Exercices formes bilinéaires et quadratiques
Exercice 6 — 1- Montrer que si f,g∈ L(E;F) sont telles que pour tout x ∈ E existe λ x ∈ k tel que f(x)=λ xg(x),alorsf et g sont proportionnels 2- Soit φ une forme bilin´eaire sur E × E telle que pour tout x,y ∈ E, φ(x,y) est colin´eaire φ(y,x)
Algèbre bilinéaire
Exercice 6 Exercice 5 Soit Eun espace euclidien et Bla ouleb unité de L(E) : B= fu2L(E)=jjjujjj 1g Montrer que les ointsp extremaux de B, c'est-à-dire les u 2B tels que Bf ugest onvexec sont exactement les éléments de O(E) Exercice 7 Loi d'inertie de Sylvester Soit qune forme quadratique sur Rn Montrer qu'il existe une aseb e 1;:::;e n
Chapitre 2 Formes bilin´eaires sym´etriques, formes - CAS
la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle base E0 est ME0(b) = tP M E(b)P 2 1 3 Forme bilin´eaire et dualit´e Soit b: E × E → Kune forme bilin´eaire sym´etrique Pour tout x ∈ E, l’application b(·,x) : E −→ K y 7−→ b(y,x) est une forme lin´eaire sur K, c’est `a dire un ´el´ement du dual E∗ Proposition 2 6
P P X P - BU
Exercice 6 Soit E un K-espace v ectoriel 1) Une forme bilinéaire f sur E est dite alternée si f(x,x) = 0 p our tout x Mon trer qu'une forme bilinéaire est alternée si et seulemen t elle an tisymétrique 2) Mon trer que toute forme bilinéaire sur E s'écrit de manière unique comme la somme d'une forme bilinéaire symétrique et an
Série No4 : Formes linéaires et Formes quadratiques
Déterminer le rang de l’application bilinéaire f Exercice 5 Soit E = R[x] l’espace vectoriel sur R des fonctions polynômiale en x Pour tout polynôme P, soit fP l’application sur E qui associe, à tout polynôme Q, le nombre fP(Q) = Z 1 0 P(x)Q0(x)dx + Z 1 0 P0(x)Q(x)dx 1 Montrer que fP est une forme linéaire sur E 2
Série N : Formes linéaires, Produit mixte et produit vectoriel
Exercice 2 On considère l’application f: R2 ×R2 → R, ((x,y),(x0,y0)) 7→2xx0 −4xy0 +5x0y+byy0 1 Montrer que fest une forme bilinéaire 2 Déterminer bpour que fsoit dégénérée 3 Trouver les noyaux des deux homomorphismes associés canoniquement à f 4 Déterminer le rang de fselon les valeurs de b Exercice 3
Algèbre bilinéaire : Compléments
Exercice 8 Déterminer inf (a,b)2R2 Z1 0 (x2 ax b)2dx Exercice 9 Soit E l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, muni de sa structure euclidienne canonique (c’est-à-dire telle que la base canonique soit orthonormée) On pose F =fP 2E =P(1)=0g 1 Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E 2
Daniel ALIBERT Formes quadratiques Espaces vectoriels
Soit E un espace vectoriel réel, et q une forme quadratique sur E Si q(x) ≥ 0, pour tout x de E, on dit que q (ou sa forme polaire) est positive Sur Rn, la forme quadratique canonique est non dégénérée et positive Soit φ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur un espace vectoriel réel de dimension finie
Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool
3)Le produit vectoriel est bilinéaire : u v w u w v w u v w u w v w O O Ou v u w u v 2) Interprétation géométrique : Surface d’un triangle Soient et deux vecteurs dans ????3 , qu’on suppose non colinéaires tels que : et w AD u v on a d’après la
Espaces prehilbertiens et euclidiens - PSI Fabert
•φ est bilinéaire et symétrique sur l2 ×l2 (immédiat) Soit (u n) ∈l2, non nulle : ∃n 0 ∈N, u n 0 6= 0 alors φ((u n),(u n)) = X∞ n=0 u2 ≥u2 0 > 0 Donc φ est une forme bilinéaire symétrique dé nie positive sur l2, c'est à dire un produit scalaire b) Soit (u n) ∈l2, une série à termes positifs ou nuls Notons encore 1 n
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