Espaces vectoriels normés

4 3 Base d’un espace vectoriel 5 Espace de dimension ﬁni 6 Théorème de la base incomplète 6 1 Théorème de la base incomplète 6 2 rang d’un système de vecteurs 7 Sous espace en dimension ﬁnie 7 1 La dimension de la somme des sous espaces vectoriels 7 2 La dimension des espaces vectoriels quotients 2/76

Cours 00B : Espaces vectoriels, dimension

La notion de sous-espace vectoriel va nous permettre de prouver à moindre frais qu’un ensemble F a une structure d’espace vectoriel, en remarquant qu’il est inclus dans un des espaces vectoriels précédents, et qu’il est stable par les deux lois Déﬁnition 2 1 (Sous-espace vectoriel) Soit (E,¯, ) un K¡espace vectoriel , et soit F

Espaces vectoriels de dimension nie

Pour trouver la dimension d'un espace vectoriel,il su t donc d'en exhiber une base et de compter son cardinal Méthode 23 2 (Donner la dimension d'un espace vectoriel)

1 Montrer qu’un espace est (ou n’est pas) un espace vectoriel

Correction Si l’on sait que la dimension de cet espace est trois, il sufﬁt de montrer que le systeme est libre ` Exercice 9Soit F = { a b c 0 d e 0 0 f : a,b,c,d,e,f r´eels } Montrer que F est un espace vectoriel, en trouver une base et la dimension Correction On trouve 6 pour la dimension Cet espace est engendre par les matrices´ a

FAMILLE DE VECTEURS ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE

5 b) Corollaire Tout espace vectoriel E de dimension finie, non réduit au vecteur nul, admet une base c) Théorème de la base incomplète Toute famille libre de E K -espace vectoriel de dimension finie peut être complétée en une

Espaces vectoriels de dimension ﬁnie - AlloSchool

Un Eun K-espace vectoriel est de dimension ﬁnie, si il existe une partie génératrice ﬁnie de E Dans le cas contraire, Eest un espace vectoriel de dimension inﬁnie Exemples: 1 Les K-espaces vectoriels K, K2 et Kn sont de dimension ﬁnie 2 Le K-espace vectoriel K[X]est de dimension inﬁnie 2 2 Existence d’une base Si Eest un K

FEUILLE 1 : ESPACES VECTORIELS - LeWebPédagogique

n)) est une base de f(G) 15 Soit E un espace vectoriel sur un corps K de dimension ﬁnie et F et G deux sous-espaces vectoriels de E Soit H le sous-ensemble de E d´eﬁni par : H = {x ∈ Ex = y +z, ou` y ∈ F et z ∈ G} 1) Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E 2) On suppose que F ∩G = {0} Montrer que H = E si et seulement

Exercices 11 Espaces vectoriels et applications linéaires

18 Sur le nombre de supplémentaires d’un sous-espace vectoriel non trivial ♪ Soit E un K-espace vectoriel de dimension ﬁnie n ˚2 On considère un sous-espace vectoriel F de dimen-sion p, avec 0 ˙p ˙n et G un supplémentaire de F 1)Soit a 2F et (ei)i2‡1,r une base de G a)Montrer que la famille (a ¯ei)i2‡1,r est libre

FORMES LINÉAIRES ET HYPERPLANS

Proposition - déﬁnition 4 Soit Eun espace vectoriel de dimension net de base B= fe 1;:::;e ng; les formes linéaires coordonnées e i ( ou dx i) pour i= 1 à n, forment une base B de E appelée la base duale de B La base Best appelée la base anti duale ou pré duale de B Corollaire 5 dimE = dimE Démonstration

Espaces vectoriels normés - AlloSchool

PSI Dupuy de Lôme – Chapitre 12 : Espaces vectoriel s normés (Exercices) - 4 - Montrer que F est fermé dans E et Ω est ouvert dans E 22 Soit ( E,N) un espace vectoriel normé de dimension finie et F une partie fermée non vide de E

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PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 12 : Espaces vectoriels normés (Exercices). - 1 -

Espaces vectoriels normés.

Exercices 2017-2018

Niveau 1.

Normes générales.

1. Soit (E,

.) un K-espace vectoriel normé, et soient x et y des éléments de E.

Montrer que :

yxyxyx-++£+.

2. Soient (E,

.) un espace vectoriel normé, x et y des vecteurs de E non nuls et : a Î [0,1[.

Montrer que si :

axxy£-, alors : aa yxy 1.

3. Soient E et F deux K-espaces vectoriels,

. une norme sur F, et : u Î L(E,F).

