchon sur l'autoroute A7 " On suppose que les événements A et B sont indépendants Alors les événements #̅ et B sont également indépendants et on a :
Probabilités conditionnelles et indépendance
Deux événements A et B sont dits incompatibles lorsque leur intersection est nulle (c’est à dire qu’aucune issue de A n’est aussi une issue de B) Cours de 1° spé Mathématiques_Probabilités 1 : Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilités conditionnelles et indépendance
III - Indépendance Définition : Soient A et B deux événements de probabilités non nulles, on dit que A et B sontindépendants lorsque p(A\B) ˘p(A)£p(B) Propriété : Soient A et B deux événements de probabilités non nulles, A et B sont indépendants si et seulement si pA(B) ˘p(B) Preuve:Procédons par équivalences :
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilités conditionnelles et indépendance www mathGM Les savoir-faire Conditionnement par un évènement Formule des probabilités totales Indépendance Succession de deux épreuves indépendantes Définition et propriété Définition : indépendance de deux événements On dit que deux événements A et B sont indépendants
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilités conditionnelles et indépendance Les savoir-faire 410 Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement 411 Distinguer P A(B) et P B(A) 412 Construire et utiliser un arbre pondéré ou un tableau en lien avec une situation donnée 413 Utiliser la formule des probabilités totales 414
Probabilités conditionnelles - Indépendance
Probabilités conditionnelles Probabilités conditionnelles - Indépendance 4) Evénements indépendants On dit que A et B sont des événements indépendants si et seulement si P(A ∩B)=P(A) P(B) Evénements indépendants: On considère le tirage au hasard d’une carte d’un jeu de32 cartes A = "Tirer un as", B = "Tirer un coeur" et C
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilité conditionnelle et indépendance Probabilités conditionnelles et indépendance IProbabilité conditionnelle Exemples Exercice 1 On lance une fois un dé parfait On sait que le résultat est un nombre inférieur ou égale à 5 Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égale à 3? Correction exercice 1
Probabilités conditionnelles et indépendance
Probabilités conditionnelles et indépendance I) Conditionnement par un événement 1) Probabilité de B sachant A a) Définition On considère un univers U d‱une expérience aléatoire et ???? une loi de probabilité associée Soit un événement de probabilité ????( ) non nulle et un événement
1 Probabilités conditionnelles
Chapitre 4 : Probabilités conditionnelles et indépendance 1re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 1 Probabilités conditionnelles La notion de probabilité conditionnelle intervient quand pendant le déroulement d’une expérience aléatoire, une information est fournie modifiant ainsi la probabilité d’un évènement
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Chapitre 4 : Probabilités conditionnelles et indépendance 1 re-Spécialité mathématiques, 2019-2020
1. Probabilités conditionnelles
La notion de probabilité conditionnelle intervient quand pendant le déroulement d"une expérience aléatoire,
une information est fournie modifiant ainsi la probabilité d"un évènement.On considère une expérience aléatoire d"univers finiΩetA?Ω,B?Ωdeux évènements.
1.1. définition et propriétés
Définition 1.SoitAetBdeux événements avecP(A)?= 0. Laprobabilité que l"événementBse
réalise sachant que l"événementAest réaliséest le nombre notéPA(B), et est défini par :
PA(B) =P(A∩B)
P(A)Remarque 1.
PA(B)se lit : " probabilité deBsachantA». SiP(B)?= 0, on définit de mêmePB(A) =P(A∩B) P(B).Exemple 1.
Un service après-vente a constaté que les retours d"un appareil sont dus dans30%des cas à une panne A,
dans40%des cas à une panne B, et dans3%des cas à la simultanéité des deux pannes. Notons :
Al"événement : " l"appareil présente la panne A » Bl"événement : " l"appareil présente la panne B » Un appareil choisi au hasard présente la panne B. Quelle est la probabilité que cet appareil présente également la panne A?Formules des probabilités composées
SiAetBsont deux événements non vides deΩ, on a :P(A∩B) =PA(B)×P(A) =PB(A)×P(B)
Propriété 1.
Exemple 2.
85%d"une population est vaccinée contre une maladie. On a constaté que2%des individus vaccinés n"ont
pas été immunisés contre cette maladie.SoitVl"événement : " Un individu est vacciné » etMl"événement : " Un individu est malade ».
