Chapitre 2 1 24 Produits matriciels
Dans ce cas, le produit BA est une matrice de taille n×m Cette d´efinition ne semble pas donner de moyens concrets pour calculer num´eriquement le produit de deux matrices Pourtant ce moyen concret suit directement des d´efinitions Soient B une matrice de taille n × p et A une matrice de taille p × m Etudions les colonnes de la
Matrices de Hadamard - Lev-Arcady
d'une matrice est réalisé à coût constant Le calcul du produit scalaire de deux colonnes fait appel à n tours de boucle, chacun s'e ectuant à coût constant; son coût est donc en ( n ) Le calcul du produit d'une matrice par sa transposée fait appel au) 2 +
Chapitre 13 : Matrices - normale sup
2 2 Produit d'une matrice par un réel Dé nition 5 Le produit d'une matrice A par un réel λ est la matrice, notée λA, obtenue à partir de A en multipliant chacun de ses coe cients par λ Proposition 2 Le produit par un réel est distributif par rapport à l'addition de matrices : ( λ(A+ B) = λA + λB)
Calculmatriciel - imag
d’abord que la définition 1 est cohérente avec la définition du produit d’une matrice parunvecteur,donnéeauchapitreprécédent:si p= 1,lamatriceBanligneset1 colonne,etleproduitABamligneset1 colonne D’autrepart,appliquerladéfinition 1 revient à effectuer successivement le produit de Apar chacune des colonnes de B
Exo7 - Cours de mathématiques
Soient A= (aij) une matrice n p et B = (bij) une matrice p q Alors le produit C = AB est une matrice n q dont les coefficients cij sont définis par : cij = Xp k=1 aikbkj On peut écrire le coefficient de façon plus développée, à savoir : cij = ai1b1j +ai2b2j + +aikbkj + +aipbpj Il est commode de disposer les calculs de la façon
Calcul matriciel Déterminants
2 Multiplication d'une matrice carrée par sa transposée Si A est une matrice carrée (n lignes et n colonnes) B A A B A A A A B o t t t t t, la matrice B est symétrique Valeurs propres et vecteurs propres 2 1 Problème posé Existe-t-il des vecteurs V tels que multipliés par la matrice A, le résultats soir un vecteur
Chapitre 3 : Vecteurs et Matrices
Produit Le produit d’une matrice de dimension ( n1 , m1 ) par une matrice de de dimension ( n2 , m2 ) donne une matrice de dimension ( n1 , m2 ) Pour multiplier deux matrices, le nombre de colonne de première doit être égale au nombre de ligne de la deuxième
1 Convolution et matrices
L’option mode= ' same ' indique que la matrice de sortie B doit avoir la même taille que la matrice d’entrée A L’option boundary= ' fill ' correspond à l’ajout d’une rangée de zéros virtuels sur les bords de A C’est un bon exercice de programmer sa propre fonction qui calcule la convolution 1 2 Variantes • Convolution de
Module 3 : Inversion de matrices - FOAD - MOOC
Une matrice carrée n’admettant pas d’inverse est dite singulière Une matrice carrée admettant une inverse est dite inversible ou régulière 2 Adjointe d’une matrice Soit A une matrice carrée à n lignes et n colonnes On appelle matrice des cofacteurs la matrice A dans laquelle on remplace chaque élément par son cofacteur On
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Matrices
ramène à des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour la résolution des systèmes linéaires.
Dans ce chapitre,Kdésigne un corps. On peut penser àQ,RouC.1. Définition
1.1. DéfinitionDéfinition 1.
UnematriceAest un tableau rectangulaire d"éléments deK. Elle est dite detaillenpsi le tableau possèdenlignes etpcolonnes. Les nombres du tableau sont appelés lescoefficientsdeA.Le coefficient situé à lai-ème ligne et à laj-ème colonne est notéai,j.Un tel tableau est représenté de la manière suivante :
A=0 BBBBBB@a
1,1a1,2...a1,j...a1,p
a2,1a2,2...a2,j...a2,p
a i,1ai,2...ai,j...ai,p a n,1an,2...an,j...an,p1 CCCCCCAouA=ai,j
16i6n16j6pouai,j.
