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cours FORME QUADRATIQUE

La matrice de la forme quadratique q s’écrit alors 1,2 1, 1,1 1,2 2,2, 1, 1, 1,; 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n a a a a a a a a a--æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ Ł ł L L M O M O Exemple : Soit l’applicationq définie sur ¡3 par :q x y z x z xy yz(, , 2 2 4) = + + +2 2 On reconnaît la forme

Chapitre 5 Formes quadratiques et matrices sym´etriques

respond la forme quadratique $ X" $2= X " X" qui est la norme carr´ee (la longueur carr´ee) du vecteur X" Demˆeme, b a f2(x)dx est une norme carr´ee pour les fonctions (de carr´e int´egrable) sur (a,b) Th´eor`eme de Pythagore Soitf une forme bilin´eaire sym´etrique, Q la forme quadratique associ´ee, on a pour toute paire de vecteurs

Formes quadratiques r eelles Exemples et applications

la forme quadratique ne d epend pas de la base choisie En e et, deux 6= 0 ,q est non-d eg en er ee ou M est la matrice associ ee a la forme quadratique q Exemples :

Formes quadratiques - wwwnormalesuporg

Une forme quadratique q est dite positive si elle ne prend que des valeurs positives, i e si pour tout vecteur x on a q(x) 0; jusque là, la terminologie est claire Maintenant, une matrice auto-adjointe sera dite positive si la forme quadratique associØe l™est, i e si pour tout vecteur x on a x Ax 0 4

EXERCICES formes quadratiques - WordPresscom

EXERCICE 2 : matrice associée à une forme quadratique On définit une forme quadratique q sur ¡3 en posant, pour tout vecteur u x y z=(, ,) de coordonnées x X y z æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ Ł ł dans la base canonique C de¡3: 1) q x y z x y z xy xz yz(, , 7 5 3 4 2 6) = - + - + -2 2 2, déterminer une matrice symétrique A˛M3 (¡)telle

C H A P I T R E 2 F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S

2 Représentation d’une forme quadratique dans une base E dim finie, muni d’une ase DEFINITION 14 : REPRESENTATION MATRICIELLE On appelle matrice associée à q dans B la matrice de sa forme polaire PROPOSITION 15 : Soit q forme quadratique représentée par A dans

TD7 : formes quadratiques - DMA/ENS

La forme f n’a aucune droite isotrope si et seulement si elle est anisotrope (par d e nition) Or il existe une forme quadratique anisotrope sur P si et seulement si le corps K n’est pas quadratiquement clos : il su t de consid erer la forme f(x;y) = x2 y2 sur K2, ou 2 K n(K)2 En particulier, ce cas n’arrive pas sur un corps alg

Cours de Mathématiques

est une forme quadratique Elle est appelée forme quadratique engendrée par la forme bi-linéaire symétrique f Démonstration La démonstration découle directement de la dé finition ¤ 3 2 Représentation matricielle d’une forme quadratique Si E est de dimen-sion finie, une représentation matricielle de q sera celle de la forme

Exo7 - Exercices de mathématiques

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Cours de

Mathématiques

A. Bendali & S. Grusea

Toulouse 2011/12

Département STPI

IC ±2èmeannée

UF Maths-Méca

Cours de

Mathématiques

A. Bendali & S. Grusea

A. Bendali

Département de génie mathématique

E-mail : abendali@insa-toulouse.fr

S. Grusea

Département de génie mathématique

E-mail : grusea@insa-toulouse.fr

Table des matières

Préfacev

Chapitre 1. Formes bilinéaires et quadratiques 1

1. Définition 1

2. Formes bilinéaires et matrices 2

3. Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques 3

Chapitre 2. Espaces euclidiens 5

1. Produit scalaire. Orthogonalité 5

2. Matrices orthogonales 9

3. Matrices symétriques 11

4. Application aux formes quadratiques réelles 13

Chapitre 3. Fonctions de plusieurs variables 17

1. Calcul diérentiel 17

2. Intégrales multiples 27

Chapitre 4. Courbes et surfaces 39

1. Courbes 39

2. Courbes en dimension 3 48

3. Surfaces 49

Chapitre 5. Eléments d'analyse vectorielle 55

1. Intégrales curvilignes 55

2. Formules de Green 61

3. Intégrales de surfaces 64

iii

Préface

et intégral et géométrie, indispensables pour aborder la résolution des problèmes qui se

