PRODUIT SCALAIRE - maths et tiques

Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853 I Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur u et deux points A et B tels que u =AB """ La norme du vecteur u, notée u, est la distance AB 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan

PRODUIT SCALAIRE de lespace

4) repère orthonormé de l’espace base orthonormé de l’espace 5) analytique du produit scalaire dans l'espace 6) L'ensemble des points dans l'espace tq : u AM k 7) Equation cartésienne d'un plan définie par un point et un vecteur normal 8) positions relatifs de deux plans dans l’espace 9) distance d'un point à un plan 10) Etude

Produit Scalaire - F2School

3°) Egalité de deux vecteurs non nuls Deux vecteurs non nuls sont dits égaux s’ils ont même norme, même direction et même sens II- Produit scalaire 1°) Définition : soient u et v deux vecteurs du plan On appelle produit scalaire du vecteur u par le vecteur v le réel noté : u •v tel

2 Vecteurs, produit scalaire, distance

2 Vecteurs, produit scalaire, distance 1 Produit scalaire, définitions On considère l’espace n, dans lequel chaque point est identifié par ses coordonnées {xα, 0≤α

Produit Scalaire - Dyrassa

PRODUIT SCALAIRE ET GEOMETRIE REPEREE

Produit scalaire et géométrie repérée Première générale – spécialité mathématique www plusdebonnesnotes com Page 7 5 Ensemble de points Théorème : Soient deux points # et $ et leur milieu +, pour tout point / du plan, on a : /⃗⃗⃗⃗⃗ #⃗ / $⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = / +2− 1 4 # $² Démonstration :

Le produit scalaire et ses applications

Un problème de lignes de niveau consiste à déterminer un ensemble de points du plan qui vériﬁent une égalité Ce nom vient des courbes que l’on trace sur une carte routière qui correspondent aux points de même altitude Soient A et B deux points donnés tels que AB = 6 On appelle L k l’ensemble des point M tels que : MA MB = k

II Produit scalaire dans l’espace

deux vecteurs non nul de l’espace E ; A et B et C trois points de tel que : u AB et v AC ; H est la projection de C sur la droite AB Le produit scalaire de et est noté par u v ou AB AC tel que : 1ER cas le produit scalaire de et est le nombre: u v AB AC AB AH 2ième cas le produit scalaire de et est le nombre:

Espace : produit scalaire et plans

Géométrie élémentaire de l’espace partie 2 : Le produit scalaire et plans de l’espace avril 2020 1 Démontrer que, pour tout point M de l’espace, on a : MA2 +MB2 = 2MI2 + 1 2 AB2 2 Déterminer la nature de l’ensemble (E) des points M de l’espace tels que MA2 +MB2 = AB2 1 En utilisant l’égalité de Chasles avec le point I

350re S - Produit scalaire - ChingAtome

On rappelle la formule de la distance entre deux points : PQ = ¨(xQ xP)2 + 4 Produit scalaire et manipulations algébriques : Exercice 3011 1 Pour tout vecteur

1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur

u et deux points A et B tels que u =AB . La norme du vecteur u , notée u , est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v , noté u .v , le nombre réel définit par : - u .v =0 , si l'un des deux vecteurs u et v est nul - u .v =u ×v

×cosu

;v , dans le cas contraire. u .v se lit " u scalaire v ". Remarque : Si AB et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors : u .v =AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemple : Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.

AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

=a×a×cos60° =a 2

×0,5

a 2 2 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u .v =0

est une maladresse à éviter ! 3) Propriété de symétrie du produit scalaire Propriété : Pour tout vecteur

u et v , on a : u .v =v .u

Démonstration : On suppose que

u et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire). u .v =u ×v

×cosu

;v =v ×u

×cosu

;v =v ×u

×cos-v

;u =v ×u

×cosv

;u =v .u

4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs

u v et w , on a : 1) u .v +w =u .v +u .w 2) u .kv =ku .v , avec k un nombre réel. - Admis -

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5) Identités remarquables Propriétés : Pour tous vecteurs

u et v , on a : 1) u +v 2 =u 2 +2u .v +v 2 2) u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 3) u +v u -v =u 2 -v 2

Démonstration pour le 2) :

u -v 2 =u -v u -v =u .u -u .v -v .u +v .v =u 2 -2u .v +v 2

II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur

u , on a : u .u =u ×u

×cosu

;u =u 2

×cos0=u

2 et u .u =u 2

On a ainsi :

u 2 =u .u =u 2

Propriété : Soit

u et v deux vecteurs. On a : u .v 1 2 u 2 +v 2 -u -v 2 et u .v 1 2 u +v 2 -u 2 -v 2

Démonstration de la première formule :

u -v 2 =u -v 2 =u 2 -2uquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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×cosu

×AC

×cosBAC

2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemple : Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.

×AC

×cosBAC

×0,5

Démonstration : On suppose que

×cosu

×cosu

×cos-v

×cosv

4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5) Identités remarquables Propriétés : Pour tous vecteurs

Démonstration pour le 2) :

II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur

×cosu

×cos0=u

On a ainsi :

Propriété : Soit

Démonstration de la première formule :