Exercices formes bilinéaires et quadratiques
Exercice 6 — 1- Montrer que si f,g∈ L(E;F) sont telles que pour tout x ∈ E existe λ x ∈ k tel que f(x)=λ xg(x),alorsf et g sont proportionnels 2- Soit φ une forme bilin´eaire sur E × E telle que pour tout x,y ∈ E, φ(x,y) est colin´eaire φ(y,x)
Algèbre bilinéaire
Exercice 6 Exercice 5 Soit Eun espace euclidien et Bla ouleb unité de L(E) : B= fu2L(E)=jjjujjj 1g Montrer que les ointsp extremaux de B, c'est-à-dire les u 2B tels que Bf ugest onvexec sont exactement les éléments de O(E) Exercice 7 Loi d'inertie de Sylvester Soit qune forme quadratique sur Rn Montrer qu'il existe une aseb e 1;:::;e n
Chapitre 2 Formes bilin´eaires sym´etriques, formes - CAS
la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle base E0 est ME0(b) = tP M E(b)P 2 1 3 Forme bilin´eaire et dualit´e Soit b: E × E → Kune forme bilin´eaire sym´etrique Pour tout x ∈ E, l’application b(·,x) : E −→ K y 7−→ b(y,x) est une forme lin´eaire sur K, c’est `a dire un ´el´ement du dual E∗ Proposition 2 6
P P X P - BU
Exercice 6 Soit E un K-espace v ectoriel 1) Une forme bilinéaire f sur E est dite alternée si f(x,x) = 0 p our tout x Mon trer qu'une forme bilinéaire est alternée si et seulemen t elle an tisymétrique 2) Mon trer que toute forme bilinéaire sur E s'écrit de manière unique comme la somme d'une forme bilinéaire symétrique et an
Série No4 : Formes linéaires et Formes quadratiques
Déterminer le rang de l’application bilinéaire f Exercice 5 Soit E = R[x] l’espace vectoriel sur R des fonctions polynômiale en x Pour tout polynôme P, soit fP l’application sur E qui associe, à tout polynôme Q, le nombre fP(Q) = Z 1 0 P(x)Q0(x)dx + Z 1 0 P0(x)Q(x)dx 1 Montrer que fP est une forme linéaire sur E 2
Série N : Formes linéaires, Produit mixte et produit vectoriel
Exercice 2 On considère l’application f: R2 ×R2 → R, ((x,y),(x0,y0)) 7→2xx0 −4xy0 +5x0y+byy0 1 Montrer que fest une forme bilinéaire 2 Déterminer bpour que fsoit dégénérée 3 Trouver les noyaux des deux homomorphismes associés canoniquement à f 4 Déterminer le rang de fselon les valeurs de b Exercice 3
Algèbre bilinéaire : Compléments
Exercice 8 Déterminer inf (a,b)2R2 Z1 0 (x2 ax b)2dx Exercice 9 Soit E l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n, muni de sa structure euclidienne canonique (c’est-à-dire telle que la base canonique soit orthonormée) On pose F =fP 2E =P(1)=0g 1 Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E 2
Daniel ALIBERT Formes quadratiques Espaces vectoriels
Soit E un espace vectoriel réel, et q une forme quadratique sur E Si q(x) ≥ 0, pour tout x de E, on dit que q (ou sa forme polaire) est positive Sur Rn, la forme quadratique canonique est non dégénérée et positive Soit φ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur un espace vectoriel réel de dimension finie
Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool
3)Le produit vectoriel est bilinéaire : u v w u w v w u v w u w v w O O Ou v u w u v 2) Interprétation géométrique : Surface d’un triangle Soient et deux vecteurs dans ????3 , qu’on suppose non colinéaires tels que : et w AD u v on a d’après la
Espaces prehilbertiens et euclidiens - PSI Fabert
•φ est bilinéaire et symétrique sur l2 ×l2 (immédiat) Soit (u n) ∈l2, non nulle : ∃n 0 ∈N, u n 0 6= 0 alors φ((u n),(u n)) = X∞ n=0 u2 ≥u2 0 > 0 Donc φ est une forme bilinéaire symétrique dé nie positive sur l2, c'est à dire un produit scalaire b) Soit (u n) ∈l2, une série à termes positifs ou nuls Notons encore 1 n
[PDF] forme bilinéaire symétrique définie positive produit scalaire
[PDF] croisement test
[PDF] forme bilinéaire non dégénérée
[PDF] matrice d'une forme bilinéaire exercices corrigés
[PDF] forme bilinéaire antisymétrique
[PDF] les différents types de textes et leurs caractéristiques
[PDF] forme quadratique non dégénérée
[PDF] forme bilinéaire exo7
[PDF] grille evaluation croquis
[PDF] forme trigonométrique de 2i
[PDF] forme trigonométrique cos et sin
[PDF] démonstration forme exponentielle nombre complexe
[PDF] nombre complexe forme algébrique
[PDF] comment avoir une bonne note en philo explication de texte
Pr´eparation `a l"agr´egation de math´ematiques Ann´ee 2009-2010 Universit´e de Nice-Sophia Antipolis Georges Comte
Formes bilin´eaires et quadratiques
R´ef´erences.Les rappels de cours sont tir´es du Cours de Math´ematiques Sp´eciales, E. Ramis, C.
