Chapitre 7 : Produit scalaire de deux vecteurs du plan
I) Produit scalaire de deux vecteurs a) Définition u et v sont deux vecteurs du plan, on appelle produit scalaire de u par v , le nombre réel noté u v égal à : • 0 si l’un des vecteurs est nul • II u II ××××II v II ××× COS ( u, v ) si u ≠ 0 et v ≠ 0 Remarques : • Si les deux vecteurs u et v sont orthogonaux, alors cos
Opérations sur les vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs correspond à la somme des produits de leurs composantes Si =(a, b) et = (c, d), Alors • = ac + bd Il est important de mentionner que le produit scalaire n’est pas un vecteur mais un scalaire qui permettra de vérifier certaines propriétés aux deux vecteurs Souvent, le produit scalaire est
Produit scalaire en dimension 3 Norme dun vecteur en dim 2
Produit scalaire de deux vecteurs en dim 3 Par rapport à une base orthonormée, considérons les vecteurs u= u1 u2 u3,v= v1 v2 v3 Ces deux vecteurs de l'espace sont nécessairement dans un même plan On peut donc leur appliquer le théorème du cosinus : þu fi þþv fi þcos HjL= 1 2 Jþu fi þ2+þv fi þ2-þu fi-v fi þ2N = 1 2 Iu1 2
Produit vectoriel et déterminant dans l’espace
Propriétés du produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace Bien prendre garde, que contrairement au produit scalaire, qui d’ailleurs est un nomre et pas un ve teur, le produit vetoriel n’est pas ommutatif En effet, hanger l’ordre des veteurs, hange le signe du produit : - Bilinéarité
PRODUIT SCALAIRE - AlloSchool
Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853 I) Le produit scalaire de deux vecteurs 1° Définitions Définition1 : Soit u et v deux vecteurs du plan Et soient A; B et C trois points du plan tel que : u AB et v AC On appelle produit scalaire de par , noté uv , le nombre réel définit par : Si u 0 ou v 0 alors
Le produit scalaire et ses applications
Définition 2 : Dans un repère orthonormal (O,~ı,~â), le produit scalaire de deux vecteurs ~u et~v de coordonnées respectives (x;y) et (x0;y0) est égal à : ~u ~v = xx0+yy0 On peut aussi utiliser la notation matricielle : x y x0 y0 = xx0+yy0 PAUL MILAN 17 mai 2011 PREMIÈRE S
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE I Produit scalaire de deux vecteurs 1) Définition Soit et deux vecteurs de l'espace A, B et C trois points tels que et Il existe un plan P contenant les points A, B et C Définition : On appelle produit scalaire de l'espace de et le produit égal au produit scalaire dans le plan P On a ainsi :
Chapitre I - ENSA de Marrakech: Ecole dingénieurs
La somme de deux vecteurs : Le vecteur est représenté géométriquement par : (voir figure Somme) La multiplication par un scalaire : I 3 2 Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA et OB est le nombre réel OA OB cos(θ) si l'angle θ désigne celui de AOB
Exercices corrigés - AlloSchool
Exercice 3 : produit scalaire en fonction des normes de vecteurs Exercices 4 et 5 : orthogonalité de deux vecteurs et produit scalaire nul Exercice 6 : formule de la médiane Exercice 7 : produit scalaire de vecteurs colinéaires Exercices 8 et 9 : produit scalaire de vecteurs quelconques à l’aide d’une projection orthogonale
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1 1
GH FIH Leçon : PRODUIT SCALAIRE Présentation globale I) Le produit scalaire de deux vecteurs II. Produit scalaire et norme III. Produit scalaire et orthogonalité IV) APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. I) Le produit scalaire de deux vecteurs 1° Définitions Définition1 : Soit u
et v deux vecteurs du plan. Et soient A ; B et C trois points du plan tel que : u AB et v ACOn appelle produit scalaire de u
par v , noté .uv , le nombre réel définit par : Si 0u ou 0v alors .0uv Si 0u et 0v alors soit Hle projeté orthogonal de C sur la droite AB et alors ..uv AB AC AH AB c a d ..uv AB AC AH AB si AB et AH ont le même sens ..uv AB AC AH AB si AB et AHont un sens contraire Remarque : soient A ; B ; Cet D quatre points du plan .ABCD AB CD AB CD u u
avec A ; B les projections orthogonales respectifs de A ; B sur la droite CD Et C ; D les projections orthogonales respectifs de Cet Dsur la droite AB
PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS
2 2 Application : Soit ABC un triangle rectangle et isocèle enA et direct et 2AB cm Calculer .AB AC
et .BABC et .BACBRéponse On a .AB AC AB AA
car : A est le projeté orthogonales de A sur AB etB est le projeté orthogonales de B sur AB etA est le projeté orthogonales de C sur AB donc . 0 0AB AC AB AA AB
de même On a . 2 2 4BABC BA BA de même On a . 2 2 4BACB BA ABDéfinition2:Soit un vecteur u
et deux points A et B tels que u AB . La norme du vecteur u , notée u , est la distance AB. Définition3 : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v , noté .uv , le nombre réel définit par : - .0uv , si l'un des deux vecteurs u et v est nul - . cos ;u v u v u v , dans le cas contraire. .uv se lit "u scalaire v ". Remarque : Si AB et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors : . . cosu v AB AC AB AC BAC Exemple : Soit un triangle équilatéral ABC de côté a. 2 2 . cos1cos3 2 2
AB AC AB AC BAC
aa a a uu u u u Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple .0uv est une maladresse à éviter ! 2) propriétés Propriété : Pour tout vecteur u et v , on a : ..uv vuDémonstration : On suppose que u
et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire). . cos ; cos ; cos ; cos ; . u v u v u v v u u v v u v u v u v u vu u u u u u u3 3 Propriétés : Pour tous vecteurs u
, v et w , on a : 1) . . .u v w u v u w2) ..u kv ku v
, avec k un nombre réel. - Admis - Propriétés : Pour tous vecteurs u et v , on a : 1)2222.u v u u v v
2)2222.u v u u v v
3)22u v u v u v
Démonstration pour le 2) :
2 222. u v u v u v uu uv vu vv u uv v
II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur u
, on a :22. cos ; cos0uu u u u u u u
Et 2.uu u
On a ainsi : 22.u uu u
Propriété : Soit u
et v deux vecteurs. On a :2 2 21.2u v u v u v
et2 2 21.2u v u v u v
Démonstration de la première formule :
2222
22
2. 2. u v u v u uv v u uv v donc
2 2 21.2u v u v u v
Propriété : Soit A, B et C trois points du plan. On a : 2 2 21.2AB AC AB AC BCDémonstration :
2 2 2 22 2 2 2 21 1 1.2 2 2AB AC AB AC AB AC AB AC CB AB AC BC
4 4Exemple : 2 2 2 2 2 211. 6 7 3 3822CGCF CG CF GF
III. Produit scalaire et orthogonalité 1) Vecteurs orthogonaux Propriété : Les vecteurs u
et v sont orthogonaux si et seulement si .0uv. Démonstration : Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente. Supposons le contraire. .0uv
cos ; 0u v u v cos ; 0uv