posent essentiellement en mécanique des corps rigides et des milieux continus. Notre but était de présenter ces notions en gardant en vue les deux impératifs suivants : - nepassacrifier la rigueur qui seule permet une connaissance correcte et une utilisa- tion ecace des techniques mathématiques, - garder, cependant, un aspect pragmatique au cours pour que les abstractions néces- saires ne soient pas un obstacle à son assimilation. Le bilan des enseignements nous dira si cette tentative a réussi ou s'il y a des points

à reprendre de façon diérente.

Le contenu du polycopié est trop dense pour les treize séances de cours et le même volume de travaux dirigés qui lui sont dévolus. Certaines démonstrations ne seront donc pas eectuées en cours. Elles sont données dans le but de permettre au lecteur, qui le souhaite, d'approfondir cet enseignement. Toutes les remarques et suggestions, non seulement sont les bienvenues, mais sont fortement sollicitées. v

CHAPITRE 1

Formes bilinéaires et quadratiques

1. Définition

SoitEun espace vectoriel surK(RouC). Une forme bilinéaire surEest une appli- cation f:E×EK qui satisfait : (1.1)f(ax+bx 0 ,y)=af(x,y)+bf(x 0 ,y) (1.2)f(x,ay+by 0 )=af(x,y)+bf(x,y 0 pour toutaetbKet pour toutx,y,x 0 ety 0

E. On exprime la condition (1.1) en

disant quefest linéaire par rapport à la première variable et la condition (1.2) en disant quefest linéaire par rapport à la deuxième variable. parf(x,y)=(x)(y)est bilinéaire. La vérification est immédiate à partir de la linéarité deet de. (2)Soitf:R N ×R N

Rdéfinie par :

(1.3)f(x,y)=x T Ay=P N i=1 P N j=1 a ij x i y j où est uneAmatrice deM N (R).Onvérifie là aussi directement en utilisant les règles de calcul matriciel que cette application est bilinéaire. D'une certaine façon, c'est le prototype des applications bilinéaires comme nous le verrons ci-dessous. En fait, souvent les formes bilinéaires sont données sous la forme (1.4)f(x,y)=P N i=1 P N j=1 a ij x i y j

On vérifiedirectementenécrivant

P N i=1 P N j=1 a ij x i y j =£x 1

···x

N N P j=1 a 1j y j N P j=1 a Nj y j x 1

···x

N a 11

···a

1N a N1

···a

NN y 1 y N et en identifiant les vecteurs deR N à des matrices colonne que (1.4) définit une forme bilinéaire surR N 1

2 1. FORMES BILINÉAIRES ET QUADRATIQUES

L'ensemble des formes bilinéaires surEest muni d'une structure d'espace vectoriel en définissantf+getafpar : (f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y),x,yE, (f)(x,y)=f(x,y),x,yE,K.

2. Formes bilinéaires et matrices

Nous supposons queEest de dimensionfinie. Soitfune forme bilinéaire surEet {e 1 ,...e N }une base deE.

SoientxetydansE;x=x

1 e 1 +···+x N e N ety=y 1 e 1 +···+y N e N .Onpeutécrire f(x,y)=f(x 1 e 1 +···+x N e N ,y 1 e 1 +···+y N e N =x 1 y 1 f(e 1 ,e 1 )+x 1 y 2 f(e 1 ,e 2 )+···+x N y N f(e N ,e N N X i=1N X j=1 x i y j f(e i ,e j Ainsifest complètement déterminée par lesN 2 valeursf(e i ,e j

La matriceA=a

ij (l'indiceiest l'indice de ligne et l'indicejl'indice de colonne), aveca ij =f(e i ,e jquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21