[PDF] Barycentres - Luniversité des sciences en ligne

Exercices sur le Barycentre et lignes de niveaux

1°) Déterminer k pour que la ligne de niveau k de f passe par le barycentre I des points pondérés (A,1) ; (B,–3) 2°) Soit G le centre de gravité du triangle ABC Construire la ligne de niveau GB 2 de f

Barycentre de 2 ; 3 ; 4 points pondérés

VIII – Ligne de niveau de l’application M ֏֏֏ MA 2 −MB 2 =k (k∈ℝℝℝℝ) Déterminons l’ensemble des points M du plan tels que MA 2 – MB 2 = k Soit I milieu de [AB], M un point du plan et H le projeté orthogonal de M sur (AB)

NOM : BARYCENTRES 1ère S

NOM : BARYCENTRES 1ère S Exercice 15 Soit ABCun triangle isocèle en Atel que BC= 8 cmet BA= 5 cm Soit Ile milieu de [BC] 1) Placer le point Ftel que BF= 1 3 BAet montrer que Fest le barycentre des points Aet Bpondérés par

Barycentres - Luniversité des sciences en ligne

3) Barycentre En particulier si 0 1 ∑α ≠ = n k k, il existe un unique point G tel que ( ) 0 r r F G = Si 0 1 ∑α ≠ = n k k, on appelle barycentre du système de points pondérés ( Ak ,αk )1≤k≤n l’unique point G de E tel que 0 1 r ∑α = = n k k GA k Exemple : Si le système de points pondérés est {(A ,1), (B,1)}, le

Calc uls barycentriques

–Le barycentre d’un système de points pondérés existe lorsque la somme des coefficients de ces points est non nulle –Le barycentre lorsqu’il existe est unique Soit (A i; i) 1 i n un système de n points pondérés Pour tout point M, on a : (i) Si Pn i=1 i6= 0 , alors Pn i=1 i MA i= Pn i=1 i MGoù Gest barycentre des (A i; i

CORRIGE DES EXERCICES PROPOSES SUR LES BARYCENTRES

CORRIGE DES EXERCICES PROPOSES SUR LES BARYCENTRES EXERCICE 1 a) Question de cours : « Si G est le barycentre des points (A ; a), (B ; b) et (C ; c ) , et si H est le barycentre des points

Lignes de niveau Exercice proposé au candidat

Lignes de niveau Exercice proposé au candidat : ABC est un triangle tel que AB = AC = 3 etBC = 2 On note E k l'ensemble des pointsM du plan tels que 4MA2 − MB2 − MC2 = k où k est un réel donné Soit G le barycentre des points pondérés (A, 4) , (B, −1) et (C,−1) 1° a) Faire une figure et construire le pointG b) Calculer GA2

Le Barycentre Faire des maths avec GéoPlan

Barycentre de quelques points pondérés dans le plan et l'espace Associativité du barycentre On utilisera la notion de barycentre pour établir des alignements de points, des points de concours de droites La notion de barycentre, utile en physique et en statistique, illustre l'efficacité du calcul vectoriel On évitera toute technicité 1

LE BARYCENTRE DANS LE PLAN - cafepedagogiquenet

deux points On peut localiser le barycentre de deux points sur la droite joignant ces deux points Plus précisément, α β+ ≠ 0 G barycentre de {(A B, , ,α β) ( )} Support : Exercice n° 65 On ne change pas le barycentre d’un système de points en multipliant tous les coefficients du système par un même nombre non nul

Calculs barycentriques Fonction scalaire de Leibnitz

0, il existe un unique point G, barycentre du système (A i, i) défini par : i GA i 0 i e f(G) 0 Dans ce cas 2 (M) ( G) ( i ) MG 1 3 Ensemble E des points M tels que ( M ) soit constante On cherche l'ensemble des points M tel que (M) MA k i 2 i i où k est un réel donné 1er cas : i

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Barycentres 1

BARYCENTRES

Soit E un espace affine réel et E l'espace vectoriel associé.

I - Fonction vectorielle de Leibniz

1) Définitions

Un point pondéré de Eest un couple ),(αA formé d'un point A de E et d'un réel α. Par exemple pour une particule, on peut considérer sa position A et sa masse α. Lorsque l'on a n points pondérés, on parlera de " système » nkkkA≤≤α1),( .

Etant donné un système

nkkkA≤≤α1),( de n points pondérés de E, on appelle fonction vectorielle de Leibniz associée l'application Fr de E dans E qui à tout point M de E associe le vecteur ∑ n k kk MAMF 1)(r.

Exemple : Si le système de points pondérés est {}),(),,(βαBA, la fonction vectorielle de

Leibniz associe à tout point M le vecteur

MBMAMFβ+α=)(r.

2) Propriétés de la fonction vectorielle de Leibniz

Etudions d'abord l'injectivité de cette application.

Donc comparons

)(MFr et )(NFr pour deux points quelconques M et N de E : n k kkn k kn k kk

NAMNNAMNMF

111)()(r

Donc

12NFMNMFNM

n k krr+) =E Si 0

1=α∑

=n k k, alors )()(),(NFMFNMrr=??E. Si la somme des coefficients des points pondérés est nulle, alors la fonction vectorielle de Leibniz associée est constante sur E. Exemple : Si le système de points pondérés est {})1,(),1,(-BA, la fonction vectorielle associe à tout point M le vecteur

BAMBMAMF=-=)(r.

Supposons maintenant que 0

1≠α∑

=n k k. Alors )()(NFMFrr= si et seulement si 0r=MN, donc si

NM=. Donc l'application Fr est injective.

Etudions sa surjectivité. Pour cela, fixons un point O de E.

Pour tout vecteur

Vr de E, on a VMFrr=)( si et seulement si )(

1OFMOV

n k krr+) donc si ))((1 1

VOFOMn

k k rr- . Donc il existe un unique point M tel que VMFrr=)(.

Donc l'application

Fr est surjective.

Si la somme des coefficients des points pondérés est non nulle, alors la fonction vectorielle de Leibniz associée est bijective de E dans E. Exemple : Si le système de points pondérés est {})1,(),1,(BA, la fonction vectorielle associe à tout point M le vecteurquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2