Pour :

x Î E, on note : )()(xuxN=.

Montrer que

N est une norme sur E si et seulement si u est injective.

4. Soient

naa,...,1 des réels et N définie de Kn dans par : ),...,(1nxxx= Î Kn, nnxaxaxN.....)(11++=. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les ia pour que N soit une norme sur Kn.

5. Soit : E = C

1([0,1],).

Montrer que l"application

N définie par : " f Î E, .+=

0.)(")0()(dttfffN, est une norme sur E.

6. Soit :

A Î Sn(), telle que : ),0])(+¥ÌASp.

Montrer que l"application

N définie par : " XÎ Mn,1(), XAXXNt..)(=, est une norme sur Mn,1().

Suites et comparaisons de normes.

7. On définit (

nf) dans C0([0,1],) par : " n Î *, x Î  '6 77
n1,0 , xnnxfn.)(2-=, et : x Î  '6 77
1,1 n, 0)(=xfn. a. Justifier que : " n Î , nf Î C0([0,1],), puis calculer )(1nfN, )(2nfN et )(nfN¥. b. Trouver des constantes a, a" et a"" strictement positives telles que : " f Î C0([a,b],), )(.)(1fNfN¥£a, )(".)(2fNfN¥£a, )(".")(21fNfNa£.

c. Montrer avec la question a qu"il n"est pas possible de trouver b, b", b"" strictement positives telles que :

)()(.1fNfN£¥b, )()(".2fNfN£¥b, ou :)()("."12fNfN£b.

8. Soit E le -espace vectoriel formé des suites réelles bornées (

nu), telles que : 00=u.

Pour :

u Î E, on pose : nnuuN

0sup)(

³¥=, et : nnnuuuN-=+³10sup)(.

a. Montrer que

¥N et N sont des normes sur E.

b. Montrer que :

¥£NN.2.

c. Peut-on trouver une inégalité du même type mais en inversant les rôles de

¥N et de N ?

PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 12 : Espaces vectoriels normés (Exercices). - 2 -

On pourra pour cela envisager une famille de séries dont la somme est constante égale à 1.

9. Soit : E = {

f Î C1([0,1],), 0)0(=f}, et pour : f Î E, on note : )(sup)( ]1,0[tffN tÎ=, et : )("sup)(" ]1,0[tffN tÎ=. a. Justifier que

N et "N sont des normes sur E.

b. Montrer que : "NN£.

c. A l"aide de fonctions simples, montrer qu"une inégalité dans l"autre sens n"est pas possible.

10. Dans K[X], on note :

P Î K[X}, 0¹P, kPkaPN

)deg(0max)( 02.)( kk kaPN, et :

0)0()0(==¥NN.

a. Montrer que l"on définit ainsi deux normes sur K[X]. b. Montrer qu"on peut trouver :

0>a, telle que : ¥£NN.a.

c. Trouver une suite simple qui converge vers 0 pour N et pas pour ¥N et en déduire qu"on ne peut pas trouver :

0>b, tel que : NN£¥.b.

11. Soit E un espace vectoriel normé par

. de dimension finie.

Pour :

u Î L(E), tel que : " xÎ E, xxu£)(, pose : " n Î ,  n kk n unv 0.11. a. Simplifier )(Eniduov-. b. Montrer que :

EiduiduEE=-Å-)Im()ker(.

c. En déduire que : " x Î E, )()(limxpxvnn=+¥®, où p est la projection de E sur )ker(Eidu- parallèlement à )Im(Eidu-. d. A-t-on : pvnn=+¥®lim ?

On pourra utiliser une base de E, la norme infinie attachée à cette base et une norme dans L(E)

déduite de cette norme infinie.

Suites et normes dans

Mn(K).

12. On définit la suite (

nX) d"éléments de M2,1() par : 99
=120X, et :

0³n, nnXAX.1=+, où :

9 999
32
3121
21
A

Montrer que (

nX) converge.

13. On note : E = M

n(), pour : 1³n, et pour : A Î E, on note : jinjianAN,,1max.)( a. Calculer 9 99
9 99

010123321

N dans M3(). b. Montrer que

N est une norme dans le cas général.

c. Montrer que : " (

BA,) Î Mn()2, )().().(BNANBAN£.

PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 12 : Espaces vectoriels normés (Exercices). - 3 -

d. Ce résultat est-il toujours vrai si on remplace N par "N définie par : " A Î E, jinjiaAN,,1max)("

14. Pour une matrice :

A Î Mn(K), on note : 

n j jini aA

1,1max.

a. Que représente

A pour une matrice A de Mn(K) ?

b. Montrer qu"on définit ainsi une norme sur M n(K). c. Montrer que : " (

BA,) Î Mn(K)2, on a : BABA..£.

d. Montrer que si on note

¥N la norme infinie dans Mn,1(K), alors :

XA,) Î Mn(K)´Mn,1(K), )(.).(XNAXAN¥¥£. e. En déduire que : "

A Î Mn(), " )(ASpÎl, A£l.

15. Soit

M un élément de Mn().

On suppose que la suite (

nM) converge vers une matrice A. a. Montrer que ( nM.2) converge aussi vers A. b. En déduire que : 2AA=.

16. Soient

A et B deux matrices de Mn().

a. En utilisant une norme d"algèbre, montrer que si ( pBA).() tend vers 0, alors (pAB).() tend aussi vers 0. b. Montrer que si A et B commutent, si (pA) tend vers P, et (pB) vers Q, alors P et Q commutent. c. Si ( pA) est une suite de matrices inversibles de Mn() qui converge vers A et si la suite (1- pA) converge vers

B, alors A est inversible et : BA=.

d. Est-il possible de trouver une suite ( pA) de matrices inversibles qui converge vers une matrice A et telle que la suite ( 1- pA) diverge ?

Topologie.

17. Les ensembles suivants sont-ils ouverts ou fermés ?

a. , ou dans . b. U

NnnnÎ+6

77

21,21

1 dans .

c. [0,1]´[0,1]´[0,+¥[ dans 3. d. un hyperplan dans n.

18. On note : E =

2, et : " (yx,) Î E2, 22),(yxxyx++=.

a. Montrer que . est bien une norme sur E. b. Représenter la boule de centre O et de rayon 1 pour cette norme.

19. Pour

A et B deux ouverts de n, on note : =+BA {BbAabaÎÎ+,,}.

Montrer que

BA+ est un ouvert de n.

20. a. Montrer que dans un espace vectoriel de dimension finie, tout hyperplan est fermé.

b. En déduire que les ensembles suivants sont fermés dans M n(K). · l"espace vectoriel des matrices de trace nulle,

· les espaces vectoriels de matrices triangulaires supérieures ou triangulaires inférieures,

· l"espace vectoriel des matrices diagonales,

· les espaces vectoriels de matrices symétriques ou de matrices antisymétriques.

21. Soit : E = C

0([0,1],), muni de la norme ¥N.

On note :

=F {f Î E, " x Î [0,1], 0)(³xf}, et : W = {f Î E, " x Î[0,1], 0)(>xf}.

PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 12 : Espaces vectoriels normés (Exercices). - 4 -

Montrer que F est fermé dans E et W est ouvert dans E.

22. Soit (

NE,) un espace vectoriel normé de dimension finie et F une partie fermée non vide de E. a. Montrer que : inf),(=Fxd{FyyxÎ-,}, existe pour tout : x Î E. b. Montrer que : " x Î E, (0),(=Fxd) Û (FxÎ)

23. Soit E l"espace vectoriel des suites réelles bornées (

nu).

On note alors : "

u Î E, )(nuu=, nnuu 0sup a. Montrer qu"on définit ainsi une norme sur E. b. Montrer que la suite constante égale à 1 notée 1 est intérieure à : =F {(nu) Î E, " 0³n, 0³nu}.

Continuité, applications lipschitziennes.

24. Soit (E,

.) un espace vectoriel normé, et : x Î E, non nul.

On note

f l"application de E dans définie par : x Î E, axxf-=)(, si : ax£, et : 0)(=xf, sinon. a. Montrer que f est continue en a. b. Montrer que f n"est pas continue en a-.

25. Soit

f une application d"un intervalle I de dans , de classe C1. a. Montrer que si : $ k Î , " x Î I, kxf£)(", alors f est k-lipschitzienne. b. Montrer que f définie sur + par : " 0³x, xxf+=1 1)(, est k-lipschitzienne pour une certaine valeur k et trouver la plus petite valeur k possible.

26. Soit (E,

.) un espace vectoriel normé, et soit : x Î E.

Montrer que l"application définie sur E par :

axx.a, est lipschitzienne.

Niveau 2.

Normes générales.

27. Soit : E = C

0([0,1],).

Montrer que l"application

N définie par : " f Î E, )(.sup)(

]1,0[xfxfN xÎ=, est une norme sur E.

28. Soit

A une partie non vide de .

Quelles conditions

A doit-elle satisfaire pour que : )(suptPPP

AtAÎ=a, définisse une norme sur [X] ?

29. Soient

nff,...,1 des fonctions continues de [0,1] dans .