Quelle est la probabilité qu"un individu soit vacciné et malade? 1/31.2. Arbre pondéré et calculs de probabilitéRègles :
?La somme des probabilités inscrites sur les branches issuesd"un même noeud est égale à1.
?La probabilité d"un chemin est le produit des probabilités figurant sur ses branches. (probabilités
composées)?La probabilité d"un événement est la somme des probabilitésde tous les chemins menant à un
sommet où apparaît cet événement. (probabilités totales) A B B A B B P(A) PA(B)PA(B) = 1-P
A(B)P(A) = 1-P(A)PA(B)
PA(B) = 1-P
A(B) probabilités conditionnellesprobabilités composéesP(A∩B) =PA(B)×P(A)
P ?A∩B?=PA(B)×P(A)
PA∩B?=PA(B)×P(A)
PA∩B?=PA(B)×P(A)
probabilités totalesP(B) =P(A∩B) +P?
A∩B?
P(B) =P?A∩B?+P?A∩B?
Exemple 3.Lorsqu"il tire durant un match de basketball, Sylvain a67%de chance que ce soit un tir à
2points et33%que ce soit un tir à3points.
De plus, quand il tire à2points, le pourcentage de réussite de Sylvain est de59%contre45%lorsqu"il tire
à3points. On considère les événementsD: " il tire à2points » etM: " il marque ».
Représenter la situation par un arbre pondéré.2. Probabilités totales
2.1. Partition de l"univers
Définition 2.Soitnun entier supérieur ou égal à 2 et{A1, A2, ..., An}un ensemble d"événements de
probabilités non nulles d"un même universΩ. A1,A2, ...,Anforment unepartition de l"universΩsi, et seulement si, tout événement élémentaire
deΩappartient à l"un des événementsAiet à un seul. C"est-à-dire si, et seulement si,
1A1,A2, ...,Ansont deux à deux disjoints, c"est-à-direAi∩Aj=∅sii?=j.
2A1?A2?...?An= Ω.
Exemple 4.
A1A 3Pourn= 4
A4A 2Remarque 2.Un événementAde probabilité non nulle et son événement contraireAforment une
partition deΩ. 2/32.2. Formule des probabilités totales
Formules des probabilités totales
Soitnun entier supérieur ou égal à 2 si{A1, A2, ..., An}est une partition deΩalors pour tout
événementBdeΩ,
P(B) =P(A1∩B) +P(A2∩B) +...+P(An∩B)Propriété 2.
Exemple 5.
A1A 3Pourn= 4
A4 A 2B Exemple 6.On reprend l"énoncé de l"exemple3.Calculer la probabilité que Sylvain marque.
3. Événements indépendants
3.1. Indépendance de deux événements
Intuitivement, deux événements sont indépendants si la donnée de la réalisation de l"un des deux événe-
ments n"a pas d"incidence sur la probabilité de la réalisation de l"autre.Définition 3.
SoitAetBsont deux événements de probabilités non nullesLes évènementsAetBsontindépendantssi et seulement si on a l"égalitéP(A∩B) =P(A)×P(B).
?Ne pas confondre "AetBindépendants » et "AetBincompatibles ». Dire queAetBsont incompatibles signifie queA∩B=∅.SiAetBsont deux événements indépendants de probabilités non nulles, il y a équivalence d"écrire :
P(A∩B) =P(A)×P(B);PA(B) =P(B);PB(A) =P(A)
Propriété 3.
SiAetBsont deux événements indépendants alors les événements¯AetBle sont aussi.Propriété 4.
3.2. Succession de deux épreuves indépendantes
Définition 4.
En réalisant successivement deux expériences aléatoires telles que les événements associés à la première
soient indépendants des événements associés à la seconde, on dit que l"on réalise unesuccession de
deux épreuves indépendantes.3.3. Représentation par un arbre et par un tableau
Exemple 7.Pour se rendre à son travail, un automobiliste rencontre deux feux tricolores qui ne sont pas
synchronisés.Lorsqu"il se présente, la probabilité que le premier feu soit vert est de0,45et la probabilité que le deuxième
feu soit vert est de0,4On considère les événementsV1: " le premier feu est vert » etV2: " le deuxième feu est vert ».
Pourquoi peut-on dire que les événementsV1etV2sont indépendants? Représenter la situation par un
arbre, puis par un tableau à double entrée. www.maths-lycee.netChapitre 4 : Probabilités conditionnelles et indépendance3/3quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11