Deschamps, J. Odoux. Masson. Les Exercices du mˆeme ouvrage et de Exercices de Math´ematiques Oraux
X-ENS, Alg`ebre 3, S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas. Cassini. Rappel.Soientkun corps,E,Fdeuxk-espaces vectoriels. Une applicationφ:E×F→kest uneforme biin´eaire surE×Fssi : ?x?E,?y?E,φ(x,·):F→k est dansF? etφ(·,y):E→kest dansE .OnnoteL 2 (E,F) l"ensemble des formes bilin´eaires surE×F.Il s"agit d"unk-espace vectoriel.
On noteg
:E→F l"applicationg (x)=φ(x,·)etd :F→E l"applicationd (y)=φ (·,y)Exercice 1. Montrer queg:φ?→gφ
est unk-isomorphisme entreL 2 (E,F)etL(F;E ).Demˆeme d:φ?→d est unk-isomorphisme entreL 2 (E,F)etL(E;FExercice 2. Montrer que le rang deg
est fini ssi celui ded l"est et que ceux-ci sont alors les mˆemes.Indication.Commencer par montrer queg
t(d E etd t (g F ,o`uι E etι F sont les inclusions canoniquesE→E etF→F . Montrer ensuite que siuest une application lin´eaire de rang fini, t uaussi et quedanscecasrg( t t u)?(ker(u)) ?(E/ker(u))? ?(Im(u))Noter qu"ici l"orthogonalit´e est celle des formes lin´eaires contre les vecteurs de leur espace de d´epart.
Rappel.On dit quex?Eety?Fsontφ-orthogonauxssiφ(x,y)=0. Onnotex?y.Onnote aussi pourA?E,A ={y?F;φ(x,y)=0,?x?A}. Il s"agit d"un sous-espace vectoriel deFappel´e l"orthogonal deA.De meme pour une partieA ?deF. Exercice 3. Montrer les propri´et´es suivantes :A?B=?B
?A ,(A?B) =A ∩B ;A +B ?(A∩B) ,A ∩B ?(A+B) La derni`ere inclusion est une ´egalit´elorsque0?A∩B. Rappel.On dit queφestnon d´eg´en´er´eessigφetd
sont injectives. Il est possible que l"une de cesdeux applications soit injective sans que l"autre le soit. SiE=Fet si dim(E)<∞, l"injectivit´edel"une
´equivaut `a l"injectivit´e de l"autre, par l"exercice 2.Exercice 4. Supposonsφnon d´eg´en´er´ee. Pour que le sous-espaceHdeEsoit de dimension finie,
il faut et il suffit que la codimension deH le soit. Dans ce cas : dim(H)=codim F (H ),H =H. Indication.Consid´erer?φ:H×F→k, ma restriction deφ`aH×Fet remarquer queIm(g?φ H/0 H ?HetIm(d? )?F/H . Puis appliquer l"exercice 2. Pour la seconde in´egalit´e, observer que ()Enr´ealit´eona:rg(u) est fini ssirg( t u) est fini et dans ce casrg(u)=rg( t u). On montre pour cela queIm( t u)=(ker(u)) H?H . Montrer ensuite queH=H et appliquer dim(H)=codim F (H )`aH pour obtenir : dim(H )=codim F (H )=dim(H). Exercice 5. Siφest non d´eg´en´er´ee surE×Fet siH 1 etH 2 sont deux sous-espaces deEde dimensions finies, montrer que : H ?1 +H ?2 =(H 1 ∩H 2Indication.D"apr`es l"exercice 3, on aH
?1 ∩H ?2 =(H 1 +H 2 .PosonsG=H ?1 +H ?2 . On doit donc prouverG=G . Il suffit alors de montrer que codim F (G)=codim F (G ), puisqueG?G Exercice 6. 1- Montrer que sif,g?L(E;F)sont telles que pour toutx?Eexisteλ x ?ktel que f(x)=λ x g(x),alorsfetgsont proportionnels.2- Soitφune forme bilin´eaire surE×Etelle que pour toutx,y?E,φ(x,y)est colin´eaireφ(y,x).
Noter qu"en particulierφestr´eflexivec"est-`a-dire queφ(x,y)=0=?φ(y,x)=0.Montrerqueφest
symm´etrique ou antisym´etrique. Indication.1- Montrer que ker(g)?ker(f) implique qu"existeh?L(Im(g);F)telquef=h◦g.Montrer ensuite queh(g(x)) =f(x)=λ
x g(x) implique quehest une homoth´etie.2- On ag
x (y)=λ y d x (y), d"apr`es la question 1,g x x d x . On applique `a nouveau la question 1 :g=λd.Onaφ(x,y)=λφ(y,x). S"il existextel queφ(x,x)?=0,onaλ= 1 et doncφest symm´etrique. Si
pour toutx?E,φ(x,x)=0,φest antisymm´etrique. Rappel.Lamatrice repr´esentative d"une forme bilin´eaireφdans les basesB E =(e 1 ,···,e n deEetB F =(e ?1 ,···,e ?p )deFest la matriceMat(φ,B E ,B F )=Ω=(φ(e i ,e j)). De sorte que siXest la colonne des coordonn´ees dexdansB E ,Ycelle deydansB F ,ona: t