Exemple 1.
A=12 5
0 3 7 est une matrice 23 avec, par exemple,a1,1=1 eta2,3=7.Encore quelques définitions :Définition 2.
Deux matrices sontégaleslorsqu"elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux.
L"ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansKest notéMn,p(K). Les éléments deMn,p(R)
MATRICES1. DÉFINITION2sont appelésmatrices réelles.1.2. Matrices particulières Voici quelques types de matrices intéressantes :•Sin=p(même nombre de lignes que de colonnes), la matrice est ditematrice carrée. On noteMn(K)au lieu de
Mn,n(K).
0 B BB@a1,1a1,2...a1,n
a2,1a2,2...a2,n............
a n,1an,2...an,n1 C CCA Les élémentsa1,1,a2,2,...,an,nforment ladiagonale principalede la matrice. Une matrice qui n"a qu"une seule ligne (n=1) est appeléematrice ligneouvecteur ligne. On la noteA=a1,1a1,2...a1,p.
De même, une matrice qui n"a qu"une seule colonne (p=1) est appeléematrice colonneouvecteur colonne. On
la note A=0 B BB@a 1,1 a2,1...
a n,11 C CCA.La matrice (de taillenp) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée lamatrice nulleet est notée0n,p
ou plus simplement 0. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels.
1.3. Addition de matricesDéfinition 3(Somme de deux matrices).
SoientAetBdeux matrices ayant la même taillenp. LeursommeC=A+Best la matrice de taillenpdéfinie
par c ij=aij+bij.En d"autres termes, on somme coefficients par coefficients. Remarque : on note indifféremmentaijoùai,jpour les
coefficients de la matriceA.Exemple 2.
SiA=32
1 7 etB=0 5 21alorsA+B=3 3 3 6
Par contre siB0=2
8 alorsA+B0n"est pas définie.Définition 4(Produit d"une matrice par un scalaire). Le produit d"une matriceA=aijdeMn,p(K)par un scalaire2Kest la matriceaijformée en multipliant chaque coefficient deApar. Elle est notéeA(ou simplementA).Exemple 3.SiA=1 2 3
0 1 0 et=2 alorsA=2 4 6 0 2 0 La matrice(1)Aest l"opposéedeAet est notéeA. LadifférenceABest définie parA+(B).MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES3
Exemple 4.
SiA=21 0
45 2etB=1 4 2 75 3
alorsAB=352 3 01 L"addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises :Proposition 1. Soient A, B et C trois matrices appartenant à M n,p(K). Soient2Ket2Kdeux scalaires. 1.
A +B=B+A : la somme est commutative,
2.A +(B+C) = (A+B)+C : la somme est associative,
3. A +0=A : la matrice nulle est l"élément neutre de l"addition,4.(+)A=A+A,
5.(A+B) =A+B.Démonstration.Prouvons par exemple le quatrième point. Le terme général de(+)Aest égal à(+)aij. D"après
les règles de calcul dansK,(+)aijest égal àaij+aijqui est le terme général de la matriceA+A.Mini-exercices.
1.SoientA=
7 20114
,B=1 2 32 3 13 2 1
,C=2160 33 12
,D=121 0 10 1 01 1 1,E=
1 23 08 6
. Calculer toutes les sommes possibles de deux de ces matrices. Calculer 3A+2Cet 5B4D. Trouvertel queACsoit la matrice nulle. 2.Montrer que si A+B=A, alorsBest la matrice nulle.