A quelle condition l"application

N : )(....)(.sup.....),...,(11]1,0[111tfxtfxfxfxxxnntnnn++=++

Î¥a,

définit-elle une norme sur n ?

30. Soit :

)(nOAÎ.

Montrer que :

nnA.1£, où :  njijiaA ,1,1

Suites et comparaison de normes.

31. On note E l"ensemble des suites réelles bornées.

a. Vérifier que E muni des lois habituelles constitue bien un -espace vectoriel. b. Vérifier que ¥N définie sur E par : " )(nuu= Î E, nNnuuN

Î¥=sup)(, est une norme sur E.

PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 12 : Espaces vectoriels normés (Exercices). - 5 -

c. Pour : u Î E, on note par ailleurs :  01.)( nn neuuN.

Montrer que

1N définit une autre norme sur E.

d. Montrer qu"on peut trouver :

0>a, tel que : ¥£NN.1a.

e. A l"aide d"une suite d"éléments de E, montrer qu"on ne peut pas trouver :

0>b, tel que : 1.NN£¥b.

32. Soit E l"ensemble des fonctions définies de [0,1] dans , lipschitziennes.

a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de C

0([0,1],).

b. Montrer que : xyxfyfyx--£<£ )()(sup

10 existe pour tout f dans E, nombre qu"on notera )(fK.

c. Montrer que N définie pour f dans E par : )()0()(fKffN+=, est une norme sur E. d. Montrer que toute suite d"éléments de E qui converge pour

N converge pour ¥N.

e. Trouver une suite d"éléments de E qui montre que la réciproque est fausse.

33. Soit (

nP) une suite de polynômes de degré inférieur ou égal à m et convergeant simplement vers une

fonction f sur . a. Justifier l"existence d"un polynôme :

P Î m[X], tel que : " mk££0, )()(kfkP=.

On pourra utiliser les polynômes : "

mk££0, Õ N ki ik ikiXL,0)()(. b. Montrer que l"application N définie sur : E = m[X], par : " Q Î E, )(max)( 0kQQNquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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Espaces vectoriels normés.

Exercices 2017-2018

Niveau 1.

Normes générales.

1. Soit (E,

Montrer que :

2. Soient (E,

Montrer que si :

3. Soient E et F deux K-espaces vectoriels,

Pour :

Montrer que

4. Soient

5. Soit : E = C

1([0,1],).

Montrer que l"application

N définie par : " f Î E, .+=

0.)(")0()(dttfffN, est une norme sur E.

6. Soit :

A Î Sn(), telle que : ),0])(+¥ÌASp.

Montrer que l"application

Suites et comparaisons de normes.

7. On définit (

8. Soit E le -espace vectoriel formé des suites réelles bornées (

Pour :

0sup)(

³¥=, et : nnnuuuN-=+³10sup)(.

¥N et N sont des normes sur E.

¥£NN.2.

¥N et de N ?

9. Soit : E = {

N et "N sont des normes sur E.

10. Dans K[X], on note :

P Î K[X}, 0¹P, kPkaPN

0)0()0(==¥NN.

0>a, telle que : ¥£NN.a.

0>b, tel que : NN£¥.b.

11. Soit E un espace vectoriel normé par

Pour :

EiduiduEE=-Å-)Im()ker(.

Suites et normes dans

Mn(K).

12. On définit la suite (

0³n, nnXAX.1=+, où :

Montrer que (

13. On note : E = M

010123321

N est une norme dans le cas général.

BA,) Î Mn()2, )().().(BNANBAN£.

14. Pour une matrice :

A Î Mn(K), on note : 

1,1max.

A pour une matrice A de Mn(K) ?

BA,) Î Mn(K)2, on a : BABA..£.

¥N la norme infinie dans Mn,1(K), alors :

A Î Mn(), " )(ASpÎl, A£l.

15. Soit

M un élément de Mn().

On suppose que la suite (

16. Soient

A et B deux matrices de Mn().

B, alors A est inversible et : BA=.

Topologie.

17. Les ensembles suivants sont-ils ouverts ou fermés ?

NnnnÎ+6

77

1 dans .

18. On note : E =

2, et : " (yx,) Î E2, 22),(yxxyx++=.

19. Pour

Montrer que

BA+ est un ouvert de n.

20. a. Montrer que dans un espace vectoriel de dimension finie, tout hyperplan est fermé.

· l"espace vectoriel des matrices diagonales,

21. Soit : E = C

0([0,1],), muni de la norme ¥N.

On note :

22. Soit (

23. Soit E l"espace vectoriel des suites réelles bornées (

On note alors : "