3. Que vaut0A? et1A? Justifier l"affirmation :(A) = ()A. Idem avecnA=A+A++A(noccurrences deA).2. Multiplication de matrices2.1. Définition du produit
Le produitABde deux matricesAetBest défini si et seulement si le nombre de colonnes deAest égal au nombre de
lignes deB.Définition 5(Produit de deux matrices). SoientA= (aij)une matricenpetB= (bij)une matricepq. Alors le produitC=ABest une matricenq dont les coefficientscijsont définis par :c ij=p X k=1a ikbkjOn peut écrire le coefficient de façon plus développée, à savoir : c ij=ai1b1j+ai2b2j++aikbkj++aipbpj. Il est commode de disposer les calculs de la façon suivante. 0 B B@ 1 C CA B A!0 BB@ 1
C CA0 B B@j j cij1 C CA ABMATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES4Avec cette disposition, on considère d"abord la ligne de la matriceAsituée à gauche du coefficient que l"on veut
calculer (ligne représentée par desdansA) et aussi la colonne de la matriceBsituée au-dessus du coefficient que
l"on veut calculer (colonne représentée par desdansB). On calcule le produit du premier coefficient de la ligne par
le premier coefficient de la colonne (ai1b1j), que l"on ajoute au produit du deuxième coefficient de la ligne par le
deuxième coefficient de la colonne (ai2b2j), que l"on ajoute au produit du troisième...2.2. Exemples
Exemple 5.
A=1 2 3
2 3 4 B=0 @1 2 1 1 1 11 AOn dispose d"abord le produit correctement (à gauche) : la matrice obtenue est de taille22. Puis on calcule chacun
des coefficients, en commençant par le premier coefficientc11=11+2(1) +31=2(au milieu), puis les autres (à droite). 0 @1 2 1 1 1 11 A 1 2 32 3 4
c11c12 c21c220
@12 11 1 1 1 A 1 2 32 3 4
2c12 c21c220
@1 2 1 1 1 11 A 1 2 32 3 4
2 7 3 11 Un exemple intéressant est le produit d"un vecteur ligne par un vecteur colonne : u=a1a2anv=0 B BB@b 1 b 2... b n1 C CCAAlorsuvest une matrice de taille11dont l"unique coefficient esta1b1+a2b2++anbn. Ce nombre s"appelle le
produit scalairedes vecteursuetv.Calculer le coefficientcijdans le produitABrevient donc à calculer le produit scalaire des vecteurs formés par la
i-ème ligne deAet laj-ème colonne deB.2.3. Pièges à éviter
Premier piège. Le produit de matrices n"est pas commutatif en général.En effet, il se peut queABsoit défini mais pasBA, ou queABetBAsoient tous deux définis mais pas de la même taille.
Mais même dans le cas oùABetBAsont définis et de la même taille, on a en généralAB6=BA.
Exemple 6.
5 1 322 0 4 3 =14 3 26
mais2 0 4 3 5 1 32
=10 2 292
Deuxième piège.AB=0n"implique pasA=0ouB=0.
Il peut arriver que le produit de deux matrices non nulles soit nul. En d"autres termes, on peut avoirA6=0etB6=0
maisAB=0.Exemple 7.
A=01 0 5 B=23 0 0 etAB=0 0 0 0 Troisième piège.AB=ACn"implique pasB=C.On peut avoirAB=ACetB6=C.MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES5
Exemple 8.
A=01 0 3 B=41 5 4 C=2 5 5 4 etAB=AC=54 15 122.4. Propriétés du produit de matrices
Malgré les difficultés soulevées au-dessus, le produit vérifie les propriétés suivantes :Proposition 2.
1.A (BC) = (AB)C : associativité du produit,
2. A (B+C) =AB+AC et(B+C)A=BA+CA : distributivité du produit par rapport à la somme, 3.A 0=0et0A=0.Démonstration.PosonsA= (aij)2Mn,p(K),B= (bij)2Mp,q(K)etC= (cij)2Mq,r(K). Prouvons queA(BC) = (AB)C
en montrant que les matricesA(BC)et(AB)Cont les mêmes coefficients.